1. 如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A,B分别为两岸上的点，且点B在点A的正南方向，由点B向正西方向走a米到达点C，此时测得点C在点A的南偏西$50°$方向上，则河宽AB的长为。

1.$\frac{a}{\tan 50°}$米 【点拨】连接 AB,AC,
∵该河道为东西流向且与河岸平行,点 B 在点 A 正南方向,
∴AB⊥BC.
∵点 C 在点 A 的南偏西 $50°$ 方向上,
∴$∠ CAB=50°$.
∵点 B 向正西方向走 a 米到达点 C,
∴$BC=a$ 米.
又
∵$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AB}=\tan 50°$,
∴$AB=\frac{a}{\tan 50°}$米.

2. 端午节,赛龙舟,小亮在点P处观看400米直道竞速赛,如图所示,赛道AB为东西方向,赛道起点A位于点P的北偏西$30°$方向上,终点B位于点P的北偏东$60°$方向上,$AB=400$米,则点P到赛道AB的距离为 ()

A.$50\sqrt{3}$米
B.$100\sqrt{3}$米
C.87米
D.173米

2.B 【点拨】如图,过点 P 作 $PC⊥ AB$ 于 C,设 $PC=x$ 米.
∵$∠ APC=30°$,
∴$AC=PC· \tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 米.
∵$∠ CPB=60°$,
∴$BC=PC· \tan 60°=\sqrt{3}x$ 米.
∵$AB=400$ 米,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}x=400$.
∴$x=100\sqrt{3}$,即点 P 到赛道 AB 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米.

3. 如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东$30°$的方向航行10 km到A处，然后右转$40°$再航行$5\sqrt{3}$ km到B处.在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）

A.北偏东$10°$
B.北偏东$30°$
C.北偏东$35°$
D.北偏东$40°$

3.C 【点拨】如图,连接 BC,由题意得 $∠ ACP=∠ ACD=90°$,$∠ PAC=30°$,$PA=10\ \mathrm{km}$,$∠ BAE=40°$,$AB=5\sqrt{3}\ \mathrm{km}$,
∴$∠ BAC=180°-∠ PAC-∠ BAE=180°-30°-40°=110°$,$\cos∠ PAC=\frac{AC}{PA}=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$AC=\frac{\sqrt{3}}{2}PA=\frac{\sqrt{3}}{2}× 10=5\sqrt{3}\ (\mathrm{km})$,
∴$AC=AB$,
∴$∠ ACB=∠ ABC=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-110°)=35°$,即 B 处在 C 处的北偏东 $35°$ 方向,故选 C.

4.某次军事演习中,一艘船以40 km/h的速度向正东航行.如图,在出发地A测得小岛C在它的北偏东$60°$方向,2 h后到达B处,测得小岛C在它的北偏西$45°$方向,则该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为 km.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$.结果精确到0.1 km)

4.29.3 【点拨】如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D,则 CD 的长即为该船在航行过程中与小岛 C 的最近距离.由题意得 $∠ CAB=30°$,$∠ ABC=45°$.易得 $AD=\sqrt{3}CD$,$BD=CD$.
∵$AB=40× 2=80(\mathrm{km})$,
∴$\sqrt{3}CD+CD=80\ \mathrm{km}$,
∴$CD=40\sqrt{3}-40\approx29.3(\mathrm{km})$.
∴该船在航行过程中与小岛 C 的最近距离约为 29.3 km.

5. [2025长沙] 如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M，景点A,B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m.
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)

5.【解】(1)如图,由题意可得 $∠ CBE=60°$,$∠ CAF=30°$,$BM⊥ DM$,$BE// AF// DM$.
∴$∠ BCM=∠ CBE=60°$,$∠ ACM=∠ CAF=30°$.
∴$∠ ACB=∠ BCM-∠ ACM=60°-30°=30°$.
(2)
∵$∠ CBE=60°$,
∴$∠ CBM=90°-∠ CBE=90°-60°=30°$.
由(1)得 $∠ ACB=30°$.
∴$∠ ABC=∠ ACB=30°$.
又
∵$AB=800\ \mathrm{m}$,
∴$AB=AC=800\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中,$\sin∠ ACM=\frac{AM}{AC}$,$\cos∠ ACM=\frac{CM}{AC}$,
∴$AM=AC· \sin∠ ACM=800× \sin30°=800× \frac{1}{2}=400(\mathrm{m})$,
$CM=AC· \cos∠ ACM=800× \cos30°=800× \frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}(\mathrm{m})$.
∴$BM=BA+AM=800+400=1\ 200\mathrm{m}$.
∵$∠ BDM=45°$,$BM⊥ DM$,
∴$DM=BM=1\ 200\ \mathrm{m}$.
∴$DC=DM-CM=(1\ 200-400\sqrt{3})\mathrm{m}$.
∴景点 C 与景点 D 之间的距离为 $(1\ 200-400\sqrt{3})\mathrm{m}$.