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1. 学科
特色
教材变式
「2026湖南株洲期中」将多项式$2a^2b^3 -6ab^2$因式分解，结果正确的是（
A.$2(a^2b^3 -3ab^2)$
B.$ab^2(2ab -6)$
C.$2ab^2(ab -3)$
D.$2ab(ab^2 -3b)$
特色
教材变式
「2026湖南株洲期中」将多项式$2a^2b^3 -6ab^2$因式分解，结果正确的是（
C
）A.$2(a^2b^3 -3ab^2)$
B.$ab^2(2ab -6)$
C.$2ab^2(ab -3)$
D.$2ab(ab^2 -3b)$
答案
1.C 多项式$2a^2b^3 -6ab^2$中各项的公因式为$2ab^2$，
∴将$2a^2b^3 -6ab^2$因式分解的结果为$2ab^2(ab-3)$。
∴将$2a^2b^3 -6ab^2$因式分解的结果为$2ab^2(ab-3)$。
2.「2025上海浦东新区期末」把$-9x^3+6x^2-3x$因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（
A.$3x^2-2x$
B.$3x^2-2x-1$
C.$-9x^2+6x$
D.$3x^2-2x+1$
D
）A.$3x^2-2x$
B.$3x^2-2x-1$
C.$-9x^2+6x$
D.$3x^2-2x+1$
答案
2.D $-9x^3+6x^2-3x=-3x(3x^2-2x+1)$,故选D.
3.「2026山东淄博期中」已知长,宽分别为$a,b$的长方形,它的周长为14,面积为10,则$a^2b+ab^2$的值为
70
.答案
3.答案 70
解析 由题意得,$2(a+b)=14,ab=10,∴ a+b=7$,
∴ $a^2b+ab^2=ab(a+b)=10×7=70$.
解析 由题意得,$2(a+b)=14,ab=10,∴ a+b=7$,
∴ $a^2b+ab^2=ab(a+b)=10×7=70$.
4.「2026 河南信阳月考」分解因式：
(1)$4x^2y^3+8x^3y^2+12x^4y$.
(2)$-15x^3y^2+10x^2y^4-20x^4y^3$.
(1)$4x^2y^3+8x^3y^2+12x^4y$.
(2)$-15x^3y^2+10x^2y^4-20x^4y^3$.
答案
4.解析 (1)原式=$4x^2y(y^2+2xy+3x^2)$.
(2)原式=$-5x^2y^2(3x-2y^2+4x^2y)$.
(2)原式=$-5x^2y^2(3x-2y^2+4x^2y)$.
5.「2026北京海淀期末」因式分解$3a(x-y)^2 - a(x-y)^3 =$
$a(x-y)^2(3-x+y)$
.答案
5.答案 $a(x-y)^2(3-x+y)$
解析 $3a(x-y)^2 -a(x-y)^3 = a(x-y)^2 ·3 -a(x-y)^2 ·(x-y) = a(x-y)^2[3-(x-y)] = a(x-y)^2(3-x+y)$.
解析 $3a(x-y)^2 -a(x-y)^3 = a(x-y)^2 ·3 -a(x-y)^2 ·(x-y) = a(x-y)^2[3-(x-y)] = a(x-y)^2(3-x+y)$.
6.「2026 上海虹口期中」把下列各式分解因式：
(1)$(a+b)(x-y)+(a-b)(y-x)$.
(2)$x(x^2-xy)-(4x^2-4xy)$.
(1)$(a+b)(x-y)+(a-b)(y-x)$.
(2)$x(x^2-xy)-(4x^2-4xy)$.
答案
6.解析 (1)原式=$(a+b)(x-y)-(a-b)(x-y)$
=$(x-y)[(a+b)-(a-b)] = (x-y) ·2b = 2b(x-y)$.
(2)原式=$x^2(x-y)-4x(x-y) = x(x-y)(x-4)$.
=$(x-y)[(a+b)-(a-b)] = (x-y) ·2b = 2b(x-y)$.
(2)原式=$x^2(x-y)-4x(x-y) = x(x-y)(x-4)$.
7.先分解因式,再求值:$4a(b-2)+3a(2-b)^2$,其中$a=\frac{3}{2},b=6.$
答案
7.解析 $4a(b-2)+3a(2-b)^2 =4a(b-2)+3a(b-2)^2$
=$a(b-2)[4+3(b-2)] =a(b-2)(4+3b-6)$
=$a(b-2)(3b-2)$,
当$a=\frac{3}{2},b=6$时,原式=$\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\frac{3}{2}×4×16=96$.
=$a(b-2)[4+3(b-2)] =a(b-2)(4+3b-6)$
=$a(b-2)(3b-2)$,
当$a=\frac{3}{2},b=6$时,原式=$\frac{3}{2}×(6-2)×(3×6-2)=\frac{3}{2}×4×16=96$.
8.「2026浙江绍兴诸暨期末，★☆」已知$(2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$，则$a+2b$的值是（
A.1
B.6
C.7
D.8
B
）A.1
B.6
C.7
D.8
答案
8.B $(2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)$
=$(3x-4)[(2x-8)-(x-13)]$
=$(3x-4)(x+5)$,$∵ (2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$,$∴ a=-4,b=5$,
$∴ a+2b=-4+2×5=6$.故选B.
=$(3x-4)[(2x-8)-(x-13)]$
=$(3x-4)(x+5)$,$∵ (2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$,$∴ a=-4,b=5$,
$∴ a+2b=-4+2×5=6$.故选B.
9. 学科特色 整体思想「2026河南周口月考，★☆」若实数x满足$x^2 - 3x - 1 = 0$，则代数式$2x^3 - 3x^2 - 11x + 1$的值为
4
。答案
9.答案 4
解析 $∵ x^2 -3x -1=0$,$∴ x^2 -3x=1$,
$∴ 2x^3 -3x^2 -11x +1 = 2x^3 -6x^2 +3x^2 -11x +1$
=$2x(x^2-3x)+3x^2-11x+1=2x+3x^2-11x+1$
=$3x^2-9x+1=3(x^2-3x)+1=3+1=4$.
解析 $∵ x^2 -3x -1=0$,$∴ x^2 -3x=1$,
$∴ 2x^3 -3x^2 -11x +1 = 2x^3 -6x^2 +3x^2 -11x +1$
=$2x(x^2-3x)+3x^2-11x+1=2x+3x^2-11x+1$
=$3x^2-9x+1=3(x^2-3x)+1=3+1=4$.
10.「2026湖北武汉质检，★☆」已知$a,b,x,y$满足关系式$ax+by=7$，$ay-bx=5$，则$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$的值为
74
答案
10.答案 74
解析 $∵ ax+by=7,ay-bx=5$,
$∴ (ax+by)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=49①$,
$(ay-bx)^2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2=25②$.
①+②得,$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=74$,
$∴ a^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+b^2x^2=a^2(x^2+y^2)+b^2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=74$.故答案为74.
解析 $∵ ax+by=7,ay-bx=5$,
$∴ (ax+by)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=49①$,
$(ay-bx)^2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2=25②$.
①+②得,$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=74$,
$∴ a^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+b^2x^2=a^2(x^2+y^2)+b^2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=74$.故答案为74.
11.「★★」阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题.
$(x+1)+x(x+1)+x(x+1)^2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3$.
(1)上述因式分解的方法是________,共应用了________次.
(2)若分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2025}$,则需应用上述方法________次,结果是________.
(3)分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
$(x+1)+x(x+1)+x(x+1)^2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3$.
(1)上述因式分解的方法是________,共应用了________次.
(2)若分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2025}$,则需应用上述方法________次,结果是________.
(3)分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
答案
11.解析 (1)提公因式法;2.
(2)2 025;$(1+x)^{2026}$.
(3)$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$
=$(1+x)[1+x+x(x+1)+···+x(x+1)^{n-1}]$
=$(1+x)^2[1+x+x(1+x)+···+x(1+x)^{n-2}]$
=$(1+x)^{n+1}$.
(2)2 025;$(1+x)^{2026}$.
(3)$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$
=$(1+x)[1+x+x(x+1)+···+x(x+1)^{n-1}]$
=$(1+x)^2[1+x+x(1+x)+···+x(1+x)^{n-2}]$
=$(1+x)^{n+1}$.
