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8. 某商品的单价降低$\frac{1}{10}$，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（
A.$\frac{1}{11}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{8}$
C
）A.$\frac{1}{11}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
解：
(1) 先化简括号内的二次根式：
$\begin{aligned}原式&=(3×2\sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}\\&=(6\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
(2) 分别计算完全平方和二次根式乘法：
$\begin{aligned}原式&=2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + \sqrt{6}×\sqrt{8} - \sqrt{6}×\sqrt{2}\\&=4 + 4\sqrt{3} + 3 + \sqrt{48} - \sqrt{12}\\&=7 + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=7 + 6\sqrt{3}\end{aligned}$
(1) 先化简括号内的二次根式：
$\begin{aligned}原式&=(3×2\sqrt{3} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}\\&=(6\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
(2) 分别计算完全平方和二次根式乘法：
$\begin{aligned}原式&=2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + \sqrt{6}×\sqrt{8} - \sqrt{6}×\sqrt{2}\\&=4 + 4\sqrt{3} + 3 + \sqrt{48} - \sqrt{12}\\&=7 + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\\&=7 + 6\sqrt{3}\end{aligned}$
解析
【分析】
首先明确销售总收入的核心计算公式：总收入=单价×销售量。本题的关键条件是单价降低$\frac{1}{10}$后总收入不变，我们可以通过设参数的方式分别表示出原价销售的总收入和降价后的总收入，利用两者相等的等量关系列方程，即可求解销售量需要增加的比例。其中原单价、原销售量仅作为过渡参数，后续计算中会被约去，不会影响最终结果。
【解析】
设该商品原价为$a$元，按原价出售时的销售量为$b$件，销售量应增加的比例为$x$。
1. 计算原价销售的总收入：$总收入\_\_\_\_\_\_原=单价\_\_\_\_\_\_原 × 销售量\_\_\_\_\_\_原 = a × b = ab$
2. 计算降价后的相关量：
降价后新单价：$(1-\frac{1}{10})a=\frac{9}{10}a$
降价后新销售量：$(1+x)b$
降价后总收入：$\frac{9}{10}a · (1+x)b$
3. 根据总收入不变列方程：
$\frac{9}{10}a · (1+x)b = ab$
由于$a≠0$、$b≠0$，等式两边同时除以$ab$得：
$\frac{9}{10}(1+x)=1$
解得：$1+x=\frac{10}{9}$，$x=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}$
【答案】
C
【知识点】
销售总额计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类的基础典型题，解题核心是抓取“总收入不变”的等量关系列方程，过渡参数的使用能让解题过程更清晰，且参数会自动消去不影响结果，主要考察学生提取等量关系、运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确销售总收入的核心计算公式：总收入=单价×销售量。本题的关键条件是单价降低$\frac{1}{10}$后总收入不变，我们可以通过设参数的方式分别表示出原价销售的总收入和降价后的总收入，利用两者相等的等量关系列方程，即可求解销售量需要增加的比例。其中原单价、原销售量仅作为过渡参数，后续计算中会被约去，不会影响最终结果。
【解析】
设该商品原价为$a$元，按原价出售时的销售量为$b$件，销售量应增加的比例为$x$。
1. 计算原价销售的总收入：$总收入\_\_\_\_\_\_原=单价\_\_\_\_\_\_原 × 销售量\_\_\_\_\_\_原 = a × b = ab$
2. 计算降价后的相关量：
降价后新单价：$(1-\frac{1}{10})a=\frac{9}{10}a$
降价后新销售量：$(1+x)b$
降价后总收入：$\frac{9}{10}a · (1+x)b$
3. 根据总收入不变列方程：
$\frac{9}{10}a · (1+x)b = ab$
由于$a≠0$、$b≠0$，等式两边同时除以$ab$得：
$\frac{9}{10}(1+x)=1$
解得：$1+x=\frac{10}{9}$，$x=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}$
【答案】
C
【知识点】
销售总额计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是销售类的基础典型题，解题核心是抓取“总收入不变”的等量关系列方程，过渡参数的使用能让解题过程更清晰，且参数会自动消去不影响结果，主要考察学生提取等量关系、运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. (牡丹江中考)已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店 (
A.不盈不亏
B.盈利20元
C.盈利10元
D.亏损20元
B
)A.不盈不亏
B.盈利20元
C.盈利10元
D.亏损20元
答案
解析:设盈利的运动衫的进价为x元,亏损的运动衫的进价为y元,依题意得160-x=60%x,160-y=-20%y,解得x=100,y=200,所以(160-100)+(160-200)=60-40=20(元),所以在这次买卖中这家商店盈利20元.
解析
【分析】
要判断商店的盈亏情况，核心是对比两件运动衫的总售价和总进价：总售价已知为$160×2=320$元，需先求出两件运动衫的总进价。解题思路为：①根据“利润=售价-进价=进价×利润率”的关系，分别设两件运动衫的进价为未知数，列一元一次方程求出各自的进价；②用总售价减去总进价得到总利润，总利润为正则盈利，为负则亏损，为0则不盈不亏。
【解析】
设盈利60%的运动衫进价为$x$元，亏损20%的运动衫进价为$y$元。
根据利润计算公式列方程：
对于盈利的运动衫：$160 - x = 60\%x$
移项得$1.6x=160$，解得$x=100$。
对于亏损的运动衫：$160 - y = -20\%y$（亏损即利润为负）
移项得$0.8y=160$，解得$y=200$。
两件运动衫总进价为$100+200=300$元，总利润为$320-300=20$元，即盈利20元。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 利润率公式
【点评】
本题是销售盈亏类的典型基础题，解题关键是牢记售价、进价、利润率三者的数量关系，不能仅凭两件商品的利润率直接判断整体盈亏，需结合进价计算总利润后判断，避免走入直接对比利润率的误区。
【难度系数】
0.8
要判断商店的盈亏情况，核心是对比两件运动衫的总售价和总进价：总售价已知为$160×2=320$元，需先求出两件运动衫的总进价。解题思路为：①根据“利润=售价-进价=进价×利润率”的关系，分别设两件运动衫的进价为未知数，列一元一次方程求出各自的进价；②用总售价减去总进价得到总利润，总利润为正则盈利，为负则亏损，为0则不盈不亏。
【解析】
设盈利60%的运动衫进价为$x$元，亏损20%的运动衫进价为$y$元。
根据利润计算公式列方程：
对于盈利的运动衫：$160 - x = 60\%x$
移项得$1.6x=160$，解得$x=100$。
对于亏损的运动衫：$160 - y = -20\%y$（亏损即利润为负）
移项得$0.8y=160$，解得$y=200$。
两件运动衫总进价为$100+200=300$元，总利润为$320-300=20$元，即盈利20元。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 利润率公式
【点评】
本题是销售盈亏类的典型基础题，解题关键是牢记售价、进价、利润率三者的数量关系，不能仅凭两件商品的利润率直接判断整体盈亏，需结合进价计算总利润后判断，避免走入直接对比利润率的误区。
【难度系数】
0.8
10. 某品牌的家用电器,若按标价打八折销售该电器一件,则可获利润500元,其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件,那么获得的利润为
875
元.答案
解：
(1) 原式$=-\frac{3}{2} × 2\sqrt{3} ÷ (3\sqrt{2×6})$
$=-3\sqrt{3} ÷ (3\sqrt{12})$
$=-3\sqrt{3} ÷ 6\sqrt{3}$
$=-\frac{1}{2}$
(2) 原式$=(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} +1^2 + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3×6} + 2\sqrt{2}$
$=2 - 2\sqrt{2} +1 +3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=6 - 3\sqrt{2}$
(3) 原式$=5×\frac{\sqrt{5}}{5} + 2×2\sqrt{5} - (1÷\frac{1}{3})×\sqrt{40÷8}$
$=\sqrt{5} +4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$
$=2\sqrt{5}$
(1) 原式$=-\frac{3}{2} × 2\sqrt{3} ÷ (3\sqrt{2×6})$
$=-3\sqrt{3} ÷ (3\sqrt{12})$
$=-3\sqrt{3} ÷ 6\sqrt{3}$
$=-\frac{1}{2}$
(2) 原式$=(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} +1^2 + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3×6} + 2\sqrt{2}$
$=2 - 2\sqrt{2} +1 +3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=6 - 3\sqrt{2}$
(3) 原式$=5×\frac{\sqrt{5}}{5} + 2×2\sqrt{5} - (1÷\frac{1}{3})×\sqrt{40÷8}$
$=\sqrt{5} +4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$
$=2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆销售问题的基本公式，第一步先根据已知的利润和利润率求出商品的进价，因为进价是固定不变的；第二步抓住“标价不变”这个核心等量关系，打八折时的售价对应标价的80%，打九折时的售价对应标价的90%，据此列方程即可求解打九折时的利润。
【解析】
1. 计算电器的进价
根据销售公式：$\mathrm{利润率}=\mathrm{利润}÷\mathrm{进价}$，可得$\mathrm{进价}=\mathrm{利润}÷\mathrm{利润率}$。
已知利润为500元，利润率为20%，因此进价为：$500÷20\%=2500$（元）。
2. 设打九折销售获得的利润为$x$元
打八折时的售价为：$2500+500=3000$（元），此时售价是标价的80%，因此标价可表示为$3000÷0.8$；
打九折时的售价为：$2500+x$，此时售价是标价的90%，因此标价也可表示为$(2500+x)÷0.9$。
由于标价不变，列方程得：
$(2500+500)÷0.8=(2500+x)÷0.9$
计算左边得$3000÷0.8=3750$，方程变为：
$3750=(2500+x)÷0.9$
两边同乘0.9得：$3750×0.9=2500+x$，即$3375=2500+x$
解得$x=3375-2500=875$
【答案】
875
【知识点】
1. 销售问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，解题核心是明确销售问题中进价、标价、售价、利润、利润率之间的数量关系，抓住标价、进价固定不变的特点建立等量关系即可求解，熟练掌握基础公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆销售问题的基本公式，第一步先根据已知的利润和利润率求出商品的进价，因为进价是固定不变的；第二步抓住“标价不变”这个核心等量关系，打八折时的售价对应标价的80%，打九折时的售价对应标价的90%，据此列方程即可求解打九折时的利润。
【解析】
1. 计算电器的进价
根据销售公式：$\mathrm{利润率}=\mathrm{利润}÷\mathrm{进价}$，可得$\mathrm{进价}=\mathrm{利润}÷\mathrm{利润率}$。
已知利润为500元，利润率为20%，因此进价为：$500÷20\%=2500$（元）。
2. 设打九折销售获得的利润为$x$元
打八折时的售价为：$2500+500=3000$（元），此时售价是标价的80%，因此标价可表示为$3000÷0.8$；
打九折时的售价为：$2500+x$，此时售价是标价的90%，因此标价也可表示为$(2500+x)÷0.9$。
由于标价不变，列方程得：
$(2500+500)÷0.8=(2500+x)÷0.9$
计算左边得$3000÷0.8=3750$，方程变为：
$3750=(2500+x)÷0.9$
两边同乘0.9得：$3750×0.9=2500+x$，即$3375=2500+x$
解得$x=3375-2500=875$
【答案】
875
【知识点】
1. 销售问题基本公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，解题核心是明确销售问题中进价、标价、售价、利润、利润率之间的数量关系，抓住标价、进价固定不变的特点建立等量关系即可求解，熟练掌握基础公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11. 一个商店以每3盘16元的价格购进一批录音带，又以每4盘21元的价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部售出可得到所投资的20%的收益，那么k=
19
.答案
解析:设第一次购进x盘录音带,则第一次花费$(\frac{x}{3}×16)$元,第二次花费$(\frac{2x}{4}×21)$元,全部售出所得的收入为$(\frac{2x+x}{3}×k)$元.由题意,得$(\frac{x}{3}×16+\frac{2x}{4}×21)×(1+20\%)=\frac{2x+x}{3}×k$,解得k=19.
解析
【分析】
这是销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心等量关系为：总售价=总成本×(1+收益率)。题目未给出具体进货数量，我们可以设第一批购进的录音带数量为x盘，则第二批购进2x盘，分别表示出两次进货的总成本、全部售出的总售价，代入等量关系列方程即可，其中x是辅助未知数，解方程时会直接消去，无需计算x的具体值。
【解析】
设第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。
第一次进货花费：$\frac{x}{3}×16$元
第二次进货花费：$\frac{2x}{4}×21$元
全部录音带总数量为$x+2x=3x$盘，全部售出的总售价为：$\frac{3x}{3}×k=xk$元
根据总收益为投资的20%，可列方程：
$(\frac{x}{3}×16+\frac{2x}{4}×21)×(1+20\%)=xk$
由于$x≠0$，方程两边同时除以x得：
$(\frac{16}{3}+\frac{21}{2})×1.2=k$
计算得：
$\frac{95}{6}×\frac{6}{5}=k$
解得$k=19$
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系，引入的数量未知数属于辅助量，无需单独求解即可得到结果，能有效考查学生梳理数量关系、列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.6
这是销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心等量关系为：总售价=总成本×(1+收益率)。题目未给出具体进货数量，我们可以设第一批购进的录音带数量为x盘，则第二批购进2x盘，分别表示出两次进货的总成本、全部售出的总售价，代入等量关系列方程即可，其中x是辅助未知数，解方程时会直接消去，无需计算x的具体值。
【解析】
设第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。
第一次进货花费：$\frac{x}{3}×16$元
第二次进货花费：$\frac{2x}{4}×21$元
全部录音带总数量为$x+2x=3x$盘，全部售出的总售价为：$\frac{3x}{3}×k=xk$元
根据总收益为投资的20%，可列方程：
$(\frac{x}{3}×16+\frac{2x}{4}×21)×(1+20\%)=xk$
由于$x≠0$，方程两边同时除以x得：
$(\frac{16}{3}+\frac{21}{2})×1.2=k$
计算得：
$\frac{95}{6}×\frac{6}{5}=k$
解得$k=19$
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题关键是找准利润相关的等量关系，引入的数量未知数属于辅助量，无需单独求解即可得到结果，能有效考查学生梳理数量关系、列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.6
12. (2025·合肥期末)小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折.元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动:任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡.小王打算在该店同时购买两件衣服.
(1)若小王按会员价需花费630元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？
(2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？
(1)若小王按会员价需花费630元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？
(2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？
答案
解：
先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$
计算得：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$
(1) 对代数式变形：
$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$
代入$x+y=4$，$xy=1$：
$原式=4^2 - 3×1=16-3=13$
(2) 对代数式变形：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$
代入$x+y=4$，$xy=1$：
$原式=\frac{4^2 - 2×1}{1}=16-2=14$
先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$
计算得：
$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$
(1) 对代数式变形：
$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$
代入$x+y=4$，$xy=1$：
$原式=4^2 - 3×1=16-3=13$
(2) 对代数式变形：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$
代入$x+y=4$，$xy=1$：
$原式=\frac{4^2 - 2×1}{1}=16-2=14$
解析
【分析】
解决本题需先明确两种优惠方案的计费规则：①会员价：所有商品总价打9折；②元旦特惠：两件衣服中，高价商品按原价结算，低价商品按原价打8折，两种活动不可同时参与。
第(1)问：先根据会员消费金额算出两件衣服的总原价，设低价衣服原价为x元，即可表示出高价衣服的原价，结合“特惠活动花费比会员价多10元”的等量关系列方程求解即可。
第(2)问：设两件衣服原价差为y元，低价衣服原价为a元，即可表示出高价衣服原价，分别计算两种优惠的花费，根据“两者花费相差20元”列方程，化简后消去参数a即可求出差价。
【解析】
(1) 先计算两件衣服的总原价：会员打9折花费630元，因此两件衣服原价总和为 $ 630 ÷ 90\% = 700 $ 元。
设低价衣服的原价为x元，则高价衣服原价为 $ (700 - x) $ 元。
根据特惠活动计费规则，结合特惠比会员价多花10元，可列方程：
$ (700 - x) + 80\%x = 630 + 10 $
化简得：$ 700 - 0.2x = 640 $
移项计算得：$ 0.2x = 60 $，解得 $ x = 300 $
则高价衣服原价为 $ 700 - 300 = 400 $ 元。
(2) 设两件衣服原价相差y元，低价衣服原价为a元，则高价衣服原价为 $ (a + y) $ 元。
分别计算两种活动的花费：
特惠活动花费：$ (a + y) + 80\%a = 1.8a + y $
会员活动花费：$ 90\%(a + a + y) = 1.8a + 0.9y $
根据两者花费相差20元，列方程：
$ (1.8a + y) - (1.8a + 0.9y) = 20 $
化简后消去a得：$ 0.1y = 20 $
解得 $ y = 200 $。
【答案】
(1) 两件衣服的原价分别为300元、400元；
(2) 两件衣服原价相差200元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售打折问题
【点评】
本题结合日常消费的优惠场景命题，解题核心是准确理解两种优惠规则的计费方式，找准等量关系列方程求解，解题过程中注意无关参数的消去，避免干扰。
【难度系数】
0.7
解决本题需先明确两种优惠方案的计费规则：①会员价：所有商品总价打9折；②元旦特惠：两件衣服中，高价商品按原价结算，低价商品按原价打8折，两种活动不可同时参与。
第(1)问：先根据会员消费金额算出两件衣服的总原价，设低价衣服原价为x元，即可表示出高价衣服的原价，结合“特惠活动花费比会员价多10元”的等量关系列方程求解即可。
第(2)问：设两件衣服原价差为y元，低价衣服原价为a元，即可表示出高价衣服原价，分别计算两种优惠的花费，根据“两者花费相差20元”列方程，化简后消去参数a即可求出差价。
【解析】
(1) 先计算两件衣服的总原价：会员打9折花费630元，因此两件衣服原价总和为 $ 630 ÷ 90\% = 700 $ 元。
设低价衣服的原价为x元，则高价衣服原价为 $ (700 - x) $ 元。
根据特惠活动计费规则，结合特惠比会员价多花10元，可列方程：
$ (700 - x) + 80\%x = 630 + 10 $
化简得：$ 700 - 0.2x = 640 $
移项计算得：$ 0.2x = 60 $，解得 $ x = 300 $
则高价衣服原价为 $ 700 - 300 = 400 $ 元。
(2) 设两件衣服原价相差y元，低价衣服原价为a元，则高价衣服原价为 $ (a + y) $ 元。
分别计算两种活动的花费：
特惠活动花费：$ (a + y) + 80\%a = 1.8a + y $
会员活动花费：$ 90\%(a + a + y) = 1.8a + 0.9y $
根据两者花费相差20元，列方程：
$ (1.8a + y) - (1.8a + 0.9y) = 20 $
化简后消去a得：$ 0.1y = 20 $
解得 $ y = 200 $。
【答案】
(1) 两件衣服的原价分别为300元、400元；
(2) 两件衣服原价相差200元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售打折问题
【点评】
本题结合日常消费的优惠场景命题，解题核心是准确理解两种优惠规则的计费方式，找准等量关系列方程求解，解题过程中注意无关参数的消去，避免干扰。
【难度系数】
0.7
13. 某服装厂生产某种冬装,9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%,10月份将每件冬装的出厂价调低10%(每件冬装成本不变),销售件数比9月份增加80%,那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长
8
%.答案
解：
原式$=a^2 - (\sqrt{3})^2 - a^2 + 6a$
$=a^2 - 3 - a^2 + 6a$
$=6a - 3$
当$a=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
代入得：
原式$=6×(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}) - 3$
$=3 + 3\sqrt{2} - 3$
$=3\sqrt{2}$
原式$=a^2 - (\sqrt{3})^2 - a^2 + 6a$
$=a^2 - 3 - a^2 + 6a$
$=6a - 3$
当$a=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
代入得：
原式$=6×(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}) - 3$
$=3 + 3\sqrt{2} - 3$
$=3\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是销售类增长率计算问题，解题核心是抓住“利润总额=单件利润×销售件数”的等量关系。由于题目未给出具体的出厂价和销售件数，我们可以通过设辅助参数的方式表示各相关量：先设9月份每件出厂价为a元、销量为b件、10月利润总额增长率为x，分别表示出9月、10月的单件利润、总利润，再根据“10月总利润=9月总利润×(1+增长率)”列方程求解即可，参数a、b在计算中会消去，不影响最终结果。
【解析】
解：设10月份销售冬装的利润总额增长率为x，9月份每件冬装的出厂价为a元，9月份销售冬装b件。
1. 计算9月份利润总额：
9月份单件利润为出厂价的25%，即$25\%a$元，
9月份利润总额为：$25\%a × b$元。
2. 计算10月份相关量：
10月份出厂价调低10%，则新出厂价为$(1-10\%)a=0.9a$元，
每件冬装成本不变，成本为$a-25\%a=0.75a$元，
因此10月份单件利润为：$0.9a - 0.75a=0.15a$元，
10月份销量比9月增加80%，即销量为$(1+80\%)b=1.8b$件，
10月份利润总额为：$0.15a × 1.8b$元。
3. 列方程求解：
根据10月和9月利润总额的增长关系列方程：
$25\%a · b · (1+x)=0.15a × 1.8b$
由于$a≠0,b≠0$，两边同时除以$ab$得：
$0.25(1+x)=0.15×1.8$
计算得$0.25(1+x)=0.27$，
解得$1+x=1.08$，即$x=0.08=8\%$。
【答案】8
【知识点】
销售利润问题，一元一次方程应用，增长率计算
【点评】
本题是销售与增长率结合的典型应用题，解题关键是理清成本、单件利润、销量、总利润之间的逻辑关系，采用设辅助参数的方法简化计算，参数会在运算过程中自然消去，无需计算具体数值，能有效考查学生梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.6
本题是销售类增长率计算问题，解题核心是抓住“利润总额=单件利润×销售件数”的等量关系。由于题目未给出具体的出厂价和销售件数，我们可以通过设辅助参数的方式表示各相关量：先设9月份每件出厂价为a元、销量为b件、10月利润总额增长率为x，分别表示出9月、10月的单件利润、总利润，再根据“10月总利润=9月总利润×(1+增长率)”列方程求解即可，参数a、b在计算中会消去，不影响最终结果。
【解析】
解：设10月份销售冬装的利润总额增长率为x，9月份每件冬装的出厂价为a元，9月份销售冬装b件。
1. 计算9月份利润总额：
9月份单件利润为出厂价的25%，即$25\%a$元，
9月份利润总额为：$25\%a × b$元。
2. 计算10月份相关量：
10月份出厂价调低10%，则新出厂价为$(1-10\%)a=0.9a$元，
每件冬装成本不变，成本为$a-25\%a=0.75a$元，
因此10月份单件利润为：$0.9a - 0.75a=0.15a$元，
10月份销量比9月增加80%，即销量为$(1+80\%)b=1.8b$件，
10月份利润总额为：$0.15a × 1.8b$元。
3. 列方程求解：
根据10月和9月利润总额的增长关系列方程：
$25\%a · b · (1+x)=0.15a × 1.8b$
由于$a≠0,b≠0$，两边同时除以$ab$得：
$0.25(1+x)=0.15×1.8$
计算得$0.25(1+x)=0.27$，
解得$1+x=1.08$，即$x=0.08=8\%$。
【答案】8
【知识点】
销售利润问题，一元一次方程应用，增长率计算
【点评】
本题是销售与增长率结合的典型应用题，解题关键是理清成本、单件利润、销量、总利润之间的逻辑关系，采用设辅助参数的方法简化计算，参数会在运算过程中自然消去，无需计算具体数值，能有效考查学生梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.6
14. 某人去水果批发市场采购香蕉,他看中了A, B两家的香蕉.这两家的香蕉品质一样,零售价都为6元/千克,批发价各不相同.
A家规定:批发数量不超过1 000千克,全部按零售价的90%优惠;批发数量超过1 000千克且不超过2 000千克,全部按零售价的85%优惠;批发数量超过2 000千克的全部按零售价的78%优惠.说明:如果批发香蕉3 000千克,直接按6×78%×3 000计算.
B家的规定如下表:
表格说明:批发价格分段计算,如:某人批发香蕉2 100千克,则总费用=6×95%×500+6×80%×1 000+6×75%×(2 100−1 500).
(1)若他批发600千克香蕉,则他在A,B两家批发各需要多少钱?
(2)若他批发x千克香蕉(1 500＜x＜2 000),则他在A,B两家批发各需要多少钱(用含有x的代数式表示)?
(3)若恰好在两家批发所需总价格相同,则他批发的香蕉数量可能为多少千克?
A家规定:批发数量不超过1 000千克,全部按零售价的90%优惠;批发数量超过1 000千克且不超过2 000千克,全部按零售价的85%优惠;批发数量超过2 000千克的全部按零售价的78%优惠.说明:如果批发香蕉3 000千克,直接按6×78%×3 000计算.
B家的规定如下表:
表格说明:批发价格分段计算,如:某人批发香蕉2 100千克,则总费用=6×95%×500+6×80%×1 000+6×75%×(2 100−1 500).
(1)若他批发600千克香蕉,则他在A,B两家批发各需要多少钱?
(2)若他批发x千克香蕉(1 500＜x＜2 000),则他在A,B两家批发各需要多少钱(用含有x的代数式表示)?
(3)若恰好在两家批发所需总价格相同,则他批发的香蕉数量可能为多少千克?
答案
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $a^2+b^2$的值为$\boldsymbol{42}$。
解析
解：
(1)
$ab=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})$
$=4^2 - (\sqrt{5})^2$
$=16-5$
$=11$
(2) 先计算$a+b$：
$a+b=(4+\sqrt{5})+(4-\sqrt{5})=8$
由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=8$，$ab=11$代入：
$a^2+b^2=8^2 - 2×11=64-22=42$
(1)
$ab=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})$
$=4^2 - (\sqrt{5})^2$
$=16-5$
$=11$
(2) 先计算$a+b$：
$a+b=(4+\sqrt{5})+(4-\sqrt{5})=8$
由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=8$，$ab=11$代入：
$a^2+b^2=8^2 - 2×11=64-22=42$
