1.（2026·江苏苏州期末）如图，直线$AB// CD$，点$G$，$F$分别在$AB$，$CD$上，$GE⊥ EF$。若$∠ BGE＝60°$，则$∠ EFD$的度数是（）

A.$60°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$70°$

过点 E 向左侧作 $EH// AB$,则 $∠ HEG=∠ BGE=60°$. 因为 $GE⊥ EF$,所以 $∠ FEG=90°$,所以 $∠ HEF=∠ FEG-∠ HEG=30°$. 因为 $AB// CD$,所以 $EH// CD$,所以 $∠ EFD=∠ HEF=30°$.

2. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 $，$ ∠ α = ∠ β $。若$ ∠ 1 = 40° $，则$ ∠ 2 = $。

如图,过点 B 作 $BE// l_1$,过点 C 作 $CF// l_2$,则 $∠ ABE=∠ 1=40°$, $∠ 2+∠ DCF=180°$. 因为 $l_1// l_2$,所以 $BE// CF$,所以 $∠ CBE=∠ BCF$. 因为 $∠ α=∠ β$,所以 $∠ ABE+∠ CBE=∠ DCF+∠ BCF$,所以 $∠ DCF=∠ ABE=40°$,所以 $∠ 2=180°-∠ DCF=140°$.

3. 如图①，AB//CD，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O.
（1）试猜想∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，已知AB//CD，则∠1，∠2，∠3，∠4，…，∠(2n－1)，∠2n之间有什么关系？

（1）$∠ 2=∠ 1+∠ 3$. 理由如下:过点 O 向右侧作 $ON// AB$,则 $∠ EON=∠ 1$. 因为 $AB// CD$,所以 $ON// CD$,所以 $∠ FON=∠ 3$. 因为 $∠ 2=∠ EON+∠ FON$,所以 $∠ 2=∠ 1+∠ 3$.
（2）如图,当 $n=2$ 时,过点 F 作 $FM// AB$,过点 G 作 $GN// CD$,则 $∠ EFM=∠ 1$, $∠ NGH=∠ 4$. 因为 $AB// CD$,所以 $FM// NG$,所以 $∠ GFM=∠ NGF$,所以 $∠ 1+∠ 3=∠ EFM+∠ NGF+∠ NGH=∠ EFM+∠ GFM+∠ 4=∠ 2+∠ 4$. 依此类推,得 $∠ 1+∠ 3+∠ 5+\dots+∠(2n-1)=∠ 2+∠ 4+∠ 6+\dots+∠ 2n$.

4. 如图①，已知$AB// CD$，$E$为直线$CD$下方一点，$BF$平分$∠ ABE$.
（1）$∠ ABE+∠ C-∠ E=$；
（2）如图②，$EG$平分$∠ BEC$，过点$B$作$BH// EG$，求$∠ FBH$与$∠ C$之间的数量关系；
（3）如图③，$CN$平分$∠ ECD$.若$BF$的反向延长线和$CN$的反向延长线交于点$M$，且$∠ E=2∠ M$，请求出$∠ E$的度数.

（1）$180°$ 解析:如图①,过点 E 作 $EK// AB$,则 $∠ ABE=∠ BEK$. 因为 $AB// CD$,所以 $EK// CD$,所以 $∠ CEK+∠ C=180°$,所以 $∠ BEK-∠ BEC+∠ C=180°$,所以 $∠ ABE+∠ C-∠ BEC=180°$.

（2）因为 BF,EG 分别平分 $∠ ABE,∠ BEC$,所以 $∠ ABF=∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABE$, $∠ BEG=∠ CEG=\frac{1}{2}∠ BEC$. 设 $∠ ABF=∠ EBF=α$, $∠ BEG=∠ CEG=β$,则 $∠ ABE=2∠ ABF=2α$, $∠ BEC=2∠ BEG=2β$. 因为 $BH// EG$,所以 $∠ HBE=∠ BEG=β$,所以 $∠ FBH=∠ EBF-∠ HBE=α-β$. 因为 $∠ ABE+∠ C-∠ BEC=180°$,所以 $2α+∠ C-2β=2(α-β)+∠ C=180°$,所以 $2∠ FBH+∠ C=180°$.
（3）如图②,过点 M 作 $PQ// AB$. 因为 BF,CN 分别平分 $∠ ABE,∠ ECD$,所以 $∠ ABF=∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABE$,$∠ ECN=∠ DCN=\frac{1}{2}∠ ECD$. 设 $∠ ABF=∠ EBF=x$,$∠ ECN=∠ DCN=y$,则 $∠ PMF=∠ ABF=x$,$∠ ABE=2∠ ABF=2x$,$∠ ECD=2∠ ECN=2y$. 因为 $∠ ABE+∠ ECD-∠ E=180°$,所以 $∠ E=2(x+y)-180°$. 因为 $AB// CD$,所以 $PQ// CD$,所以 $∠ QMN=∠ DCN=y$,所以 $∠ FMN=180°-∠ PMF-∠ QMN=180°-(x+y)$. 因为 $∠ E=2∠ FMN$,所以 $2(x+y)-180°=2[180°-(x+y)]$,所以 $x+y=135°$,所以 $∠ E=2× 135°-180°=90°$.