1. (2026·江苏苏州期末)定义:若$10^x=N$,则$x=\log_{10}N$,x称为以10为底的N的对数,简记为$\lg N$,其满足运算法则:$\lg M+\lg N=\lg (M· N)(M＞0,N＞0)$.例如:因为$10^2=100$,所以$2=\lg 100$,即$\lg 100=2$;$\lg 4+\lg 3=\lg 12$.根据上述定义和运算法则,计算$(\lg 2)^2+\lg 2· \lg 5+\lg 5$的结果为 ()

A.5
B.2
C.1
D.0

1. C

2. 亮点原创·在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究一种特殊的数——亮点数.定义:若一个两位数恰好等于它的各数位上数字之和的5倍，则称这个两位数为亮点数.若一个亮点数的个位数字比十位数字大1，则这个亮点数是.

2. 45 解析:设这个亮点数的十位数字是x,则它的个位数字是x+1.由题意,得10x+(x+1)=5[x+(x+1)],解得x=4,则x+1=5.故这个亮点数是45.

3. 若一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，则称它为“优美长方形”.如图，若“优美长方形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为.

3. 5 解析:设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,所以正方形c的边长为2x+x=3x,所以正方形d的边长为2x+3x=5x.由题意,得2(2x+x+5x+5x)=26,解得x=1,所以正方形d的边长为5.

4. (2026·江苏常州期末)如图表示$3×3$的数表，数表每个位置所对应的数都是1,2或3.定义$a*b$为数表中第$a$行第$b$列的数，例如：数表第3行第1列所对应的数是2，所以$3*1=2$.若$2*3=(2x+1)*2$，则$x$的值为.

4. 0或1 解析:由题意,得2*3=3,所以(2x+1)*2=3,所以2x+1=1或2x+1=3,解得x=0或x=1.

5. 定义:对于整数$n$,在计算$n+(n+1)+(n+2)$时,若结果能被15整除,则称$n$是15的“亲和数”.如:4是15的“亲和数”,因为$4+5+6=15$,$15$能被15整除;$-7$不是15的“亲和数”,因为$(-7)+(-6)+(-5)=-18$,$-18$不能被15整除.
(1) $-16$ 15的“亲和数”;(填“是”或“不是”)
(2) 求出1到2026这2026个整数中,15的“亲和数”的个数;
(3) 当$k$在$-10$到10之间(包括$-10$和10)时,直接写出使$2k+3$是15的“亲和数”的$k$的所有值.

5. (1) 是
(2) 因为$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$,且$15=3×5$,所以当$n+1$能被5整除时,$n$是15的“亲和数”.因为被5整除的数的个位上的数是0或5,所以$n$的个位上的数是9或4.因为$2020÷10×2=404$,所以在1到2026这2026个整数中,15的“亲和数”的个数为$404+1=405$.
(3) 由题意,得$2k+3+(2k+4)+(2k+5)=6k+12=3(2k+4)$能被15整除,即$2k+4$能被5整除,所以$2k+4$的个位上的数是0或5.因为$k$在$-10$到10之间(包括$-10$和10),所以$2k+4$在$-16$到24之间(包括$-16$和24).当$2k+4=-15$时,$k=-\frac{19}{2}$;当$2k+4=-10$时,$k=-7$;当$2k+4=-5$时,$k=-\frac{9}{2}$;当$2k+4=0$时,$k=-2$;当$2k+4=5$时,$k=\frac{1}{2}$;当$2k+4=10$时,$k=3$;当$2k+4=15$时,$k=\frac{11}{2}$;当$2k+4=20$时,$k=8$.综上所述,$k$的所有值为$-\frac{19}{2},-7,-\frac{9}{2},-2,\frac{1}{2},3,\frac{11}{2},8$.