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1[2025青海西宁中考]在中国,鼓是精神的象征,舞是力量的表现,先贤孔子曾说过“鼓之舞之”,可见“鼓舞”一词起源之早.如图所示,鼓的主视图是 ()
答案
解：主视图是从几何体正前方观察得到的正投影。
观察该鼓的实物特征：从正面向后投影，得到的图形为横向扁形，上下边缘存在鼓面包边对应的平行水平线段，左右轮廓为圆弧，符合选项A的特征；选项B是该鼓的俯视图，选项C、D均不符合该鼓的正投影结果。
故选：A。
观察该鼓的实物特征：从正面向后投影，得到的图形为横向扁形，上下边缘存在鼓面包边对应的平行水平线段，左右轮廓为圆弧，符合选项A的特征；选项B是该鼓的俯视图，选项C、D均不符合该鼓的正投影结果。
故选：A。
解析
【分析】
解题首先要明确主视图的定义，即从物体正前方观察得到的平面图形。接下来结合鼓的实物特征分析：鼓整体为扁状类圆柱造型，侧面左右向外凸起，上下边缘是平直的包边。先排除明显不符合的选项：B是圆环，属于从上方观察得到的俯视图；C是单个圆形，不符合正面观察结果；D是长方形，是直圆柱的主视图，没有体现鼓左右的圆弧凸起，最终对应符合特征的选项即可。
【解析】
主视图是从几何体的正前方观察得到的正投影。观察该鼓的实物，从正面向后投影时，上下边缘对应两条平行的水平线段，左右轮廓为向外凸的圆弧。逐一分析选项：
选项B为圆环，是该鼓的俯视图，不符合要求；
选项C为单个圆形，不符合正面观察的投影结果，排除；
选项D为长方形，是直圆柱的主视图，无法体现鼓侧面的圆弧特征，排除；
只有选项A符合鼓的主视图特征。
【答案】
A
【知识点】
主视图的定义；三视图的判断；实物视图识别
【点评】
本题结合传统鼓文化考查三视图的相关知识，将知识点与生活实际结合，侧重考查对基础概念的理解和应用，需要学生结合实物特征准确判断视图。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确主视图的定义，即从物体正前方观察得到的平面图形。接下来结合鼓的实物特征分析：鼓整体为扁状类圆柱造型，侧面左右向外凸起，上下边缘是平直的包边。先排除明显不符合的选项：B是圆环，属于从上方观察得到的俯视图；C是单个圆形，不符合正面观察结果；D是长方形，是直圆柱的主视图，没有体现鼓左右的圆弧凸起，最终对应符合特征的选项即可。
【解析】
主视图是从几何体的正前方观察得到的正投影。观察该鼓的实物，从正面向后投影时，上下边缘对应两条平行的水平线段，左右轮廓为向外凸的圆弧。逐一分析选项：
选项B为圆环，是该鼓的俯视图，不符合要求；
选项C为单个圆形，不符合正面观察的投影结果，排除；
选项D为长方形，是直圆柱的主视图，无法体现鼓侧面的圆弧特征，排除；
只有选项A符合鼓的主视图特征。
【答案】
A
【知识点】
主视图的定义；三视图的判断；实物视图识别
【点评】
本题结合传统鼓文化考查三视图的相关知识，将知识点与生活实际结合，侧重考查对基础概念的理解和应用，需要学生结合实物特征准确判断视图。
【难度系数】
0.8
2[2025河南中考]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（）
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先我们可以通过标记卡片，用列举法列出随机抽取两张卡片的所有等可能结果，统计总结果数；再找出恰好抽到“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
随机抽取两张卡片，不考虑抽取顺序时，所有等可能的组合为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好是“丽”和“山”的组合只有BC这1种，根据概率公式可得所求概率为：
$P=\frac{1}{6}$
若考虑抽取顺序，总共有$4×3=12$种等可能结果，符合条件的有（B,C）、（C,B）2种，$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、古典概型
【点评】
本题结合传统文化甲骨文设题，在考查概率基础知识点的同时弘扬了中华优秀传统文化，属于基础常考题，解题的关键是正确列举所有抽取结果，避免漏算或重复计数。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先我们可以通过标记卡片，用列举法列出随机抽取两张卡片的所有等可能结果，统计总结果数；再找出恰好抽到“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
我们将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
随机抽取两张卡片，不考虑抽取顺序时，所有等可能的组合为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好是“丽”和“山”的组合只有BC这1种，根据概率公式可得所求概率为：
$P=\frac{1}{6}$
若考虑抽取顺序，总共有$4×3=12$种等可能结果，符合条件的有（B,C）、（C,B）2种，$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、古典概型
【点评】
本题结合传统文化甲骨文设题，在考查概率基础知识点的同时弘扬了中华优秀传统文化，属于基础常考题，解题的关键是正确列举所有抽取结果，避免漏算或重复计数。
【难度系数】
0.7
3[2024内蒙古呼和浩特中考]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意是矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步?若设长为x步,则下列符合题意的方程是 ()
A.$x· \frac{60-x}{2}=864$
B.$x(60+x)=864$
C.$x(60-x)=864$
D.$x(30-x)=864$
A.$x· \frac{60-x}{2}=864$
B.$x(60+x)=864$
C.$x(60-x)=864$
D.$x(30-x)=864$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题中的核心等量关系：矩形面积=长×宽。已知设长为x步，先根据“宽与长共60步”表示出宽的长度，再将长、宽、已知面积代入等量关系，即可列出符合题意的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设长为x步，由“宽与长的和为60步”可得宽为$(60-x)$步。
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知矩形面积为864平方步，代入各量得方程：
$x(60-x)=864$
因此符合题意的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是找准等量关系、正确表示未知量，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题中的核心等量关系：矩形面积=长×宽。已知设长为x步，先根据“宽与长共60步”表示出宽的长度，再将长、宽、已知面积代入等量关系，即可列出符合题意的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设长为x步，由“宽与长的和为60步”可得宽为$(60-x)$步。
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知矩形面积为864平方步，代入各量得方程：
$x(60-x)=864$
因此符合题意的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是找准等量关系、正确表示未知量，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4[2024湖北武汉中考]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD。直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F，记正方形ABCD的面积为$S_1$，正方形MNPQ的面积为$S_2$。若$BE=kAE(k＞1)$，则用含$k$的式子表示$\frac{S_1}{S_2}$的值是。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{k^2+1}{(k-1)^2}}$
解析
【分析】解题时先明确赵爽弦图的结构特征：它由四个全等的直角三角形拼接而成，大正方形的边长为直角三角形的斜边，中间小正方形的边长等于直角三角形长、短直角边的差。已知BE=kAE(k＞1)，我们可以设直角三角形的短直角边长为m，结合BE与AE的比例关系，得到直角三角形的长直角边长为km。接下来分别用含m的式子表示出大正方形面积$S_1$和小正方形面积$S_2$，最后计算二者的比值，参数m在约分时会消去，即可得到结果。
【解析】设直角三角形的短直角边长为m，
∵$BE=kAE$，且四个直角三角形全等，
∴直角三角形的长直角边长为$km$。
①求大正方形面积$S_1$：
大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$S_1 = m^2 + (km)^2 = m^2(k^2+1)$
②求小正方形面积$S_2$：
小正方形的边长 = 长直角边 - 短直角边 = $km - m = m(k-1)$
∴$S_2 = [m(k-1)]^2 = m^2(k-1)^2$
③计算比值：
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{m^2(k^2+1)}{m^2(k-1)^2} = \frac{k^2+1}{(k-1)^2}$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{k^2+1}{(k-1)^2}}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题的关键是理清大、小正方形边长与直角三角形直角边的数量关系，通过设参数的方式简化计算，熟练掌握勾股定理和正方形性质是解题的基础。
【难度系数】
0.65
【解析】设直角三角形的短直角边长为m，
∵$BE=kAE$，且四个直角三角形全等，
∴直角三角形的长直角边长为$km$。
①求大正方形面积$S_1$：
大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$S_1 = m^2 + (km)^2 = m^2(k^2+1)$
②求小正方形面积$S_2$：
小正方形的边长 = 长直角边 - 短直角边 = $km - m = m(k-1)$
∴$S_2 = [m(k-1)]^2 = m^2(k-1)^2$
③计算比值：
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{m^2(k^2+1)}{m^2(k-1)^2} = \frac{k^2+1}{(k-1)^2}$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{k^2+1}{(k-1)^2}}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题的关键是理清大、小正方形边长与直角三角形直角边的数量关系，通过设参数的方式简化计算，熟练掌握勾股定理和正方形性质是解题的基础。
【难度系数】
0.65
5[2025江苏镇江中考]小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境:如图,一根竹子原来高1丈(1丈=10尺),折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处,墙脚O离竹根A处3尺远.请你解答:折断处B离地面多高？
答案
解：过点B作BQ⊥PO，垂足为Q，
由题意可知：AB⊥AO，PO⊥AO，AO=3尺，PO=9尺，
∴四边形ABQO是矩形，
∴BQ=AO=3尺，OQ=AB，∠BQP=90°。
设折断处B离地面x尺，即AB=x尺，则折断部分BP=(10-x)尺，PQ=PO-OQ=9-x尺。
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
$BQ^2 + PQ^2 = BP^2$
代入数值：
$3^2 + (9-x)^2 = (10-x)^2$
展开得：
$9 + 81 - 18x + x^2 = 100 - 20x + x^2$
化简得：
$2x=10$
解得：
$x=5$
答：折断处B离地面5尺。
由题意可知：AB⊥AO，PO⊥AO，AO=3尺，PO=9尺，
∴四边形ABQO是矩形，
∴BQ=AO=3尺，OQ=AB，∠BQP=90°。
设折断处B离地面x尺，即AB=x尺，则折断部分BP=(10-x)尺，PQ=PO-OQ=9-x尺。
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
$BQ^2 + PQ^2 = BP^2$
代入数值：
$3^2 + (9-x)^2 = (10-x)^2$
展开得：
$9 + 81 - 18x + x^2 = 100 - 20x + x^2$
化简得：
$2x=10$
解得：
$x=5$
答：折断处B离地面5尺。
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何问题：已知竹子总长度为10尺，竹根A到墙脚O的水平距离为3尺，顶端触墙点P距地面高度为9尺，求折断处B到地面的高度。首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把已知的水平、竖直长度整合到同一个直角三角形中：过B作BQ垂直PO，得到矩形ABQO，可得直角边BQ=3尺；再设折断处高度为x尺，分别表示出直角三角形的另一条直角边PQ和斜边BP的长度，最后利用勾股定理列一元一次方程求解即可。
【解析】
过点B作BQ⊥PO，垂足为Q，
由题意可知：AB⊥AO，PO⊥AO，AO=3尺，PO=9尺，
∴四边形ABQO是矩形，
∴BQ=AO=3尺，OQ=AB，∠BQP=90°。
设折断处B离地面x尺，即AB=x尺，则折断部分BP=(10-x)尺，PQ=PO-OQ=9-x尺。
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
$BQ^2 + PQ^2 = BP^2$
代入数值：
$3^2 + (9-x)^2 = (10-x)^2$
展开得：
$9 + 81 - 18x + x^2 = 100 - 20x + x^2$
化简得：
$2x=10$
解得：
$x=5$
答：折断处B离地面5尺。
【答案】
5尺
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的判定与性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为背景，考查学生将实际问题转化为数学几何模型的能力，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为几何问题：已知竹子总长度为10尺，竹根A到墙脚O的水平距离为3尺，顶端触墙点P距地面高度为9尺，求折断处B到地面的高度。首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把已知的水平、竖直长度整合到同一个直角三角形中：过B作BQ垂直PO，得到矩形ABQO，可得直角边BQ=3尺；再设折断处高度为x尺，分别表示出直角三角形的另一条直角边PQ和斜边BP的长度，最后利用勾股定理列一元一次方程求解即可。
【解析】
过点B作BQ⊥PO，垂足为Q，
由题意可知：AB⊥AO，PO⊥AO，AO=3尺，PO=9尺，
∴四边形ABQO是矩形，
∴BQ=AO=3尺，OQ=AB，∠BQP=90°。
设折断处B离地面x尺，即AB=x尺，则折断部分BP=(10-x)尺，PQ=PO-OQ=9-x尺。
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
$BQ^2 + PQ^2 = BP^2$
代入数值：
$3^2 + (9-x)^2 = (10-x)^2$
展开得：
$9 + 81 - 18x + x^2 = 100 - 20x + x^2$
化简得：
$2x=10$
解得：
$x=5$
答：折断处B离地面5尺。
【答案】
5尺
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的判定与性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为背景，考查学生将实际问题转化为数学几何模型的能力，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
