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10. 如图，已知$AB// CD$，$EC⊥ CD$，$CF$交$AB$于点$B$.若$∠ 2=29°$，则$∠ 1$的度数是（
A.$58°$
B.$59°$
C.$61°$
D.$62°$
C
）A.$58°$
B.$59°$
C.$61°$
D.$62°$
答案
10. C 解析:如图,延长 $DC$ 到点 $G$. 因为 $EC ⊥ CD$, 所以 $∠ GCE = 90°$. 因为 $∠ 2 = 29°$, 所以 $∠ 3 = 90° - ∠ 2 = 61°$. 因为 $AB // CD$, 所以 $∠ 1 = ∠ 3 = 61°$.
11. 新素养 几何直观 如图，梯形刀片的上、下边是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2=
90°
。答案
11. $90°$ 解析:过点 $E$ 作与刀片上、下边平行的直线,则由平行的性质可得 $∠ 1 + ∠ 2 = 90°$.
12. (2026·江苏淮安期末)如图，直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，AB//CD，MG⊥EF，HN平分∠CHG.若∠CHN=32°，则∠AGM=
26°
.答案
12. $26°$ 解析:因为 $HN$ 平分 $∠ CHG$,$∠ CHN = 32°$, 所以 $∠ CHG = 2∠ CHN = 64°$. 因为 $AB // CD$, 所以 $∠ AGH + ∠ CHG = 180°$, 所以 $∠ AGH = 180° - ∠ CHG = 116°$. 因为 $MG ⊥ EF$, 所以 $∠ MGH = 90°$, 所以 $∠ AGM = ∠ AGH - ∠ MGH = 26°$.
13. 若∠A与∠B的两边互相平行，∠A=40°，
则∠B=
则∠B=
40°或140°
.答案
13. $40°$或$140°$ 解析:分类讨论如下:① 如图①,因为 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的两边互相平行, 所以 $∠ 1 = ∠ A$,$∠ B = ∠ 1$, 所以 $∠ B = ∠ A = 40°$;② 如图②, 因为 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的两边互相平行, 所以 $∠ 2 = ∠ A = 40°$,$∠ 2 + ∠ B = 180°$, 所以 $∠ B = 180° - ∠ 2 = 140°$. 综上所述, $∠ B = 40°$ 或 $140°$.
易错警示
注意分类讨论,避免漏解.
14. 如图，已知$∠ 1=∠ BDC$，$∠ 2+∠ 3=180°$。
（1）请你判断直线AD与EC的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分$∠ BDC$，$CE⊥ AF$交FA的延长线于点E，$∠ 1=70°$，试求$∠ FAB$的度数。
（1）请你判断直线AD与EC的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分$∠ BDC$，$CE⊥ AF$交FA的延长线于点E，$∠ 1=70°$，试求$∠ FAB$的度数。
答案
14. (1) $AD // EC$. 理由如下: 因为 $∠ 1 = ∠ BDC$, 所以 $AB // CD$, 所以 $∠ 2 = ∠ ADC$. 因为 $∠ 2 + ∠ 3 = 180°$, 所以 $∠ ADC + ∠ 3 = 180°$, 所以 $AD // EC$.
(2) 因为 $DA$ 平分 $∠ BDC$,$∠ 1 = 70°$, 所以 $∠ 2 = ∠ ADC = \frac{1}{2}∠ BDC = \frac{1}{2}∠ 1 = 35°$. 因为 $CE ⊥ AE$, 所以 $∠ AEC = 90°$. 因为 $AD // EC$, 所以 $∠ FAD = ∠ AEC = 90°$, 所以 $∠ FAB = ∠ FAD - ∠ 2 = 55°$.
(2) 因为 $DA$ 平分 $∠ BDC$,$∠ 1 = 70°$, 所以 $∠ 2 = ∠ ADC = \frac{1}{2}∠ BDC = \frac{1}{2}∠ 1 = 35°$. 因为 $CE ⊥ AE$, 所以 $∠ AEC = 90°$. 因为 $AD // EC$, 所以 $∠ FAD = ∠ AEC = 90°$, 所以 $∠ FAB = ∠ FAD - ∠ 2 = 55°$.
15. 新素养 推理能力 如图,已知射线$OP// AE$，$∠ A=α$，依次作出$∠ AOP$的平分线$OB$，$∠ BOP$的平分线$OB_1$，$∠ B_1OP$的平分线$OB_2$，…，$∠ B_{2025}OP$的平分线$OB_{2026}$，其中点$B,B_1,B_2,\dots,B_{2026}$都在射线$AE$上，则$∠ AB_{2026}O$的度数为（
A.$\frac{180° - α}{2^{2026}}$
B.$\frac{180° - α}{2^{2025}}$
C.$\frac{180° - α}{2^{2027}}$
D.$\frac{180° - α}{2}$
C
）A.$\frac{180° - α}{2^{2026}}$
B.$\frac{180° - α}{2^{2025}}$
C.$\frac{180° - α}{2^{2027}}$
D.$\frac{180° - α}{2}$
答案
15. C 解析: 因为 $OP // AE$, 所以 $∠ A + ∠ AOP = 180°$,$∠ ABO = ∠ BOP$. 因为 $∠ A = α$, 所以 $∠ AOP = 180° - α$. 因为 $OB$ 平分 $∠ AOP$, 所以 $∠ ABO = ∠ BOP = \frac{1}{2}∠ AOP = \frac{1}{2}(180° - α)$. 同理, 得 $∠ AB_1O = ∠ B_1OP = \frac{1}{2}∠ BOP = \frac{1}{2^2}(180° - α)$,$∠ AB_2O = \frac{1}{2^3}(180° - α)$,$\dots$, 则 $∠ AB_{2026}O = \frac{180° - α}{2^{2027}}$.
16. 如图①，已知$AB // CD$，$∠ B = 30°$，$∠ D = 120°$，$∠ BEF = x°$，$∠ DFE = y°$.
（1）若$x=60$，则$y=\_\_\_\_\_\_$；
（2）试探索$x$与$y$之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，已知$EP$平分$∠ BEF$，$FG$平分$∠ DFE$，反向延长$FG$交$EP$于点$P$，求$∠ P$的度数.
（1）若$x=60$，则$y=\_\_\_\_\_\_$；
（2）试探索$x$与$y$之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，已知$EP$平分$∠ BEF$，$FG$平分$∠ DFE$，反向延长$FG$交$EP$于点$P$，求$∠ P$的度数.
答案
16. (1) 90
(2) $x$ 与 $y$ 之间的数量关系为 $y - x = 30$. 理由如下:
如图①, 分别过点 $E,F$ 作 $EM // AB$,$FN // AB$, 则 $∠ BEM = ∠ B = 30°$,$EM // FN$, 所以 $∠ EFN = ∠ FEM$. 因为 $AB // CD$, 所以 $FN // CD$, 所以 $∠ DFN + ∠ D = 180°$. 因为 $∠ D = 120°$, 所以 $∠ DFN = 180° - ∠ D = 60°$, 所以 $∠ EFN = ∠ DFE - ∠ DFN = (y - 60)°$. 因为 $∠ FEM = ∠ BEF - ∠ BEM = (x - 30)°$, 所以 $y - 60 = x - 30$, 所以 $y - x = 30$.
(3) 如图②, 过点 $F$ 作 $FH // EP$, 则 $∠ P = ∠ HFG$,$∠ EFH = ∠ PEF$. 因为 $EP$ 平分 $∠ BEF$,$FG$ 平分 $∠ DFE$, 所以 $∠ PEF = \frac{1}{2}∠ BEF = \frac{1}{2}x°$,$∠ EFG = \frac{1}{2}∠ DFE = \frac{1}{2}y°$, 所以 $∠ EFH = ∠ PEF = \frac{1}{2}x°$, 所以 $∠ HFG = ∠ EFG - ∠ EFH = \frac{1}{2}(y - x)°$. 因为 $y - x = 30$, 所以 $∠ P = ∠ HFG = 15°$.
