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6 从A地到B地，先下坡然后走平路。某人骑自行车从A地到B地，先以12千米/时的速度下坡，再以9千米/时的速度通过平路，共用55分钟。从B地返回A地时，以8千米/时的速度通过平路，再以4千米/时的速度上坡，共用1.5小时。从A地到B地有多少千米？
答案
6. 设坡路长为 $x$ 千米. 根据题意,得 $9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$,解得 $x=3$. 所以平路长为 $8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6$(千米). 所以从A地到B地有 $3+6=9$(千米)
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题关键是抓住往返过程中坡路长度、平路长度均不变的特点。我们可以先设坡路的长度为x千米，先分别表示出去时和返回时走平路的时间，再结合平路速度算出平路的长度，根据平路长度相等建立等量关系列出方程，求解出坡路长度后再计算平路长度，二者相加就是A到B的总路程。注意解题前要先统一时间单位，把分钟换算成小时，避免单位不统一出错。
【解析】
首先统一单位：$55$分钟$=\frac{55}{60}$小时，$1.5$小时$=\frac{3}{2}$小时。
设坡路长为$x$千米：
去时下坡用时为$\frac{x}{12}$小时，走平路的时间为$(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})$小时，平路长度可表示为$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})$千米；
返回时上坡用时为$\frac{x}{4}$小时，走平路的时间为$(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$小时，平路长度可表示为$8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$千米。
因为往返平路长度相等，列方程得：
$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$
解方程：
化简得$\frac{3(11-x)}{4}=12-2x$，两边同乘4得$33-3x=48-8x$，移项合并得$5x=15$，解得$x=3$。
将$x=3$代入$8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$，得平路长度为$8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6$千米。
总路程为坡路长度加平路长度：$3+6=9$千米。
【答案】
9千米
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程速度时间关系
【点评】
本题属于上下坡往返的典型行程题，解题核心是抓住往返过程中坡路、平路长度不变的特点建立等量关系，通过间接设坡路长度的方式，可降低列方程的难度，相比直接设总路程的方法更简便。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题关键是抓住往返过程中坡路长度、平路长度均不变的特点。我们可以先设坡路的长度为x千米，先分别表示出去时和返回时走平路的时间，再结合平路速度算出平路的长度，根据平路长度相等建立等量关系列出方程，求解出坡路长度后再计算平路长度，二者相加就是A到B的总路程。注意解题前要先统一时间单位，把分钟换算成小时，避免单位不统一出错。
【解析】
首先统一单位：$55$分钟$=\frac{55}{60}$小时，$1.5$小时$=\frac{3}{2}$小时。
设坡路长为$x$千米：
去时下坡用时为$\frac{x}{12}$小时，走平路的时间为$(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})$小时，平路长度可表示为$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})$千米；
返回时上坡用时为$\frac{x}{4}$小时，走平路的时间为$(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$小时，平路长度可表示为$8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$千米。
因为往返平路长度相等，列方程得：
$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$
解方程：
化简得$\frac{3(11-x)}{4}=12-2x$，两边同乘4得$33-3x=48-8x$，移项合并得$5x=15$，解得$x=3$。
将$x=3$代入$8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$，得平路长度为$8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6$千米。
总路程为坡路长度加平路长度：$3+6=9$千米。
【答案】
9千米
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程速度时间关系
【点评】
本题属于上下坡往返的典型行程题，解题核心是抓住往返过程中坡路、平路长度不变的特点建立等量关系，通过间接设坡路长度的方式，可降低列方程的难度，相比直接设总路程的方法更简便。
【难度系数】
0.6
7 一个五位数的个位上的数字为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数字恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数字，求原五位数.
答案
7. 设原五位数去掉个位数后的四位数为 $x$,则原五位数为$10x+4$. 根据题意,得$(10x+4)+6120=4×10000+x$,解得$x=3764$,则 $10x+4=37644$,即原五位数是 37644
解析
【分析】
首先梳理题目条件：原五位数个位为4，原数加6120得到的新五位数，是将原数的个位移到万位，其余数位依次向后挪一位得到的。如果直接设原五位数为未知数，很难表示数位移动后的新数，因此采用间接设元的方法：设原五位数去掉个位4后剩下的四位数为$x$，则原五位数可表示为$10x+4$（$x$对应万位到十位，相当于$x$扩大10倍后加个位的4），新五位数是把4放到万位，原四位数$x$作为后四位，因此新数可表示为$4×10000+x$，再根据“原数+6120=新数”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原五位数去掉个位数后的四位数为$x$，则原五位数为$10x+4$。
新五位数可表示为$4×10000 + x$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}10x+4+6120&=40000+x\\10x-x&=40000-4-6120\\9x&=33876\\x&=3764\end{aligned}$
则原五位数为$10x+4=10×3764+4=37644$
【答案】
37644
【知识点】
一元一次方程的应用；间接设元技巧；数位的意义
【点评】
本题是数字类方程应用的典型题，解题核心是抓住数位变化的规律，通过合理设元简化原数和新数的表达式，再结合等量关系列方程求解，能够很好地考查学生对数位意义的理解和灵活设元的能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目条件：原五位数个位为4，原数加6120得到的新五位数，是将原数的个位移到万位，其余数位依次向后挪一位得到的。如果直接设原五位数为未知数，很难表示数位移动后的新数，因此采用间接设元的方法：设原五位数去掉个位4后剩下的四位数为$x$，则原五位数可表示为$10x+4$（$x$对应万位到十位，相当于$x$扩大10倍后加个位的4），新五位数是把4放到万位，原四位数$x$作为后四位，因此新数可表示为$4×10000+x$，再根据“原数+6120=新数”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原五位数去掉个位数后的四位数为$x$，则原五位数为$10x+4$。
新五位数可表示为$4×10000 + x$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}10x+4+6120&=40000+x\\10x-x&=40000-4-6120\\9x&=33876\\x&=3764\end{aligned}$
则原五位数为$10x+4=10×3764+4=37644$
【答案】
37644
【知识点】
一元一次方程的应用；间接设元技巧；数位的意义
【点评】
本题是数字类方程应用的典型题，解题核心是抓住数位变化的规律，通过合理设元简化原数和新数的表达式，再结合等量关系列方程求解，能够很好地考查学生对数位意义的理解和灵活设元的能力。
【难度系数】
0.7
8 某商品月末的进价比月初的进价降了8%，而售价不变，这样月末的利润率比月初的高10%，则月初的利润率是
15%
。答案
8. 15% 【解析】设月初的利润率为 $x\%$,商品月初的进价为$M$元,则月末的进价为 $0.92M$ 元. 根据题意,得 $M(1+x\%)=0.92M[1+(x+10)\%]$,解得 $x=15$. 所以月初的利润率为 15%.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程在利润问题中的应用题，解题核心是找到等量关系：月初商品售价=月末商品售价。首先回忆售价、进价、利润率的关系：售价=进价×(1+利润率)。本题中月初、月末的进价和利润率不同，但售价一致，我们可以设月初的利润率为$x\%$，同时设月初进价为参数$M$（参数无需计算具体值，后续计算中可消去），再表示出月末的进价和利润率，根据售价相等列方程求解即可。
【解析】
设月初的利润率为$x\%$，商品月初的进价为$M$元（$M≠0$）。
月末进价比月初降了8%，因此月末进价为$M×(1-8\%)=0.92M$元；
月末利润率比月初高10%，因此月末利润率为$(x+10)\%$。
根据售价不变列方程：
$M(1+x\%)=0.92M[1+(x+10)\%]$
由于$M≠0$，方程两边同时除以$M$得：
$1+x\%=0.92[1+(x+10)\%]$
展开计算：
$1+0.01x=0.92×(1.1+0.01x)$
$1+0.01x=1.012+0.0092x$
移项合并同类项：
$0.0008x=0.012$
解得$x=15$。
【答案】
15%
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率问题，辅助设元法
【点评】
本题是利润类应用题的典型题型，核心是抓住“售价不变”这一隐含等量关系列方程，解题时引入的辅助元不需要求解具体数值，在方程化简过程中可直接消去，熟练掌握售价、进价、利润率三者的数量关系是解题的前提。
【难度系数】
0.6
这是一道一元一次方程在利润问题中的应用题，解题核心是找到等量关系：月初商品售价=月末商品售价。首先回忆售价、进价、利润率的关系：售价=进价×(1+利润率)。本题中月初、月末的进价和利润率不同，但售价一致，我们可以设月初的利润率为$x\%$，同时设月初进价为参数$M$（参数无需计算具体值，后续计算中可消去），再表示出月末的进价和利润率，根据售价相等列方程求解即可。
【解析】
设月初的利润率为$x\%$，商品月初的进价为$M$元（$M≠0$）。
月末进价比月初降了8%，因此月末进价为$M×(1-8\%)=0.92M$元；
月末利润率比月初高10%，因此月末利润率为$(x+10)\%$。
根据售价不变列方程：
$M(1+x\%)=0.92M[1+(x+10)\%]$
由于$M≠0$，方程两边同时除以$M$得：
$1+x\%=0.92[1+(x+10)\%]$
展开计算：
$1+0.01x=0.92×(1.1+0.01x)$
$1+0.01x=1.012+0.0092x$
移项合并同类项：
$0.0008x=0.012$
解得$x=15$。
【答案】
15%
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率问题，辅助设元法
【点评】
本题是利润类应用题的典型题型，核心是抓住“售价不变”这一隐含等量关系列方程，解题时引入的辅助元不需要求解具体数值，在方程化简过程中可直接消去，熟练掌握售价、进价、利润率三者的数量关系是解题的前提。
【难度系数】
0.6
9 某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10%，今年计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？
答案
9. 设去年的总产量为 $a$ 台,今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 $x$,则去年普通汽车的产量为 $90\%a$ 台,新能源汽车的产量为 $10\%a$ 台,今年普通汽车的产量为 $90\%a(1-10\%)$ 台,新能源汽车的产量为 $10\%a(1+x)$ 台. 根据题意,得 $90\%a(1-10\%)+10\%a(1+x)=a$,解得 $x=0.9=90\%$,即今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 90%
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“今年总产量与去年相等”这一等量关系。我们可以先设去年总产量为辅助量a（a≠0，最后计算时会消去，不影响结果），再分别表示出去年普通汽车、新能源汽车的产量，接着根据今年普通汽车减产10%、新能源汽车增产x的条件，表示出今年两类汽车的产量，最后根据“今年普通汽车产量+今年新能源汽车产量=去年总产量”列方程求解即可。
【解析】
设去年的总产量为 $ a $ 台，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 $ x $。
1. 表示去年各类汽车产量：
去年新能源汽车产量占总量的10%，即产量为 $ 10\%a $ 台；普通汽车产量占总量的 $ 1-10\%=90\% $，即产量为 $ 90\%a $ 台。
2. 表示今年各类汽车产量：
今年普通汽车产量减少10%，即产量为 $ 90\%a×(1-10\%) $ 台；
今年新能源汽车产量增加 $ x $，即产量为 $ 10\%a×(1+x) $ 台。
3. 根据总产量不变列方程求解：
$90\%a(1-10\%) + 10\%a(1+x) = a$
因为 $ a ≠ 0 $，方程两边同时除以 $ a $ 得：
$0.9×0.9 + 0.1(1+x) = 1$
计算整理得：
$0.81 + 0.1 + 0.1x = 1$
$0.1x = 0.09$
解得 $ x=0.9=90\% $。
【答案】
今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90%
【知识点】
一元一次方程的应用；百分数实际问题；辅助元设元法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准“总产量不变”这一核心等量关系，引入辅助元表示总产量可以更清晰地梳理各部分数量关系，辅助元在计算过程中会自动消去，不会影响最终结果，计算时要注意准确换算百分数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住“今年总产量与去年相等”这一等量关系。我们可以先设去年总产量为辅助量a（a≠0，最后计算时会消去，不影响结果），再分别表示出去年普通汽车、新能源汽车的产量，接着根据今年普通汽车减产10%、新能源汽车增产x的条件，表示出今年两类汽车的产量，最后根据“今年普通汽车产量+今年新能源汽车产量=去年总产量”列方程求解即可。
【解析】
设去年的总产量为 $ a $ 台，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 $ x $。
1. 表示去年各类汽车产量：
去年新能源汽车产量占总量的10%，即产量为 $ 10\%a $ 台；普通汽车产量占总量的 $ 1-10\%=90\% $，即产量为 $ 90\%a $ 台。
2. 表示今年各类汽车产量：
今年普通汽车产量减少10%，即产量为 $ 90\%a×(1-10\%) $ 台；
今年新能源汽车产量增加 $ x $，即产量为 $ 10\%a×(1+x) $ 台。
3. 根据总产量不变列方程求解：
$90\%a(1-10\%) + 10\%a(1+x) = a$
因为 $ a ≠ 0 $，方程两边同时除以 $ a $ 得：
$0.9×0.9 + 0.1(1+x) = 1$
计算整理得：
$0.81 + 0.1 + 0.1x = 1$
$0.1x = 0.09$
解得 $ x=0.9=90\% $。
【答案】
今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90%
【知识点】
一元一次方程的应用；百分数实际问题；辅助元设元法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是找准“总产量不变”这一核心等量关系，引入辅助元表示总产量可以更清晰地梳理各部分数量关系，辅助元在计算过程中会自动消去，不会影响最终结果，计算时要注意准确换算百分数，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
