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8. 在 $x=1,0,3-a,xyz,\dfrac{1+a}{4},6(x^2+y^2),-3m+6n,b,\dfrac{1}{π},\dfrac{2}{x}$ 中,单项式有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
(1) 15的倍数: $\boldsymbol{15、30、45、60}$。
(2) 列举15的倍数: $\boldsymbol{1005、1230、3135}$。
除法竖式验证:
```
67
15)1005
90
----
105
105
----
0
```
```
82
15)1230
120
----
30
30
----
0
```
```
209
15)3135
30
----
135
135
----
0
```
(3) 得出结论: 个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
(2) 列举15的倍数: $\boldsymbol{1005、1230、3135}$。
除法竖式验证:
```
67
15)1005
90
----
105
105
----
0
```
```
82
15)1230
120
----
30
30
----
0
```
```
209
15)3135
30
----
135
135
----
0
```
(3) 得出结论: 个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
9. 关于单项式$2×10^{3}a^{2}b^{3}$，下列说法中正确的是（
A.系数是2，次数是8
B.系数是$2×10^{3}$，次数是5
C.系数是$2×10^{3}$，次数是8
D.系数是2，次数是6
B
）A.系数是2，次数是8
B.系数是$2×10^{3}$，次数是5
C.系数是$2×10^{3}$，次数是8
D.系数是2，次数是6
答案
9. B 解析:$2×10^3a^2b^3$的系数是$2×10^3$,次数是 2+3 = 5,故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，注意数字部分的指数不计入次数。解题时先根据系数定义确定这个单项式的系数，再根据次数定义计算次数，最后匹配正确选项即可。
【解析】
首先确定系数：单项式$2×10^{3}a^{2}b^{3}$中的数字因数是$2×10^{3}$，因此它的系数是$2×10^{3}$；
再计算次数：单项式中包含的字母为a和b，a的指数是2，b的指数是3，根据次数的定义，次数为所有字母指数的和，即$2+3=5$；
综上可知该单项式系数是$2×10^{3}$，次数是5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题核心考查单项式相关的基本概念，易错点是容易误将科学计数法中10的指数计入单项式的次数，或者错把系数当成2忽略$10^3$的部分，掌握概念本质即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式的系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，注意数字部分的指数不计入次数。解题时先根据系数定义确定这个单项式的系数，再根据次数定义计算次数，最后匹配正确选项即可。
【解析】
首先确定系数：单项式$2×10^{3}a^{2}b^{3}$中的数字因数是$2×10^{3}$，因此它的系数是$2×10^{3}$；
再计算次数：单项式中包含的字母为a和b，a的指数是2，b的指数是3，根据次数的定义，次数为所有字母指数的和，即$2+3=5$；
综上可知该单项式系数是$2×10^{3}$，次数是5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题核心考查单项式相关的基本概念，易错点是容易误将科学计数法中10的指数计入单项式的次数，或者错把系数当成2忽略$10^3$的部分，掌握概念本质即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10. 原创题 下列说法中正确的个数是（
①0，$\frac{a}{4}$与$\frac{4}{a}$都是单项式；②$-\frac{xyz}{3}$的系数是-3；
③$n$的系数和次数都是1；④-8的系数是-8，次数是1；⑤$\frac{-π a^3 b^3}{2}$的系数是$-\frac{π}{2}$，次数是6.
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）①0，$\frac{a}{4}$与$\frac{4}{a}$都是单项式；②$-\frac{xyz}{3}$的系数是-3；
③$n$的系数和次数都是1；④-8的系数是-8，次数是1；⑤$\frac{-π a^3 b^3}{2}$的系数是$-\frac{π}{2}$，次数是6.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. B 解析:③⑤正确;$\frac{4}{a}$不是单项式,故①错误;$-\frac{xyz}{3}$的系数是$-\frac{1}{3}$,故②错误;-8 的系数是-8,次数是 0,故④错误.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的定义、单项式系数和次数的相关概念，再逐一判断5个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。具体思考路径：首先回忆核心概念：①单项式是数或字母的积的形式，单独的数或字母也是单项式，分母含字母的式子不属于单项式；②单项式的系数是指单项式中的数字因数；③单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，单独的非零常数的次数为0。再带着概念逐个验证每个说法即可。
【解析】
先明确相关核心概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含有字母的式子不是单项式；
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数；
3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，单独的非零常数的次数是0。
逐个判断说法：
①$\frac{4}{a}$的分母含有字母a，不属于单项式，因此①错误；
②$-\frac{xyz}{3}=-\frac{1}{3}xyz$，数字因数为$-\frac{1}{3}$，即系数是$-\frac{1}{3}$，不是-3，因此②错误；
③$n$可以看作$1· n$，数字因数是1，字母$n$的指数为1，因此它的系数和次数都是1，③正确；
④-8是单独的常数，它的系数是-8，常数的次数为0，不是1，因此④错误；
⑤$\frac{-π a^3 b^3}{2}$中，π是常数，因此数字因数为$-\frac{π}{2}$，即系数为$-\frac{π}{2}$；字母a的指数为3，字母b的指数为3，总次数为$3+3=6$，因此⑤正确。
综上，正确的说法是③⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 单项式的系数
3. 单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，易错点主要有三处：一是误将分母含字母的式子判定为单项式，二是忽略π是常数、错将其归为字母计算次数，三是误认为单独常数的次数为1，熟练掌握基础概念就能快速准确判断。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式的定义、单项式系数和次数的相关概念，再逐一判断5个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。具体思考路径：首先回忆核心概念：①单项式是数或字母的积的形式，单独的数或字母也是单项式，分母含字母的式子不属于单项式；②单项式的系数是指单项式中的数字因数；③单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，单独的非零常数的次数为0。再带着概念逐个验证每个说法即可。
【解析】
先明确相关核心概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含有字母的式子不是单项式；
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数；
3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，单独的非零常数的次数是0。
逐个判断说法：
①$\frac{4}{a}$的分母含有字母a，不属于单项式，因此①错误；
②$-\frac{xyz}{3}=-\frac{1}{3}xyz$，数字因数为$-\frac{1}{3}$，即系数是$-\frac{1}{3}$，不是-3，因此②错误；
③$n$可以看作$1· n$，数字因数是1，字母$n$的指数为1，因此它的系数和次数都是1，③正确；
④-8是单独的常数，它的系数是-8，常数的次数为0，不是1，因此④错误；
⑤$\frac{-π a^3 b^3}{2}$中，π是常数，因此数字因数为$-\frac{π}{2}$，即系数为$-\frac{π}{2}$；字母a的指数为3，字母b的指数为3，总次数为$3+3=6$，因此⑤正确。
综上，正确的说法是③⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 单项式的系数
3. 单项式的次数
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，易错点主要有三处：一是误将分母含字母的式子判定为单项式，二是忽略π是常数、错将其归为字母计算次数，三是误认为单独常数的次数为1，熟练掌握基础概念就能快速准确判断。
【难度系数】
0.7
11. 已知$|a+1|+(b-2)^2=0$，则单项式$-x^{a+2}y^{b-a}$的次数是
4
。答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值与平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可以列方程求出a、b的值；再根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，将a、b的值代入计算指数和即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a+1|≥0，(b-2)²≥0，且|a+1|+(b-2)²=0
∴a+1=0，b-2=0
解得a=-1，b=2
将a=-1，b=2代入单项式的指数计算：
x的指数：a+2=-1+2=1
y的指数：b-a=2-(-1)=3
根据单项式次数的定义，该单项式的次数为1+3=4，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，单项式的次数
【点评】
本题是基础综合题，既考查了非负数的性质应用，也考查了单项式次数的概念，掌握两个基础知识点即可顺利求解，是单项式相关知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值与平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可以列方程求出a、b的值；再根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，将a、b的值代入计算指数和即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a+1|≥0，(b-2)²≥0，且|a+1|+(b-2)²=0
∴a+1=0，b-2=0
解得a=-1，b=2
将a=-1，b=2代入单项式的指数计算：
x的指数：a+2=-1+2=1
y的指数：b-a=2-(-1)=3
根据单项式次数的定义，该单项式的次数为1+3=4，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，单项式的次数
【点评】
本题是基础综合题，既考查了非负数的性质应用，也考查了单项式次数的概念，掌握两个基础知识点即可顺利求解，是单项式相关知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 一个所含字母只有$a,b$的五次单项式，$a$的指数为3，且当$a=2,b=-1$时，这个单项式的值为32，则这个单项式是
$4a^3b^2$
。答案
D
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先根据单项式次数的定义（所有字母的指数和为单项式的次数），已知单项式是五次、a的指数为3，先算出b的指数；然后设单项式的系数为常数k，写出单项式的通用形式，再将a=2、b=-1及单项式的值32代入，列方程求解k的值，就能得到所求单项式。
【解析】
1. 计算b的指数：因为该单项式是五次单项式，所有字母的指数和为5，已知a的指数为3，所以b的指数为$5-3=2$。
2. 设这个单项式为$ka^3b^2$（k为非零常数，是单项式的系数）。
3. 将$a=2$，$b=-1$，单项式的值为32代入式子，可得：
$k× 2^3× (-1)^2 = 32$
计算得：$k×8×1=32$，即$8k=32$，解得$k=4$。
因此这个单项式为$4a^3b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的次数，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题围绕单项式的相关概念命题，解题的核心是先利用单项式次数的定义确定字母b的指数，再通过代入求值求出系数，掌握单项式次数的基本概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先根据单项式次数的定义（所有字母的指数和为单项式的次数），已知单项式是五次、a的指数为3，先算出b的指数；然后设单项式的系数为常数k，写出单项式的通用形式，再将a=2、b=-1及单项式的值32代入，列方程求解k的值，就能得到所求单项式。
【解析】
1. 计算b的指数：因为该单项式是五次单项式，所有字母的指数和为5，已知a的指数为3，所以b的指数为$5-3=2$。
2. 设这个单项式为$ka^3b^2$（k为非零常数，是单项式的系数）。
3. 将$a=2$，$b=-1$，单项式的值为32代入式子，可得：
$k× 2^3× (-1)^2 = 32$
计算得：$k×8×1=32$，即$8k=32$，解得$k=4$。
因此这个单项式为$4a^3b^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的次数，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题围绕单项式的相关概念命题，解题的核心是先利用单项式次数的定义确定字母b的指数，再通过代入求值求出系数，掌握单项式次数的基本概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
13. (1)(西藏中考)按一定规律排列的单项式：$5a,8a^2,11a^3,14a^4,···$.则按此规律排列的第$n$个单项式为$\underline{\hspace{5cm}}$(用含有$n$的代数式表示).
(2)按一定规律排列的一列数依次为$-\dfrac{2}{3}$,$1$,$-\dfrac{8}{7}$,$\dfrac{11}{9}$,$-\dfrac{14}{11}$,$\dfrac{17}{13}$,$···$.按排列规律,这列数中的第$n$个数是$\underline{\hspace{5cm}}$.
(2)按一定规律排列的一列数依次为$-\dfrac{2}{3}$,$1$,$-\dfrac{8}{7}$,$\dfrac{11}{9}$,$-\dfrac{14}{11}$,$\dfrac{17}{13}$,$···$.按排列规律,这列数中的第$n$个数是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
13. (1)$(3n+2)a^n$ 解析:5a 系数为 3×1+2=5,次数为 1;$8a^2$系数为 3×2+2=8,次数为 2;$11a^3$系数为 3×3+2=11,次数为 3;$14a^4$系数为 3×4+2=14,次数为 4;所以第 n 个单项式的系数可表示为 3n+2,字母 a 的次数可表示为 n,所以第n 个单项式为$(3n+2)a^n$.
(2)$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$ 解析:由题意可知这列数可表示为$-\frac{2}{3}$,$\frac{5}{5},-\frac{8}{7},\frac{11}{9},-\frac{14}{11},\frac{17}{13},…$,符号为负正交替,分子部分为2,5,8,11,…,则第 n 个数的分子为 3n-1,分母部分为3,5,7,9,…,则第 n 个数的分母为 2n+1,故第 n 个数为$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$.
(2)$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$ 解析:由题意可知这列数可表示为$-\frac{2}{3}$,$\frac{5}{5},-\frac{8}{7},\frac{11}{9},-\frac{14}{11},\frac{17}{13},…$,符号为负正交替,分子部分为2,5,8,11,…,则第 n 个数的分子为 3n-1,分母部分为3,5,7,9,…,则第 n 个数的分母为 2n+1,故第 n 个数为$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$.
解析
【分析】
(1) 找单项式的排列规律可拆分系数和字母次数两部分分别分析：先观察系数5、8、11、14，相邻两个数的差是3，属于公差为3的等差数列，可推出第n个系数的表达式；再观察a的次数依次为1、2、3、4，和项数一致，直接得到第n个的次数，两部分组合即可得到结果。
(2) 找分数数列规律时先统一形式，将1改写为$\frac{5}{5}$，再分三部分分析：一是符号，负正交替，可用含$(-1)$的乘方表示；二是分子2、5、8、11，公差为3，推导第n个分子的表达式；三是分母3、5、7、9，公差为2，推导第n个分母的表达式，三部分整合得到最终结果。
【解析】
(1) 依次分析给出的单项式：
第1个单项式$5a$：系数为$3×1+2=5$，$a$的次数为1；
第2个单项式$8a^2$：系数为$3×2+2=8$，$a$的次数为2；
第3个单项式$11a^3$：系数为$3×3+2=11$，$a$的次数为3；
第4个单项式$14a^4$：系数为$3×4+2=14$，$a$的次数为4；
由此可得第n个单项式的系数为$3n+2$，$a$的次数为$n$，因此第n个单项式为$(3n+2)a^n$。
(2) 先将数列中的$1$改写为$\frac{5}{5}$，原数列变为$-\frac{2}{3},\frac{5}{5},-\frac{8}{7},\frac{11}{9},-\frac{14}{11},\frac{17}{13},···$，分三部分找规律：
①符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用$(-1)^n$表示；
②分子规律：2、5、8、11……相邻两数差为3，第n个分子为$3n-1$；
③分母规律：3、5、7、9……相邻两数差为2，第n个分母为$2n+1$；
综上，这列数的第n个数为$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$。
【答案】
(1) $(3n+2)a^n$；(2) $(-1)^n\dfrac{3n-1}{2n+1}$
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 单项式的概念 3. 列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将复杂表达式拆分为多个独立部分分别找规律，再整合得到通用表达式，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
(1) 找单项式的排列规律可拆分系数和字母次数两部分分别分析：先观察系数5、8、11、14，相邻两个数的差是3，属于公差为3的等差数列，可推出第n个系数的表达式；再观察a的次数依次为1、2、3、4，和项数一致，直接得到第n个的次数，两部分组合即可得到结果。
(2) 找分数数列规律时先统一形式，将1改写为$\frac{5}{5}$，再分三部分分析：一是符号，负正交替，可用含$(-1)$的乘方表示；二是分子2、5、8、11，公差为3，推导第n个分子的表达式；三是分母3、5、7、9，公差为2，推导第n个分母的表达式，三部分整合得到最终结果。
【解析】
(1) 依次分析给出的单项式：
第1个单项式$5a$：系数为$3×1+2=5$，$a$的次数为1；
第2个单项式$8a^2$：系数为$3×2+2=8$，$a$的次数为2；
第3个单项式$11a^3$：系数为$3×3+2=11$，$a$的次数为3；
第4个单项式$14a^4$：系数为$3×4+2=14$，$a$的次数为4；
由此可得第n个单项式的系数为$3n+2$，$a$的次数为$n$，因此第n个单项式为$(3n+2)a^n$。
(2) 先将数列中的$1$改写为$\frac{5}{5}$，原数列变为$-\frac{2}{3},\frac{5}{5},-\frac{8}{7},\frac{11}{9},-\frac{14}{11},\frac{17}{13},···$，分三部分找规律：
①符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用$(-1)^n$表示；
②分子规律：2、5、8、11……相邻两数差为3，第n个分子为$3n-1$；
③分母规律：3、5、7、9……相邻两数差为2，第n个分母为$2n+1$；
综上，这列数的第n个数为$(-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}$。
【答案】
(1) $(3n+2)a^n$；(2) $(-1)^n\dfrac{3n-1}{2n+1}$
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 单项式的概念 3. 列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将复杂表达式拆分为多个独立部分分别找规律，再整合得到通用表达式，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
14. 已知$2^3x^my^4$与$\frac{1}{4}x^3y^{|m-n|}$都是关于$x,y$的七次单项式，求式子$m^2-n^2$的值。
答案
45÷3=15
15÷3=5
45=3×3×5
答：正确的是选项A。
15÷3=5
45=3×3×5
答：正确的是选项A。
15. 已知$x^2 y^{|a|} + (b+2)$是关于$x,y$的五次单项式，求$a^2 -3ab$的值.
答案
圈出的合数：36、54、68
$36=2×2×3×3$
$54=2×3×3×3$
$68=2×2×17$
$36=2×2×3×3$
$54=2×3×3×3$
$68=2×2×17$
16. 同时都含有字母$a,b,c$,且系数为1的7次单项式共有 (
A.4个
B.12个
C.15个
D.25个
C
)A.4个
B.12个
C.15个
D.25个
答案
质数：17、11、97、53、73、59
合数：21、32、91、35、77、40
奇数：21、17、91、11、35、97、53、77、73、59
偶数：32、40
合数：21、32、91、35、77、40
奇数：21、17、91、11、35、97、53、77、73、59
偶数：32、40
17. 改编题 已知$(a-2)x^3y^{|a|+1}+(b+3)x^3y^2$是关于$x,y$的六次单项式.
(1)求出$a,b$的值；
(2)分别求出$a^2+2a+1$和$(a+1)^2$的值；
(3)根据上一问的结果,你有什么发现？
(1)求出$a,b$的值；
(2)分别求出$a^2+2a+1$和$(a+1)^2$的值；
(3)根据上一问的结果,你有什么发现？
答案
4+6+8+9=27
27是合数
答：选C。
27是合数
答：选C。
