9 分类讨论思想 $∠ AOB$ 与$∠ EPF(∠ AOB＜∠ EPF)$的部分尺规作图痕迹如图所示(无需补全作图痕迹),尺规作图过程如下:
(1) 以点 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧 $MN$(弧 $MN$ 足够长),交射线 $OA$,$OB$ 分别于 $C$,$D$ 两点,连接 $CD$;
(2) 以点 $P$ 为圆心,$OD$ 长为半径作弧 $M'N'$(弧 $M'N'$ 足够长),交 $PF$ 于点 $D'$;
(3) 以点 $D'$为圆心,$CD$ 长为半径作弧,交弧 $M'N'$于点 $C'$,作射线 $PC'$.
若$∠ AOB = 45°$,$∠ EPF = 65°$,当 $PG$ 为$∠ EPC'$的平分线时,$∠ C'PG$ 的度数为.

9. $10°或55°$
【解析】由作图可知，$∠AOB=∠FPC'=45°$.当射线 $PC'$ 在 $∠EPF$ 的内部时，如图 ①. $\because ∠EPF=65°$，$∠FPC'=45°,\therefore ∠EPC'=∠EPF-∠FPC'=65°-45°=20°$. $\because PG$ 为$∠EPC'$的平分线，$\therefore ∠C'PG=\frac{1}{2}∠EPC'=10°$.当射线 $PC'$ 在 $∠EPF$ 的外部时，如图②. $\because ∠EPF=65°,∠FPC'=45°,\therefore ∠EPC'=65°+45°=110°$. $\because PG$ 为 $∠EPC'$ 的平分线，$\therefore ∠C'PG=\frac{1}{2}∠EPC'=55°$.综上所述，$∠C'PG$ 的度数为 $10°$ 或 $55°$.

【分析】
首先根据尺规作图的特征，判断该作图是作一个角等于已知角，可得∠FPC'=∠AOB=45°；由于题目未明确射线PC'的位置，需分类讨论PC'在∠EPF内部和外部两种情况：每种情况先计算出∠EPC'的度数，再根据角平分线的定义，∠C'PG是∠EPC'的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
由尺规作图的原理可知，所作∠FPC'=∠AOB=45°，分两种情况讨论：
1. 当射线$PC'$ 在 $∠EPF$ 的内部时，如图 ①：
$\because ∠EPF=65°$，$∠FPC'=45°$
$\therefore ∠EPC'=∠EPF-∠FPC'=65°-45°=20°$
$\because PG$ 为$∠EPC'$的平分线
$\therefore ∠C'PG=\frac{1}{2}∠EPC'=\frac{1}{2}×20°=10°$
2. 当射线 $PC'$ 在 $∠EPF$ 的外部时，如图②：
$\because ∠EPF=65°,∠FPC'=45°$
$\therefore ∠EPC'=∠EPF+∠FPC'=65°+45°=110°$
$\because PG$ 为 $∠EPC'$ 的平分线
$\therefore ∠C'PG=\frac{1}{2}∠EPC'=\frac{1}{2}×110°=55°$
综上所述，$∠C'PG$ 的度数为 $10°$ 或 $55°$。
【答案】
$10°或55°$
【知识点】
作一个角等于已知角；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题将尺规作图与角的运算相结合，解题关键是明确作一个角等于已知角的作图原理，易错点是忽略射线PC'位置的不确定性，漏去其中一种情况，需要养成全面思考的习惯。
【难度系数】
0.6

10 如图,在$△ ABC$中,点 M 在边 CB 的延长线上,过点 M 作$MP// AC$,N 是射线 MP 上一点,且满足$MN=AC$.
(1) 使用尺规在射线 MP 的左侧作$∠ MNQ=∠ A$,NQ 与射线 CB 交于点 Q(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 求证:$AB// NQ$.

10. (1) 如图，$∠MNQ$ 即为所求
(2) $\because MP// AC,\therefore ∠C=∠PMQ$. 在$△ ABC$ 和$△ NQM$ 中,$\begin{cases} ∠C=∠NMQ, \\ AC=NM, \\ ∠A=∠MNQ, \end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ NQM$. $\therefore ∠ABC=∠NQM$. $\therefore AB// NQ$

【分析】
(1) 本问是尺规作图题，核心是运用“作一个角等于已知角”的基本作图方法：以点N为顶点，MN为角的一边，在射线MP的左侧，作出和∠A大小相等的∠MNQ，使角的另一边交射线CB于点Q即可，作图时注意保留作图痕迹。
(2) 本问要证明AB//NQ，可通过“同位角相等，两直线平行”推导：首先由MP//AC的条件，可得同位角∠C=∠PMQ；再结合题目给出的AC=MN，以及作图得到的∠A=∠MNQ，可通过ASA判定△ABC和△NQM全等；由全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠NQM，这组同位角相等即可推出AB//NQ。
【解析】
(1) 依据“作一个角等于已知角”的尺规作图步骤操作，保留作图弧线痕迹，得到的∠MNQ即为所求。
(2) 证明：
$\because MP// AC$，
$\therefore ∠C=∠PMQ$。
在$△ ABC$ 和$△ NQM$ 中,
$\begin{cases} ∠C=∠NMQ, \\ AC=NM, \\ ∠A=∠MNQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ NQM$。
$\therefore ∠ABC=∠NQM$。
$\therefore AB// NQ$。
【答案】
(1) 如图，$∠MNQ$ 即为所求
(2) $\because MP// AC,\therefore ∠C=∠PMQ$. 在$△ ABC$ 和$△ NQM$ 中,$\begin{cases} ∠C=∠NMQ, \\ AC=NM, \\ ∠A=∠MNQ, \end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ NQM$. $\therefore ∠ABC=∠NQM$. $\therefore AB// NQ$
【知识点】
作一个角等于已知角；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考察了基本作图的操作技能，又考察了全等三角形、平行线相关性质和判定的应用，属于基础类几何题，侧重对核心基础知识的掌握情况的考察。
【难度系数】
0.8

11 如图所示为$∠ ABC$.
(1) 尺规作图:过点$A$作$BC$的平行线$AD$,使得点$D$,$C$在直线$AB$的异侧.
(2) 设点$E$在$BC$边上,在射线$AD$上取点$F$,使得$BE=AF$,则点$E$,$F$到直线$AB$的距离是否相等?并说明理由.

11. (1) 如图所示
(2) 点 E,F 到直线 AB 的距离相等 理由：如图，过点 E 作$EH⊥AB$于点 H，过点 F 作$FG⊥AB$于点 G，则$∠AGF=∠BHE=90°$.由(1)中作图，知$∠FAG=∠EBH$.
在 $△ AFG$ 和 $△ BEH$ 中, $\begin{cases} ∠AGF=∠BHE, \\ ∠FAG=∠EBH, \\ AF=BE, \end{cases}$ $\therefore △ AFG ≌ △ BEH$. $\therefore FG=EH$. $\therefore$ 点 E,F 到直线 AB 的距离相等.

【分析】
(1) 要过点A作BC的平行线，可利用“同位角相等，两直线平行”的原理，通过尺规作一个角等于已知角∠ABC，使所作角与∠ABC为同位角，即可得到平行线AD，同时保证点D、C在直线AB的异侧。
(2) 判断两点到直线的距离是否相等，首先明确点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度，因此先分别过E、F作AB的垂线得到两条垂线段，再结合已知条件证明包含这两条垂线段的三角形全等，即可得到垂线段长度相等，即两点到AB的距离相等。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交射线BA、BC于两个交点；
② 以点A为圆心，和①中相同的长度为半径画弧，交射线BA于点P；
③ 以点P为圆心，①中所得两个交点之间的距离为半径画弧，与②中所画的弧交于点Q（保证Q和C在AB的异侧）；
④ 过A、Q两点作直线AD，即为所求平行线。
(2) 两点到AB的距离相等，理由如下：
过点E作$EH⊥AB$于点H，过点F作$FG⊥AB$于点G，可得$∠AGF=∠BHE=90°$。
由(1)的作图可知$AD// BC$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠FAG=∠EBH$。
在$△ AFG$和$△ BEH$中：
$\begin{cases} ∠AGF=∠BHE \\ ∠FAG=∠EBH \\ AF=BE \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ BEH \mathrm{（AAS）}$
$\therefore FG=EH$，即点E、F到直线AB的距离相等。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 点E,F到直线AB的距离相等 理由：如图，过点 E 作$EH⊥AB$于点 H，过点 F 作$FG⊥AB$于点 G，则$∠AGF=∠BHE=90°$.由(1)中作图，知$∠FAG=∠EBH$.在 $△ AFG$ 和 $△ BEH$ 中, $\begin{cases} ∠AGF=∠BHE, \\ ∠FAG=∠EBH, \\ AF=BE, \end{cases}$ $\therefore △ AFG ≌ △ BEH$. $\therefore FG=EH$. $\therefore$ 点 E,F 到直线 AB 的距离相等.
【知识点】
尺规作平行线；全等三角形的判定与性质；点到直线的距离
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，既考查了基础作图能力，也考查了平行线性质、全等三角形证明等核心几何知识，解题时需明确作图原理，灵活运用全等三角形的性质证明线段相等。
【难度系数】
0.7

12 如图①，P是$△ ABC$内部一点.
（1）已知图②中线段$B'C'$与图①中$△ ABC$的边$BC$相等，请在$B'C'$的上方作出$∠ A'B'C'=∠ ABC$，$∠ A'C'B'=∠ ACB$，设$A'$为这两个角另一边的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请通过作图验证$AB+AC＞PB+PC$，给出必要的说明.

12. (1) 如图①所示 (2) 如图②，延长 BP 交 AC 于点 D. 在$△ ABD$中，$AB+AD＞PB+PD$，在$△ PCD$中，$PD+DC＞PC,\therefore AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC$. $\therefore AB+AC＞PB+PC$

【分析】
（1）第一问考查尺规作一个角等于已知角的基础操作，只需分别以B'、C'为顶点，B'C'为一边，在B'C'上方依次作出与∠ABC、∠ACB相等的角，两个角的另一边的交点即为所求点A'，保留作图弧线痕迹即可。
（2）第二问要证明线段和的不等关系，可联想到三角形三边关系“两边之和大于第三边”，通过作辅助线延长BP交AC于点D，将涉及的线段拆分到△ABD和△PCD两个三角形中，分别应用三边关系得到两个不等式，再将不等式相加化简，消去公共项PD即可推导出结论。
【解析】
（1）依据尺规作等角的方法，分别作∠A'B'C'=∠ABC，∠A'C'B'=∠ACB，两角的另一边交于点A'，作图痕迹如图①所示。
（2）如图②，延长BP交AC于点D：
①在△ABD中，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），可得$AB+AD＞PB+PD$；
②在△PCD中，同理可得$PD+DC＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC$，
因为$AD+DC=AC$，两边同时减去PD，化简后可得$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
(1) 如图①所示
(2) 如图②，延长 BP 交 AC 于点 D. 在$△ ABD$中，$AB+AD＞PB+PD$，在$△ PCD$中，$PD+DC＞PC,\therefore AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC$. $\therefore AB+AC＞PB+PC$
【知识点】
尺规作等角；三角形三边关系
【点评】
本题既考查了基础的尺规作图技能，又考查了三角形三边关系的实际应用，构造辅助线整合分散的线段关系是解决这类线段和不等问题的常用思路，能够有效锻炼几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7