1[2026河北秦皇岛期中,中]若关于x的分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解,则a的值为 ()

A.$a=1$
B.$a=2$
C.$a=1$或$a=2$
D.$a=1$或$a=-1$

【解析】原方程去分母得 $x-a=ax+a$,整理得$(1-a)x=2a$. 当 $1-a=0$,即 $a=1$ 时,$(1-a)x=2a$ 无解,则原分式方程无解. 当 $a≠1$时,若原分式方程无解,则它有增根 $x=-1$,则$-(1-a)=2a$,解得 $a=-1$. 综上,$a=1$ 或 $a=-1$,故选 D.

2 新考法[2026上海闵行区质检,中]若关于x的分式方程$\frac{1}{x^2 - x} + \frac{1}{x^2 - 3x + 2} + \frac{k}{x^2 - 2x} = 0$有无数多个解，则k=。

【解析】原方程整理可得 $\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-2)(x-1)}+\frac{k}{x(x-2)}=0,\therefore \frac{x-2+x+k(x-1)}{x(x-2)(x-1)}=0,\therefore x-2+x+k(x-1)=0,\therefore (k+2)x-2-k=0.$
$\because$ 方程$\frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{k}{x^2-2x}=0$有无数多个解,$\therefore k+2=0$,解得 $k=-2$. 故答案为-2.

3[2026 山东聊城质检,中]已知关于 $ x $ 的方程：
$\frac{3}{x+1} + \frac{6}{x-1} = \frac{mx}{(x+1)(x-1)}.$
(1)若方程有增根,求 $ m $ 的值;
(2)若方程无解,求 $ m $ 的值.

【解】方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$,得到$3(x-1)+6(x+1)=mx$,整理得$(9-m)x=-3.$
(1)由原分式方程有增根,得最简公分母$(x+1)(x-1)=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=1$. 当 $x=-1$时,$-(9-m)=-3$,解得 $m=6$;当 $x=1$ 时,$9-m=-3$,解得 $m=12.$
综上,$m$ 的值为 6 或 12.
(2)分两种情况:去分母整理得到的整式方程无解,从而分式方程无解,即当 $9-m=0$ 时,该分式方程无解,此时 $m=9$. 整式方程有解,但它是分式方程的增根,从而分式方程无解,即当 $9-m≠0$ 时,分式方程有增根,由(1)得 $m=6$ 或 $m=12.$
综上,$m$ 的值为 9,6 或 12.
方法总结 分式方程无解的两种情况
(1)分式方程转化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根,则分式方程无解;
(2)分式方程转化为整式方程后,整式方程无解,则分式方程无解.
注意:分式方程无解≠最简公分母的值为 0.

4[2026 四川资阳期末，中]若关于x的分式方程$\frac{3x}{x-3} -1 = \frac{m}{3-x}$的解不小于1，则m的取值范围为。

【解析】去分母得 $3x-(x-3)=-m$, 去括号得 $3x-x+3=-m$, 解得 $x=\frac{-m-3}{2}$. 由分式方程的解不小于 1, 得到$\frac{-m-3}{2}≥1$, 且$\frac{-m-3}{2}≠3$, 解得 $m≤-5$ 且 $m≠-9$, 故答案为 $m≤-5$ 且 $m≠-9$.

5[2025河北邢台期末,中]已知关于x的分式方程$\frac{x+1}{x-3}-\frac{x}{x+2}=\frac{2m-x}{x^2 -x -6}$的解是正数,求m的取值范围.

【解】$\frac{x+1}{x-3}-\frac{x}{x+2}=\frac{2m-x}{x^2-x-6}$,方程两边同时乘$(x-3)(x+2)$,得$(x+1)(x+2)-x(x-3)=2m-x$,
$6x+2=2m-x,7x=2m-2,x=\frac{2m-2}{7}.\because$ 分式方程的解为正数,$\therefore \frac{2m-2}{7}＞0$,解得 $m＞1.\because$ 分式方程有解,$\therefore (x-3)(x+2)≠0,\therefore \frac{2m-2}{7}-3≠0,\frac{2m-2}{7}+2≠0,\therefore m≠\frac{23}{2},m≠-6,\therefore m$ 的取值范围为 $m＞1$ 且 $m≠\frac{23}{2}$.
思路分析
先按照解分式方程的一般步骤解分式方程,求出$x$的值,然后根据分式方程的解为正数,分式方程的分母不等于0,分别列出关于$m$的不等式,解不等式即可.

6[2026河南驻马店质检,较难]若整数$a$使关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}≤ \dfrac{11+x}{3},\\4x-a＞x+1\end{cases}$有且只有45个整数解，且使关于$y$的分式方程$\dfrac{2y+a+2}{y+1}+\dfrac{60}{1+y}=1$的解为非正数，求$a$的值.

【解】$\frac{x-1}{2}≤\frac{11+x}{3}$,解得 $x≤25. 4x-a＞x+1$,解得$x＞\frac{a+1}{3}.\because$ 整数 $a$ 使关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}\frac{x-1}{2}≤\frac{11+x}{3},\\4x-a＞x+1\end{cases}$有且只有 45 个整数解,$\therefore -20≤\frac{a+1}{3}＜-19,\therefore -61≤a＜-58. \frac{2y+a+2}{y+1}+\frac{60}{1+y}=1$,去分母,得 $2y+a+2+60=y+1$. 移项,得 $2y-y=1-2-60-a$. 合并同类项,得 $y=-61-a.\because$ 关于$y$ 的方程 $\frac{2y+a+2}{y+1}+\frac{60}{1+y}=1$ 的解为非正数,$\therefore -61-a≤0$ 且 $-61-a≠-1,\therefore a≥-61$ 且$a≠-60$. 又$\because a$ 为整数,$\therefore a=-61$ 或 $-59$.
思路分析
先解一元一次不等式组,再解分式方程,从而确定$a$的取值范围,进而解决问题.

7[2025贵州铜仁质检,中]若关于x的分式方程$\frac{x-4}{x-1}=\frac{mx}{x-1}$有正整数解,则整数m的值为()

A.-3
B.0
C.-1
D.-1或0

【解析】原方程去分母,得 $x-4=mx.$ $\because$ 分式方程有正整数解,$m$ 为整数,$\therefore x=\frac{4}{1-m}$且$x≠1,\therefore 1-m=1$ 或 $1-m=2$,解得 $m=0$ 或$m=-1$,故选 D.

8[2025湖南永州期中,中]若关于x的分式方程$\frac{3}{x-2}=\frac{m}{x}$有整数解,求整数m的值.

【解】$\frac{3}{x-2}=\frac{m}{x}$,去分母,得 $3x=m(x-2).\because$ 分式方程有解,$\therefore x=\frac{2m}{m-3}(m≠3)$ 且 $x≠0,x≠2.$
$\because x=\frac{2m}{m-3}=\frac{2(m-3)+6}{m-3}=\frac{2(m-3)}{m-3}+\frac{6}{m-3}=2+\frac{6}{m-3}$,分式方程有整数解,$m$ 为整数,$\therefore m-3=±6,±3,±2,±1$,则 $m$ 的值为$-3,9,0,6,5,1,4,2. \because m=0$ 时,$x=0$,分式方程无解,$\therefore$ 整数 $m$ 的值是$-3,9,6,5,1,4,2.$
方法总结
如果分式的值是整数,那么分母必为分子的因数.
(1)当分子为常数时,找出分子的因数即可求出未知数.
例:若$\frac{4}{a}$为整数,则$a=±1,±2,±4.$
(2)当分子含有未知数时,需用分离常数法将分子化为常数.
例:若$\frac{3x}{x-1}$为整数,则$\frac{3x}{x-1}=\frac{3(x-1)+3}{x-1}=3+\frac{3}{x-1}$,所以 $x-1=±1,±3$,则 $x=2,0,4,-2.$