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1 某市居民年用天然气阶梯价格方案如下表：
（1）若小东家2024年用天然气200立方米，则应缴纳天然气费
（2）若小余家2025年缴纳天然气费2780元，求小余家2025年的用气量；
（3）小姚家2024年和2025年共用天然气500立方米，两年共缴纳天然气费1406元，且2025年的用气量比2024年多，求小姚家2024年和2025年的天然气用量各是多少立方米。
（1）若小东家2024年用天然气200立方米，则应缴纳天然气费
560
元；（2）若小余家2025年缴纳天然气费2780元，求小余家2025年的用气量；
（3）小姚家2024年和2025年共用天然气500立方米，两年共缴纳天然气费1406元，且2025年的用气量比2024年多，求小姚家2024年和2025年的天然气用量各是多少立方米。
答案
（1）560
（2）设小余家2025年的用气量为x立方米.
因为2.8×250+3.4×(800-250)=2570(元),2570＜2780,所以x＞800. 根据题意,得 2.8×250+3.4×(800-250)+4.2(x-800)=2780,解得x=850. 所以小余家2025年的用气量为850立方米
（3）设小姚家2024年的用气量为y(0＜y＜250)立方米,则2025年的用气量为(500-y)立方米.根据题意,得2.8y+2.8×250+3.4(500-y-250)=1406,解得y=240.所以500-y=500-240=260(立方米).所以小姚家2024年的用气量为240立方米,2025年的用气量为260立方米
（2）设小余家2025年的用气量为x立方米.
因为2.8×250+3.4×(800-250)=2570(元),2570＜2780,所以x＞800. 根据题意,得 2.8×250+3.4×(800-250)+4.2(x-800)=2780,解得x=850. 所以小余家2025年的用气量为850立方米
（3）设小姚家2024年的用气量为y(0＜y＜250)立方米,则2025年的用气量为(500-y)立方米.根据题意,得2.8y+2.8×250+3.4(500-y-250)=1406,解得y=240.所以500-y=500-240=260(立方米).所以小姚家2024年的用气量为240立方米,2025年的用气量为260立方米
解析
【分析】
（1）第一问先判断200立方米属于第一阶梯区间，直接用“费用=单价×用气量”的公式计算即可。
（2）第二问先计算年用气量达到800立方米时的总费用，和2780元对比判断用气量所属区间，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解。
（3）第三问根据两年总用气量500立方米且2025年用气量更多，可推出2024年用气量小于250立方米（第一阶梯），2025年用气量在250~500立方米区间（覆盖第一、第二阶梯），再根据两年总缴费列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵200立方米＜250立方米，属于第一阶梯收费范围，
∴应缴纳天然气费：$2.8×200=560$（元）。
（2）设小余家2025年的用气量为$x$立方米。
先计算用气量为800立方米时的总费用：
$2.8×250+3.4×(800-250)=700+1870=2570$（元）
∵$2570＜2780$，
∴小余家2025年用气量超过800立方米，即$x＞800$。
根据总费用列方程：
$2.8×250+3.4×(800-250)+4.2(x-800)=2780$
化简求解得：$x=850$。
（3）设小姚家2024年的用气量为$y$立方米，
∵两年总用气量为500立方米，且2025年用气量更多，
∴$y＜250$，2025年用气量为$(500-y)$立方米，且$250＜500-y＜800$，即2025年用气量覆盖第一、第二阶梯。
根据两年总缴费列方程：
$2.8y+2.8×250+3.4×(500-y-250)=1406$
化简求解得：$y=240$，
则2025年用气量为：$500-240=260$（立方米）。
【答案】
（1）$\boxed{560}$
（2）小余家2025年的用气量为$\boxed{850}$立方米
（3）小姚家2024年用气量为$\boxed{240}$立方米，2025年用气量为$\boxed{260}$立方米
【知识点】
1. 分段计费计算
2. 一元一次方程的应用
3. 阶梯计价问题
【点评】
本题结合生活中天然气阶梯定价的实际场景，考查分段计费规则的应用和一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是先准确判断用气量所属的收费区间，再根据费用等量关系列式或列方程求解，贴近生活实际，能锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.65
（1）第一问先判断200立方米属于第一阶梯区间，直接用“费用=单价×用气量”的公式计算即可。
（2）第二问先计算年用气量达到800立方米时的总费用，和2780元对比判断用气量所属区间，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解。
（3）第三问根据两年总用气量500立方米且2025年用气量更多，可推出2024年用气量小于250立方米（第一阶梯），2025年用气量在250~500立方米区间（覆盖第一、第二阶梯），再根据两年总缴费列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵200立方米＜250立方米，属于第一阶梯收费范围，
∴应缴纳天然气费：$2.8×200=560$（元）。
（2）设小余家2025年的用气量为$x$立方米。
先计算用气量为800立方米时的总费用：
$2.8×250+3.4×(800-250)=700+1870=2570$（元）
∵$2570＜2780$，
∴小余家2025年用气量超过800立方米，即$x＞800$。
根据总费用列方程：
$2.8×250+3.4×(800-250)+4.2(x-800)=2780$
化简求解得：$x=850$。
（3）设小姚家2024年的用气量为$y$立方米，
∵两年总用气量为500立方米，且2025年用气量更多，
∴$y＜250$，2025年用气量为$(500-y)$立方米，且$250＜500-y＜800$，即2025年用气量覆盖第一、第二阶梯。
根据两年总缴费列方程：
$2.8y+2.8×250+3.4×(500-y-250)=1406$
化简求解得：$y=240$，
则2025年用气量为：$500-240=260$（立方米）。
【答案】
（1）$\boxed{560}$
（2）小余家2025年的用气量为$\boxed{850}$立方米
（3）小姚家2024年用气量为$\boxed{240}$立方米，2025年用气量为$\boxed{260}$立方米
【知识点】
1. 分段计费计算
2. 一元一次方程的应用
3. 阶梯计价问题
【点评】
本题结合生活中天然气阶梯定价的实际场景，考查分段计费规则的应用和一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是先准确判断用气量所属的收费区间，再根据费用等量关系列式或列方程求解，贴近生活实际，能锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.65
2【问题情境】如图(单位:cm),在木杆右端挂一重物,支点左边挂n个重物,并使左右平衡.设木杆的长为60 cm,支点在木杆的正中间.
【探究记录】
(1) 请你通过实验发现的规律补全实验记录：①
【解决问题】
(2) 小明把等量的重物换成了每个质量为3 g的重物再次进行实验,此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为30 cm,左端悬挂4个重物移动至左右平衡,求此时支点左端挂重物处到支点的距离.
【探究记录】
(1) 请你通过实验发现的规律补全实验记录：①
7.5
,② 25
；【解决问题】
(2) 小明把等量的重物换成了每个质量为3 g的重物再次进行实验,此时支点右端悬挂一个重物且与支点的距离为30 cm,左端悬挂4个重物移动至左右平衡,求此时支点左端挂重物处到支点的距离.
答案
（1）7.5 25
（2）设此时支点左端挂重物处到支点的距离为x cm. 根据题意,得3×4x=30×3,解得x=7.5. 所以此时支点左端挂重物处到支点的距离是7.5 cm
（2）设此时支点左端挂重物处到支点的距离为x cm. 根据题意,得3×4x=30×3,解得x=7.5. 所以此时支点左端挂重物处到支点的距离是7.5 cm
解析
【分析】
本题是结合杠杆平衡实验的实际应用题，核心解题依据是杠杆平衡的等量关系：左端重物总质量×左端到支点的距离 = 右端重物总质量×右端到支点的距离。解题思路如下：①第(1)问，实验中每个重物质量相等，可将等量关系简化为“左端重物个数×左端距离 = 右端重物个数×右端距离”，代入实验已知数据即可算出空缺的数值；②第(2)问，设左端到支点的距离为未知数，将题干给出的重物质量、个数、右端距离等数据代入等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡规律，同质量重物实验满足：左端重物个数×左端到支点的距离 = 右端重物个数×右端到支点的距离，代入对应实验数据计算，可得①为7.5，②为25。
(2) 设此时支点左端挂重物处到支点的距离为x cm。
根据杠杆平衡的等量关系列方程：
$3× 4x = 30× 3$
化简得$12x = 90$
解得$x = 7.5$
【答案】
(1) 7.5；25
(2) 7.5 cm
【知识点】
杠杆平衡原理，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实验情境出题，既考查了对常见物理平衡规律的理解应用，也考查了列一元一次方程解决实际问题的能力，引导学生关注学科知识的交叉运用与生活中的数学原理。
【难度系数】
0.75
本题是结合杠杆平衡实验的实际应用题，核心解题依据是杠杆平衡的等量关系：左端重物总质量×左端到支点的距离 = 右端重物总质量×右端到支点的距离。解题思路如下：①第(1)问，实验中每个重物质量相等，可将等量关系简化为“左端重物个数×左端距离 = 右端重物个数×右端距离”，代入实验已知数据即可算出空缺的数值；②第(2)问，设左端到支点的距离为未知数，将题干给出的重物质量、个数、右端距离等数据代入等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡规律，同质量重物实验满足：左端重物个数×左端到支点的距离 = 右端重物个数×右端到支点的距离，代入对应实验数据计算，可得①为7.5，②为25。
(2) 设此时支点左端挂重物处到支点的距离为x cm。
根据杠杆平衡的等量关系列方程：
$3× 4x = 30× 3$
化简得$12x = 90$
解得$x = 7.5$
【答案】
(1) 7.5；25
(2) 7.5 cm
【知识点】
杠杆平衡原理，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实验情境出题，既考查了对常见物理平衡规律的理解应用，也考查了列一元一次方程解决实际问题的能力，引导学生关注学科知识的交叉运用与生活中的数学原理。
【难度系数】
0.75
