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9.若关于$x,y$的多项式$my+nx^2y+2y^2-x^2y+y$中不含三次项和一次项，则$2m+3n=$.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题的核心思路是：首先对多项式进行合并同类项，明确三次项和一次项的系数；题目要求多项式不含三次项和一次项，即这两类项的系数均为0，据此列方程求出m、n的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}my+nx^2y+2y^2-x^2y+y&=2y^2 + (nx^2y - x^2y) + (my + y)\\&=2y^2 + (n-1)x^2y + (m+1)y\end{aligned}$
因为多项式不含三次项和一次项：
1. 三次项为$(n-1)x^2y$，故其系数$n-1=0$，解得$n=1$；
2. 一次项为$(m+1)y$，故其系数$m+1=0$，解得$m=-1$。
将$m=-1$、$n=1$代入$2m+3n$得：
$2×(-1) + 3×1 = -2 + 3 = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题是同类项章节的常规题型，解题的关键是理解“多项式不含某类项，即该类项合并后的系数为0”，需熟练掌握同类项的合并方法以及多项式次数、项的判断方法。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是：首先对多项式进行合并同类项，明确三次项和一次项的系数；题目要求多项式不含三次项和一次项，即这两类项的系数均为0，据此列方程求出m、n的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}my+nx^2y+2y^2-x^2y+y&=2y^2 + (nx^2y - x^2y) + (my + y)\\&=2y^2 + (n-1)x^2y + (m+1)y\end{aligned}$
因为多项式不含三次项和一次项：
1. 三次项为$(n-1)x^2y$，故其系数$n-1=0$，解得$n=1$；
2. 一次项为$(m+1)y$，故其系数$m+1=0$，解得$m=-1$。
将$m=-1$、$n=1$代入$2m+3n$得：
$2×(-1) + 3×1 = -2 + 3 = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题是同类项章节的常规题型，解题的关键是理解“多项式不含某类项，即该类项合并后的系数为0”，需熟练掌握同类项的合并方法以及多项式次数、项的判断方法。
【难度系数】
0.7
10. 先合并同类项，再求值：
(1) $4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 4b^2$，其中 $a=2$，$b=1$；
(2) $\frac{1}{2}(x+y) + 4(x-y) - 3(x-y) - \frac{3}{2}(x+y) - (x-y)$，其中 $x+y=-2$。
(1) $4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 4b^2$，其中 $a=2$，$b=1$；
(2) $\frac{1}{2}(x+y) + 4(x-y) - 3(x-y) - \frac{3}{2}(x+y) - (x-y)$，其中 $x+y=-2$。
答案
解：
(1) 合并同类项：
原式$=(4a^2-4a^2)+(3b^2-4b^2)+2ab$
$=-b^2+2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=-1^2 + 2×2×1$
$=-1+4$
$=3$
(2) 合并同类项：
原式$=[\frac{1}{2}(x+y)-\frac{3}{2}(x+y)]+[4(x-y)-3(x-y)-(x-y)]$
$=(\frac{1}{2}-\frac{3}{2})(x+y)+(4-3-1)(x-y)$
$=-(x+y)$
当$x+y=-2$时，
原式$=-(-2)=2$
(1) 合并同类项：
原式$=(4a^2-4a^2)+(3b^2-4b^2)+2ab$
$=-b^2+2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=-1^2 + 2×2×1$
$=-1+4$
$=3$
(2) 合并同类项：
原式$=[\frac{1}{2}(x+y)-\frac{3}{2}(x+y)]+[4(x-y)-3(x-y)-(x-y)]$
$=(\frac{1}{2}-\frac{3}{2})(x+y)+(4-3-1)(x-y)$
$=-(x+y)$
当$x+y=-2$时，
原式$=-(-2)=2$
解析
【分析】
这两道题属于先化简再求值类题型，解题分为两个步骤：第一步合并同类项化简原式，第二步代入数值计算结果。第(1)题可直接识别“所含字母相同、相同字母的次数也相同”的项作为同类项，分组合并后再代入a、b的数值计算；第(2)题可以把(x+y)和(x-y)分别看作整体作为同类项合并，合并后会发现(x-y)项的系数为0，无需拆分求x、y的单独值，直接代入x+y的数值即可简化计算。
【解析】
(1) 合并同类项：
原式$=(4a^2-4a^2)+(3b^2-4b^2)+2ab$
$=-b^2+2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=-1^2 + 2×2×1$
$=-1+4$
$=3$
(2) 合并同类项：
原式$=[\frac{1}{2}(x+y)-\frac{3}{2}(x+y)]+[4(x-y)-3(x-y)-(x-y)]$
$=(\frac{1}{2}-\frac{3}{2})(x+y)+(4-3-1)(x-y)$
$=-(x+y)$
当$x+y=-2$时，
原式$=-(-2)=2$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题重点考查合并同类项的运算规则和代数式求值的技巧，第(2)题运用整体思想合并同类项可大幅简化运算过程，运算时需注意符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于先化简再求值类题型，解题分为两个步骤：第一步合并同类项化简原式，第二步代入数值计算结果。第(1)题可直接识别“所含字母相同、相同字母的次数也相同”的项作为同类项，分组合并后再代入a、b的数值计算；第(2)题可以把(x+y)和(x-y)分别看作整体作为同类项合并，合并后会发现(x-y)项的系数为0，无需拆分求x、y的单独值，直接代入x+y的数值即可简化计算。
【解析】
(1) 合并同类项：
原式$=(4a^2-4a^2)+(3b^2-4b^2)+2ab$
$=-b^2+2ab$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=-1^2 + 2×2×1$
$=-1+4$
$=3$
(2) 合并同类项：
原式$=[\frac{1}{2}(x+y)-\frac{3}{2}(x+y)]+[4(x-y)-3(x-y)-(x-y)]$
$=(\frac{1}{2}-\frac{3}{2})(x+y)+(4-3-1)(x-y)$
$=-(x+y)$
当$x+y=-2$时，
原式$=-(-2)=2$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题重点考查合并同类项的运算规则和代数式求值的技巧，第(2)题运用整体思想合并同类项可大幅简化运算过程，运算时需注意符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
11.请回答下列问题：
(1)若关于$x,y$的多项式$mx^2 + 3xy - 2y^2 - x^2 + nxy - 2y + 6$的值与$x$的取值无关，求$(m+n)^3$的值；
(2)若关于$x,y$的多项式$6mx^2 + 4nxy + 2x + 2xy - x^2 + y + 4$不含二次项，求$m-n$的值。
(1)若关于$x,y$的多项式$mx^2 + 3xy - 2y^2 - x^2 + nxy - 2y + 6$的值与$x$的取值无关，求$(m+n)^3$的值；
(2)若关于$x,y$的多项式$6mx^2 + 4nxy + 2x + 2xy - x^2 + y + 4$不含二次项，求$m-n$的值。
答案
解：
(1) 合并同类项得：
原式$=(m-1)x^2 + (3+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，
即：
$m-1=0$，$3+n=0$
解得$m=1$，$n=-3$
则$(m+n)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$
(2) 合并同类项得：
原式$=(6m-1)x^2 + (4n+2)xy + 2x + y + 4$
因为多项式不含二次项，所以所有二次项的系数均为0，
即：
$6m-1=0$，$4n+2=0$
解得$m=\frac{1}{6}$，$n=-\frac{1}{2}$
则$m-n=\frac{1}{6} - (-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2}{3}$
(1) 合并同类项得：
原式$=(m-1)x^2 + (3+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，
即：
$m-1=0$，$3+n=0$
解得$m=1$，$n=-3$
则$(m+n)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$
(2) 合并同类项得：
原式$=(6m-1)x^2 + (4n+2)xy + 2x + y + 4$
因为多项式不含二次项，所以所有二次项的系数均为0，
即：
$6m-1=0$，$4n+2=0$
解得$m=\frac{1}{6}$，$n=-\frac{1}{2}$
则$m-n=\frac{1}{6} - (-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解决这两道题的核心思路是先对多项式合并同类项，再根据题目给出的条件确定对应项的系数为0，进而求出未知参数的值，最后代入计算目标代数式的结果。
对于(1)：多项式的值与x的取值无关，说明所有含有x的项的系数都为0（若系数不为0，x的取值变化会导致多项式的值变化，不符合“与x取值无关”的要求），因此合并同类项后，令含x的项（x²项、xy项）的系数为0，即可求出m、n的值，再代入计算(m+n)³。
对于(2)：多项式不含二次项，说明所有次数为2的项的系数都为0，合并同类项后找到二次项（x²项、xy项），令它们的系数为0，求出m、n的值，再代入计算m-n。
【解析】
(1) 先对多项式合并同类项：
原式$=mx^2 - x^2 + 3xy + nxy - 2y^2 - 2y + 6$
$=(m-1)x^2 + (3+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$\begin{cases}m-1=0 \\ 3+n=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1 \\ n=-3\end{cases}$
代入计算得：$(m+n)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$
(2) 先对多项式合并同类项：
原式$=6mx^2 - x^2 + 4nxy + 2xy + 2x + y + 4$
$=(6m-1)x^2 + (4n+2)xy + 2x + y + 4$
因为多项式不含二次项，所以所有二次项的系数都为0，可得：
$\begin{cases}6m-1=0 \\ 4n+2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{6} \\ n=-\frac{1}{2}\end{cases}$
代入计算得：$m-n=\frac{1}{6} - (-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
合并同类项，多项式的项与次数，代数式求值
【点评】
本题是合并同类项的典型应用题型，解题关键是理解“多项式的值与某字母取值无关”“多项式不含某类项”的含义，即对应项的系数为0，掌握该规律即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
解决这两道题的核心思路是先对多项式合并同类项，再根据题目给出的条件确定对应项的系数为0，进而求出未知参数的值，最后代入计算目标代数式的结果。
对于(1)：多项式的值与x的取值无关，说明所有含有x的项的系数都为0（若系数不为0，x的取值变化会导致多项式的值变化，不符合“与x取值无关”的要求），因此合并同类项后，令含x的项（x²项、xy项）的系数为0，即可求出m、n的值，再代入计算(m+n)³。
对于(2)：多项式不含二次项，说明所有次数为2的项的系数都为0，合并同类项后找到二次项（x²项、xy项），令它们的系数为0，求出m、n的值，再代入计算m-n。
【解析】
(1) 先对多项式合并同类项：
原式$=mx^2 - x^2 + 3xy + nxy - 2y^2 - 2y + 6$
$=(m-1)x^2 + (3+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，可得：
$\begin{cases}m-1=0 \\ 3+n=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1 \\ n=-3\end{cases}$
代入计算得：$(m+n)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$
(2) 先对多项式合并同类项：
原式$=6mx^2 - x^2 + 4nxy + 2xy + 2x + y + 4$
$=(6m-1)x^2 + (4n+2)xy + 2x + y + 4$
因为多项式不含二次项，所以所有二次项的系数都为0，可得：
$\begin{cases}6m-1=0 \\ 4n+2=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{6} \\ n=-\frac{1}{2}\end{cases}$
代入计算得：$m-n=\frac{1}{6} - (-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
合并同类项，多项式的项与次数，代数式求值
【点评】
本题是合并同类项的典型应用题型，解题关键是理解“多项式的值与某字母取值无关”“多项式不含某类项”的含义，即对应项的系数为0，掌握该规律即可快速求解同类问题。
【难度系数】
0.7
12.(推理能力)阅读材料:我们知道，$4x-2x+x=(4-2+1)x=3x$，类似地，我们把$(a+b)$看成一个整体，则$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)$.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项$3(a-b)^2-6(a-b)^2+2(a-b)^2$；
(2)已知$x^2-2y=4$，求$3x^2-6y-21$的值。
尝试应用：
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体，合并同类项$3(a-b)^2-6(a-b)^2+2(a-b)^2$；
(2)已知$x^2-2y=4$，求$3x^2-6y-21$的值。
答案
解：
(1) $3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2$
$=(3-6+2)(a-b)^2$
$=-(a-b)^2$
(2) $3x^2 - 6y - 21$
$=3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 - 21$
$=12 - 21$
$=-9$
(1) $3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2$
$=(3-6+2)(a-b)^2$
$=-(a-b)^2$
(2) $3x^2 - 6y - 21$
$=3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 - 21$
$=12 - 21$
$=-9$
解析
【分析】
(1) 运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比普通同类项的合并规则：合并同类项时仅系数相加减，字母和指数保持不变，只需将三个项的系数3、-6、2相加，即可得到合并结果。
(2) 观察已知条件和所求式子的结构，发现$3x^2-6y$可变形为$3(x^2-2y)$，而已知$x^2-2y=4$，无需单独求解x、y的值，直接将$x^2-2y$作为整体代入变形后的式子计算，即可快速得到结果。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成整体合并同类项：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2$
$=(3-6+2)(a-b)^2$
$=-(a-b)^2$
(2) 先对所求式子变形提取公因式：
$3x^2 - 6y - 21$
$=3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 - 21$
$=12 - 21$
$=-9$
【答案】
(1) $-(a-b)^2$；(2) $-9$
【知识点】
合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题重点考察整体思想在整式运算中的应用，将部分式子看作整体处理可大幅简化运算步骤，是整式化简求值的常用技巧，解题关键是准确观察式子结构，找到可作为整体的部分。
【难度系数】
0.8
(1) 运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比普通同类项的合并规则：合并同类项时仅系数相加减，字母和指数保持不变，只需将三个项的系数3、-6、2相加，即可得到合并结果。
(2) 观察已知条件和所求式子的结构，发现$3x^2-6y$可变形为$3(x^2-2y)$，而已知$x^2-2y=4$，无需单独求解x、y的值，直接将$x^2-2y$作为整体代入变形后的式子计算，即可快速得到结果。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成整体合并同类项：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2$
$=(3-6+2)(a-b)^2$
$=-(a-b)^2$
(2) 先对所求式子变形提取公因式：
$3x^2 - 6y - 21$
$=3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 - 21$
$=12 - 21$
$=-9$
【答案】
(1) $-(a-b)^2$；(2) $-9$
【知识点】
合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题重点考察整体思想在整式运算中的应用，将部分式子看作整体处理可大幅简化运算步骤，是整式化简求值的常用技巧，解题关键是准确观察式子结构，找到可作为整体的部分。
【难度系数】
0.8
