13.（15分）分类讨论思想 如图，M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从点M，B同时出发，以1 cm/s，3 cm/s的速度沿直线BA向左运动（点C在线段AM上，点D在线段BM上）。
（1）若AB=10 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的值。
（2）若点C，D运动时，总有MD=3AC，则AM=AB。
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求$\frac{MN}{AB}$的值。

13. （1）当点C，D运动了2 s时,$CM=2$ cm,$BD=6$ cm. 又因为$AB=10$ cm,所以$AC+MD=AB-CM-BD=10-2-6=2(\mathrm{cm})$. （2）$\frac{1}{4}$. 设运动时间为$t$ s,则$CM=t$ cm,$BD=3t$ cm,即$BD=3CM$. 因为$AC=AM-CM$,$MD=BM-BD$,$MD=3AC$,所以$BM-BD=3(AM-CM)$,即$BM-3CM=3(AM-CM)$,即$BM=3AM$. 因为$BM=AB-AM$,所以$AB-AM=3AM$. 所以$AM=\frac{1}{4}AB$. （3）① 当点N在线段AB上时,如图①. 因为$AN-BN=MN$,$AN-AM=MN$,所以$BN=AM=\frac{1}{4}AB$. 所以$MN=\frac{1}{2}AB$,即$\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$.② 当点N在线段AB的延长线上时,如图②. 因为$AN-BN=MN$,$AN-BN=AB$,所以$MN=AB$,即$\frac{MN}{AB}=1$.综上所述,$\frac{MN}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$或1.

14. (15分)如图，$∠ AOC=20°$，以$O$为顶点，$OA$为一边顺次往外画两个锐角$∠ AOB$和$∠ BOD$，并且$∠ BOD=2∠ AOB$，$OM$平分$∠ BOD$，$ON$平分$∠ BOC$。若设$∠ AOB=x°(0＜x＜45)$。
(1) 当射线$ON$在$∠ AOB$内时。
① 若$∠ AON=10°$，求$x$的值。
② 若$OE$是$∠ BOM$内的一条射线，且$∠ BOE=(\dfrac{3}{4}x -5)°$，判断$OE$是图中哪个角的平分线，并说明理由。
(2) 改变$∠ AOB$的大小，探究$∠ MON - ∠ AOB - ∠ AON$的大小是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由。

14. （1）① 因为ON平分$∠ BOC$,所以$∠ NOC=∠ BON$. 因为$∠ NOC=∠ AOC+∠ AON=20°+10°=30°$,所以$∠ BON=30°$. 所以$∠ AOB=∠ BON+∠ AON=30°+10°=40°$,即$x$的值为40. ② OE是$∠ DON$的平分线. 理由:因为$∠ AOB=x°$,$∠ AOC=20°$,所以$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=x°+20°$. 因为ON平分$∠ BOC$,所以$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}x°+10°$. 因为$∠ BOD=2∠ AOB=2x°$,OM平分$∠ BOD$,所以$∠ DOM=∠ BOM=x°$. 因为$∠ BOE=(\frac{3}{4}x-5)°$,所以$∠ MOE=∠ BOM-∠ BOE=x°-(\frac{3}{4}x-5)°=\frac{1}{4}x°+5°$. 因为$∠ DOE=∠ MOE+∠ DOM=\frac{1}{4}x°+5°+x°=\frac{5}{4}x°+5°$,$∠ NOE=∠ BOE+∠ BON=(\frac{3}{4}x-5)°+\frac{1}{2}x°+10°=\frac{5}{4}x°+5°$,所以$∠ DOE=∠ NOE$. 所以OE是$∠ DON$的平分线. （2）$∠ MON - ∠ AOB - ∠ AON$的大小会发生变化.理由:如图①,当ON在$∠ AOC$内时,因为$∠ MON=∠ MOB+∠ BON$,所以$∠ MON-∠ AOB-∠ AON=∠ MOB+∠ BON-∠ AOB-∠ AON=∠ BOM$. 因为$∠ BOD=2∠ AOB$,OM平分$∠ BOD$,所以$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}· 2x°=x°$. 如图②,当ON在$∠ AOB$内时,因为$∠ MON=∠ MOB+∠ BON$,所以$∠ MON-∠ AOB-∠ AON=∠ MOB+∠ BON-∠ AOB-∠ AON=∠ BOM-2∠ AON$. 由（1）②知,$∠ BON=∠ NOC=\frac{1}{2}x°+10°$,所以$∠ AON=∠ NOC-∠ AOC=\frac{1}{2}x°+10°-20°=\frac{1}{2}x°-10°$. 因为$∠ BOM=x°$,所以$∠ BOM-2∠ AON=x°-2(\frac{1}{2}x°-10°)=20°$. 综上所述,$∠ MON-∠ AOB-∠ AON$的大小会发生变化,它的值为$x°$或$20°$.