1 如图，$AC ⊥ AB$，$AC ⊥ CD$，要使得$△ ABC ≌ △ CDA$。若以“HL”为判断依据，则需添加的条件是 （）

A.$∠ ACB = ∠ CAD$
B.$AB = CD$
C.$∠ B = ∠ D$
D.$BC = DA$

1. D

【分析】
首先明确题目要求以“HL”为依据判定△ABC≌△CDA，可按以下思路推导：第一步先判断两个三角形的类型，根据已知AC⊥AB、AC⊥CD，可得两个三角形都是直角三角形，且二者有公共直角边AC=CA。第二步回忆HL判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，已有一组直角边相等，因此只需添加两个直角三角形的斜边对应相等即可满足HL的判定条件，再结合选项判断即可。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC=∠DCA=90°，即△ABC和△CDA均为直角三角形，且公共边AC=CA。
HL判定定理要求：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则两三角形全等。
已知直角边AC=CA，因此只需添加斜边相等，即BC=DA，就可通过HL判定△ABC≌△CDA。
逐一分析其他选项：
A选项∠ACB=∠CAD，结合∠BAC=∠DCA、AC=CA，属于ASA判定，不符合HL要求；
B选项AB=CD，结合∠BAC=∠DCA、AC=CA，属于SAS判定，不符合HL要求；
C选项∠B=∠D，结合∠BAC=∠DCA、AC=CA，属于AAS判定，不符合HL要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用范围和条件，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且判定条件为斜边+一条直角边对应相等，要注意区分HL与其他全等判定定理的差异，避免混淆误用。
【难度系数】
0.8

2 如图，在四边形ABCD中，CD=CB，∠B=∠D=90°.若∠BAC=55°，则∠BCD的度数为.

2. $70°$

【分析】
首先观察图形可知存在两个直角三角形Rt△ADC和Rt△ABC，已知CD=CB，且两个三角形有公共斜边AC，可先通过HL定理判定两个直角三角形全等，得到∠ACD=∠ACB；再利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ACB的度数，最后将∠ACB与∠ACD相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADC和△ABC均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$\begin{cases} CD=CB \\ AC=AC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ABC$（HL），
∴∠ACD=∠ACB。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠B=90°，∠BAC=55°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-55°=35°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=35°+35°=70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
HL证直角三角形全等，直角三角形两锐角互余，全等三角形对应角相等
【点评】
本题是全等三角形与直角三角形性质的基础综合题，解题核心是先通过HL判定直角三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形的角度特征计算所求角度，对全等判定定理的熟练掌握是解题的关键。
【难度系数】
0.75

3 教材P43练习T1变式 如图，小明和小芳以相同的速度分别从点A，B同时出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达点C，D。若$CB ⊥ AB$，$DA ⊥ AB$，则DA与CB相等吗？请说明理由。

3. $DA=CB$ 理由:由题意,知 $AC=BD$, $\because CB ⊥ AB, DA ⊥ AB, \therefore ∠ DAB = ∠ CBA = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ DAB$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中,
$\begin{cases} BD=AC,\\ AB=BA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DAB ≌ \mathrm{Rt}△ CBA. \therefore DA=CB.$

【分析】
解题时首先将实际行程条件转化为数学边的关系：速度、时间均相同的情况下，路程相等，可得AC=BD；接着观察图形，由两个垂直条件可知△DAB和△CBA都是直角三角形，要证DA=CB，只需证明这两个直角三角形全等即可；最后找全等条件：两直角三角形斜边BD=AC，公共直角边AB=BA，符合HL判定定理，即可通过证全等得对应边相等。
【解析】
解：DA与CB相等，理由如下：
由题意得，小明和小芳行走速度相同，同时出发且同时到达，因此路程相等，即$AC=BD$。
$\because CB ⊥ AB, DA ⊥ AB$，
$\therefore ∠DAB = ∠CBA = 90°$，$△ DAB$和$△ CBA$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DAB$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中:
$\begin{cases} BD=AC\\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DAB ≌ \mathrm{Rt}△ CBA$（HL）。
由全等三角形对应边相等，可得$DA=CB$。
【答案】
$DA=CB$
【知识点】
HL判定直角三角形全等，全等三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题结合实际行程场景考查全等三角形的判定与应用，需要学生先将实际条件转化为数学中的边相等关系，再结合图形的公共边、垂直条件证明三角形全等，进而得到边相等的结论，侧重对基础定理的掌握和条件转化能力的考查。
【难度系数】
0.8

4 如图,点F,C在AD上,AB⊥BC,EF⊥DE,AF=DC,BC=EF,求证:AB//DE.

4. $\because AB ⊥ BC, EF ⊥ DE, \therefore ∠ B = ∠ E = 90°. \because AF=DC,$
$\therefore AF+FC=DC+FC, 即 AC=DF. 在 \mathrm{Rt}△ ABC 和 \mathrm{Rt}△ DEF$
中, $\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ ABC ≌ \mathrm{Rt} △ DEF. \therefore ∠ A = ∠ D.$
$\therefore AB // DE$

【分析】
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ A=∠ D$即可。观察图形可知$∠ A$和$∠ D$分别属于$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$，因此需要先证明这两个直角三角形全等。已知两个三角形的一组直角边$BC=EF$，还缺斜边相等的条件，结合已知$AF=DC$，根据等式的性质，给两条相等线段同时加上公共线段$FC$，即可得到斜边$AC=DF$，最后利用HL定理判定两个直角三角形全等，得到对应角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because AB ⊥ BC, EF ⊥ DE,$
$\therefore ∠ B = ∠ E = 90°.$
$\because AF=DC,$
$\therefore AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ ABC ≌ \mathrm{Rt} △ DEF(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ A = ∠ D.$
$\therefore AB // DE$（内错角相等，两直线平行）.
【答案】
$AB// DE$，证明成立。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将直角三角形全等的判定、全等三角形的性质和平行线的判定结合考查，解题的关键是通过线段和的关系得到全等需要的对应边相等，熟练掌握相关定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

5 如图，$AB=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，$D$是$EF$上一点，$AE⊥ EF$于点$E$，$CF⊥ EF$于点$F$，且$AE=CF$。求证：$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$。
（第5题）

5. 如图,连接 $BD$. $\because ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中, $\begin{cases} BD=BD,\\ AB=CB, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD. \therefore AD=CD. \because AE ⊥ EF, CF ⊥ EF, \therefore ∠ E = ∠ F = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $\begin{cases} AD=CD,\\ AE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$

【分析】
要证明$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$，已知$AE⊥EF$、$CF⊥EF$可得$∠ E=∠ F=90°$，且题目给出$AE=CF$，根据“HL”判定定理，还需要证明斜边$AD=CD$。观察已知条件，$AB=BC$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，可通过连接公共边$BD$，先利用HL证明$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CBD$，即可得到$AD=CD$，进而完成待证全等的推导。
【解析】
1. 作辅助线连接$BD$：
$\because ∠ BAD=∠ BCD=90°$，$\therefore △ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中：
$\begin{cases} BD=BD\quad(\mathrm{公共边相等})\\ AB=CB\quad(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL})$，由全等三角形对应边相等可得$AD=CD$。
2. 证明$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$：
$\because AE⊥EF$，$CF⊥EF$，$\therefore ∠ E=∠ F=90°$，即$△ ADE$和$△ CDF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases} AD=CD\quad(\mathrm{已证})\\ AE=CF\quad(\mathrm{已知}) \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$。
【答案】
如图,连接 $BD$. $\because ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中, $\begin{cases} BD=BD,\\ AB=CB, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD. \therefore AD=CD. \because AE ⊥ EF, CF ⊥ EF, \therefore ∠ E = ∠ F = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $\begin{cases} AD=CD,\\ AE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF$

【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题核心是通过构造辅助线$BD$，先利用公共边和已知等边证明一对直角三角形全等，得到待证全等三角形所需的等边，再结合HL定理完成证明，重点考查对全等判定定理的理解和辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7

6 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角分别对应相等
B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边和斜边分别对应相等
D.一个锐角和一条斜边分别对应相等

6. A

【分析】
解题时首先回忆三角形全等的判定条件，全等判定必须有至少一组对应边相等，再结合直角三角形特有的HL判定定理，逐一分析每个选项是否符合全等判定要求即可。
【解析】
判定三角形全等至少需要1组对应边相等，直角三角形的全等判定可使用普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS定理，也可使用特有的HL定理：
A选项：两个锐角分别对应相等，仅能证明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定全等；
B选项：两条直角边分别对应相等，直角为两边的夹角，符合SAS判定定理，可判定全等；
C选项：一条直角边和斜边分别对应相等，符合直角三角形特有的HL判定定理，可判定全等；
D选项：一个锐角和斜边分别对应相等，加上两个三角形的直角相等，符合AAS判定定理，可判定全等。
综上，只有A选项不能判定两个直角三角形全等。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形判定定理、HL定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要明确普通三角形的全等判定规则同样适用于直角三角形，同时注意仅角对应相等没有边对应相等时，只能判定三角形相似，不能判定全等。
【难度系数】
0.8

7 如图，$∠ C = ∠ D = 90°$，要判定$△ ABC ≌ △ BAD$，在不添加辅助线和其他字母的情况下，还需要什么条件？把这些条件写出来，并在括号内填上判定它们全等的依据（每条横线上只填写一个条件）。

(1) ();
(2) ();
(3) ();
(4) ()

7. （1）$AC = BD$ HL （2）$CB = DA$ HL （3）$∠ CAB = ∠ DBA$ AAS （4）$∠ CBA = ∠ DAB$ AAS

【分析】
首先梳理已知条件：△ABC和△BAD都是直角三角形，且二者有公共斜边AB，已经满足“一组直角相等、一组斜边相等”的条件。要判定两三角形全等，可分两类思考：①用直角三角形特有的HL判定，只需再添加一组直角边对应相等；②用一般三角形的AAS判定，只需再添加一组锐角对应相等，结合图形逐一梳理符合要求的条件即可。
【解析】
已知∠C=∠D=90°，故△ABC和△BAD均为直角三角形，且AB是两个三角形的公共边，即AB=BA。
(1) 若添加$AC = BD$，两个直角三角形的斜边AB=BA，一条直角边AC=BD，依据HL可判定全等；
(2) 若添加$CB = DA$，两个直角三角形的斜边AB=BA，一条直角边CB=DA，依据HL可判定全等；
(3) 若添加$∠ CAB = ∠ DBA$，此时有∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=BA，依据AAS可判定全等；
(4) 若添加$∠ CBA = ∠ DAB$，此时有∠C=∠D，∠CBA=∠DAB，AB=BA，依据AAS可判定全等。
【答案】
（1）$AC = BD$ HL
（2）$CB = DA$ HL
（3）$∠ CAB = ∠ DBA$ AAS
（4）$∠ CBA = ∠ DAB$ AAS
【知识点】
HL判定全等，AAS判定全等，公共边性质
【点评】
本题属于全等判定的开放类基础题，解题核心是挖掘出公共边相等这一隐含条件，结合已知的直角相等，从边、角两个维度分类寻找缺失的判定条件，注意不要漏解或重复。
【难度系数】
0.8