1[中]如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(4,6),(4,0),(-2,3).将点C向右平移n个单位后得到点$C'$.若点$C'$落在$△ AOB$内(包括边界),则n的取值范围是 ()

A.$4≤ n≤ 6$
B.$4≤ n≤ 7$
C.$5≤ n≤ 6$
D.$5≤ n≤ 7$

1.A 【解析】因为点A,B的坐标分别为$(4,6)$,$(4,0)$,所以OA中点和AB中点的坐标分别为$(2,3)$,$(4,3)$.因为点C的坐标为$(-2,3)$,$2-(-2)=4$,$4-(-2)=6$,所以$n$的取值范围是$4≤n≤6$.故选 A.

2[2025 福建福州期末, 中]在平面直角坐标系中, 将$A(1,m^2)$向下平移$(2m^2+3)$个单位后得到$B$点. 有四个点$M(1,-m^2-4),N(1,-2m^2-3),P(1,-m^2),Q(1,-3m^2)$, 则一定在线段$AB$上的是 ()

A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$

2.C 【解析】因为将$A(1,m^2)$向下平移$(2m^2+3)$个单位后得到B点,所以$B(1,-m^2-3)$.因为$m^2≥0$,所以$-m^2-3≤-3$,所以线段AB在y轴右侧,且与y轴平行,距离y轴1个单位.因为$-m^2-4＜-m^2-3$,所以$M(1,-m^2-4)$不在线段AB上.因为$-2m^2-3≤-3$,所以当$m=0$时,$N(1,-2m^2-3)$在线段AB上;当$m≠0$时,$N(1,-2m^2-3)$不在线段AB上.因为$-m^2-3＜-m^2$,且$m^2≥-m^2$,所以$P(1,-m^2)$一定在线段AB上.当$-3m^2≥-m^2-3$时,$0≤m^2≤\frac{3}{2}$,此时$Q(1,-3m^2)$在线段AB上;当$-3m^2＜-m^2-3$时,$m^2＞\frac{3}{2}$,此时$Q(1,-3m^2)$不在线段AB上.综上,一定在线段AB上的是点P.故选 C.

3[2026浙江温州期末,中]如图,将点$A_1(1,1)$向上平移1个单位,再向右平移2个单位,得到点$A_2$;将点$A_2$向上平移2个单位,再向右平移4个单位,得到点$A_3$;将点$A_3$向上平移4个单位,再向右平移8个单位,得到点$A_4$……按这个规律平移得到点$A_n$,则点$A_{2025}$的横坐标为.

（第3题图）
（第4题图）

3.$2^{2025}-1$ 【解析】由题意得点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$,点$A_2$的横坐标为$3=2^2-1$,点$A_3$的横坐标为$7=2^3-1$,点$A_4$的横坐标为$15=2^4-1$,…,按这个规律平移得到点$A_n$的横坐标为$2^n-1$,所以点$A_{2025}$的横坐标为$2^{2025}-1$,故答案为$2^{2025}-1$.

4[中]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),将线段AB平移,使其一个端点到点C(3,2),则平移后另一端点的坐标为.

4.$(1,3)$或$(5,1)$ 【解析】①如图(1),当点A平移到点C时,因为$C(3,2)$,点A的坐标为$(2,0)$,点B的坐标为$(0,1)$,所以点A的横坐标增加1,纵坐标增加2,所以平移后的点B坐标为$(1,3)$;②如图(2),当点B平移到点C时,因为$C(3,2)$,点A的坐标为$(2,0)$,点B的坐标为$(0,1)$,所以点B的横坐标增加3,纵坐标增加1,所以平移后的点A的坐标为$(5,1)$.故答案为$(1,3)$或$(5,1)$.

5[中]如图,在平面直角坐标系中,有点$A(1,0)$,点$B(-3,0)$,点$C(x,y)$.
(1)若$x=-2,y=3$,求$△ ABC$的面积.
(2)若$C(x,y)$在第二象限,$CB// y$轴,线段$AC$交$y$轴于点$E(0,1)$.
①判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
②将$△ ABC$沿$x$轴正方向平移,使点$B$与原点重合,得到$△ FOD$,求四边形$AEDF$的面积.

5.【解】(1)因为$A(1,0)$,$B(-3,0)$,所以$AO=1$,$OB=3$,所以$AB=4$.因为$C(-2,3)$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
(2)①$△ABC$是等腰直角三角形.理由:因为$E(0,1)$,$A(1,0)$,所以$OA=OE=1$,所以$∠OAE=∠OEA=45°$.因为$BC//y$轴,所以$∠C=∠OEA=45°$,所以$∠C=∠OAE=45°$,所以$BC=BA$,$∠ABC=90°$,所以$△ABC$是等腰直角三角形.
②由①知$BC=AB=4$,所以$OD=OF=4$,所以$S_{四边形AEDF}=S_{△ODF}-S_{△AOE}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×1×1=7.5$.

6 思想方法 数形结合[难]【定义】若线段AB上所有的点到x轴的距离的最大值为W，W就叫线段AB的界值，记作$W_{AB}$.
【理解】如图(1)，线段AB上所有的点到x轴的最大距离是3，则线段AB的界值$W_{AB}=3$.

【应用】(1)如图(2)，已知$A(-1,-3),B(2,-1),C(-1,1)$.
①$W_{AB}=$.
②平移线段AB，使点A与点C重合，平移后线段的界值W为.
【拓展】(2)如图(3),$A(-3,-7),B(1,-3)$，将线段AB向上平移$m(m＞0)$个单位得到线段CD(点A的对应点为点C,点B的对应点为点D).
①当$5≤m≤6$时，$W_{CD}$的取值范围为.
②当$m＞5$时，用含m的式子表示$W_{CD}$.

图(3)

6.【解】(1)①因为$A(-1,-3)$,$B(2,-1)$,所以$W_{AB}=3$.故答案为3.
②因为平移线段AB,使点$A(-1,-3)$与点$C(-1,1)$重合,所以需将线段AB向上平移4个单位,所以$B(2,-1)$平移后的对应点的坐标为$(2,3)$,所以平移后线段的界值W为3.故答案为3.
(2)已知$A(-3,-7)$,$B(1,-3)$,将线段AB向上平移$m(m＞0)$个单位得到线段CD,则$C(-3,-7+m)$,$D(1,-3+m)$.
①因为$5≤m≤6$,所以$-2≤-7+m≤-1$,$2≤-3+m≤3$,所以$W_{CD}$的取值范围为$2≤W_{CD}≤3$.故答案为$2≤W_{CD}≤3$.
②因为$m＞5$,所以$-7+m＞-2$,$-3+m＞2$.又因为$-3+m＞-7+m$,所以$W_{CD}=-3+m$.