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1.若一个直角三角形的三边的长恰好是三个连续的整数，则该三角形的斜边的长为(
A.4
B.5
C.8
D.10
B
)。A.4
B.5
C.8
D.10
答案
1.B
解析
【分析】
这道题是直角三角形性质与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：1. 明确直角三角形中斜边为最长边，因此三个连续整数里最大的数对应斜边；2. 合理设未知数表示三边长，可设最短直角边长为正整数n，则另外两边长分别为n+1、n+2，其中n+2为斜边；3. 根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列一元二次方程；4. 解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可求出边长，得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形最短的直角边长为$n$（$n$为正整数），则另外两边长分别为$n+1$、$n+2$，其中长为$n+2$的边是斜边。
根据勾股定理列方程：
$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$。
因为边长为正整数，故舍去$n=-1$，取$n=3$，则斜边长为$n+2=3+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是结合直角三角形斜边最长的特点合理设未知数，再利用勾股定理建立方程求解，注意要舍去不符合实际意义的根，避免错解。
【难度系数】
0.8
这道题是直角三角形性质与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：1. 明确直角三角形中斜边为最长边，因此三个连续整数里最大的数对应斜边；2. 合理设未知数表示三边长，可设最短直角边长为正整数n，则另外两边长分别为n+1、n+2，其中n+2为斜边；3. 根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列一元二次方程；4. 解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可求出边长，得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形最短的直角边长为$n$（$n$为正整数），则另外两边长分别为$n+1$、$n+2$，其中长为$n+2$的边是斜边。
根据勾股定理列方程：
$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$。
因为边长为正整数，故舍去$n=-1$，取$n=3$，则斜边长为$n+2=3+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是基础应用题，解题关键是结合直角三角形斜边最长的特点合理设未知数，再利用勾股定理建立方程求解，注意要舍去不符合实际意义的根，避免错解。
【难度系数】
0.8
2.若一个直角三角形的两条直角边长之差为1，面积为210，则这个直角三角形中较长的直角边的长是(
A.18
B.20
C.21
D.27
C
).A.18
B.20
C.21
D.27
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立一元二次方程求解：首先设较长直角边的长度为未知数，根据两条直角边的差表示出较短直角边的长度；再结合直角三角形的面积公式找到等量关系，列出方程；最后解方程并结合边长为正的实际意义筛选出正确结果即可。
【解析】
设较长的直角边长为$ x $，则较短的直角边长为$ x-1 $（边长为正数，故$ x＞1 $）。
根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $为直角边），结合面积为210可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理方程：
两边同乘2得：$ x^2 - x = 420 $
移项化为一元二次方程一般形式：$ x^2 - x - 420 = 0 $
因式分解得：$ (x-21)(x+20)=0 $
解得：$ x_1=21 $，$ x_2=-20 $
因为边长不能为负数，故舍去$ x=-20 $，即较长直角边的长为21。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，核心是找准面积等量关系正确列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立一元二次方程求解：首先设较长直角边的长度为未知数，根据两条直角边的差表示出较短直角边的长度；再结合直角三角形的面积公式找到等量关系，列出方程；最后解方程并结合边长为正的实际意义筛选出正确结果即可。
【解析】
设较长的直角边长为$ x $，则较短的直角边长为$ x-1 $（边长为正数，故$ x＞1 $）。
根据直角三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $为直角边），结合面积为210可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理方程：
两边同乘2得：$ x^2 - x = 420 $
移项化为一元二次方程一般形式：$ x^2 - x - 420 = 0 $
因式分解得：$ (x-21)(x+20)=0 $
解得：$ x_1=21 $，$ x_2=-20 $
因为边长不能为负数，故舍去$ x=-20 $，即较长直角边的长为21。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，核心是找准面积等量关系正确列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.已知一个长方形的面积为36 cm²，周长为40 cm，则该长方形的长等于(
A.4 cm
B.9 cm
C.18 cm
D.20 cm
C
).A.4 cm
B.9 cm
C.18 cm
D.20 cm
答案
3.C
解析
【分析】
本题可通过设未知数建立一元二次方程求解。首先根据长方形周长公式，用含长的代数式表示出宽，再结合长方形面积公式列方程，解方程后根据长大于宽的实际意义选取符合要求的根即可。
【解析】
设该长方形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，
∵长方形周长为$ 40 \, \mathrm{cm} $，
∴长与宽的和为$ 40÷2=20 \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (20-x) \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积为$ 36 \, \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ x(20-x)=36 $
整理得：$ x^2 - 20x + 36 = 0 $
因式分解得：$ (x-18)(x-2)=0 $
解得：$ x_1=18 $，$ x_2=2 $
∵长方形的长大于宽，
∴$ x=2 $不符合题意，舍去，即长方形的长为$ 18 \, \mathrm{cm} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；长方形的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题核心是找到等量关系列方程，同时要注意结合实际问题对方程的解进行合理性验证，排除不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
本题可通过设未知数建立一元二次方程求解。首先根据长方形周长公式，用含长的代数式表示出宽，再结合长方形面积公式列方程，解方程后根据长大于宽的实际意义选取符合要求的根即可。
【解析】
设该长方形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，
∵长方形周长为$ 40 \, \mathrm{cm} $，
∴长与宽的和为$ 40÷2=20 \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (20-x) \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积为$ 36 \, \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ x(20-x)=36 $
整理得：$ x^2 - 20x + 36 = 0 $
因式分解得：$ (x-18)(x-2)=0 $
解得：$ x_1=18 $，$ x_2=2 $
∵长方形的长大于宽，
∴$ x=2 $不符合题意，舍去，即长方形的长为$ 18 \, \mathrm{cm} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；长方形的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题核心是找到等量关系列方程，同时要注意结合实际问题对方程的解进行合理性验证，排除不符合题意的根。
【难度系数】
0.8
