登录
1 下列式子中，一定属于二次根式的是 （
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{a}$
A
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt[3]{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{a}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一个式子是否为二次根式，首先需要明确二次根式的判定条件：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数。解题时我们按照这两个条件逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
选项A：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式；
选项B：$\sqrt[3]{4}$的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
选项C：$\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不含二次根号，不是二次根式；
选项D：$\sqrt{a}$中未说明$a$的取值范围，若$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，尤其要注意带字母的被开方数需要明确取值范围才能判定是否为二次根式，避免误选D选项。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是否为二次根式，首先需要明确二次根式的判定条件：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数。解题时我们按照这两个条件逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
选项A：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式；
选项B：$\sqrt[3]{4}$的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式；
选项C：$\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数，不含二次根号，不是二次根式；
选项D：$\sqrt{a}$中未说明$a$的取值范围，若$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，尤其要注意带字母的被开方数需要明确取值范围才能判定是否为二次根式，避免误选D选项。
【难度系数】
0.9
2 [2025连云港]若$\sqrt{x+1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≤1$
B.$x≥1$
C.$x≤-1$
D.$x≥-1$
D
）A.$x≤1$
B.$x≥1$
C.$x≤-1$
D.$x≥-1$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先明确题干核心要求：求二次根式有意义时自变量的取值范围。首先回忆二次根式的相关性质：二次根式在实数范围内有意义的前提是被开方数为非负数（即大于或等于0）。据此我们可以列出关于x的不等式，解出不等式的解集后对应选项即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}$在实数范围内有意义，需满足被开方数是非负数，可得：
$x+1≥0$
移项解得：$x≥-1$
因此x的取值范围是$x≥-1$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查二次根式的成立条件，只要牢记“二次根式的被开方数必须为非负数”的规则，结合简单的不等式运算就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干核心要求：求二次根式有意义时自变量的取值范围。首先回忆二次根式的相关性质：二次根式在实数范围内有意义的前提是被开方数为非负数（即大于或等于0）。据此我们可以列出关于x的不等式，解出不等式的解集后对应选项即可得到答案。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}$在实数范围内有意义，需满足被开方数是非负数，可得：
$x+1≥0$
移项解得：$x≥-1$
因此x的取值范围是$x≥-1$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查二次根式的成立条件，只要牢记“二次根式的被开方数必须为非负数”的规则，结合简单的不等式运算就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
3 [2025河南]请写出一个使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的x的值：
答案不唯一，如0
。答案
3.答案不唯一，如0
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，在范围内任意选取一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：若$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义，则被开方数$5-x$需满足非负的要求，即：
$5-x ≥ 0$
移项解得：$x ≤ 5$
因此只要取小于等于5的任意实数都满足要求，例如取x=0即可。
【答案】
答案不唯一，如0
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放题，核心考查二次根式的相关概念，解题关键是牢记二次根式被开方数为非负数的要求，取值时只需在求得的取值范围内任选即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要回忆二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，在范围内任意选取一个符合要求的数值即可。
【解析】
解：若$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义，则被开方数$5-x$需满足非负的要求，即：
$5-x ≥ 0$
移项解得：$x ≤ 5$
因此只要取小于等于5的任意实数都满足要求，例如取x=0即可。
【答案】
答案不唯一，如0
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放题，核心考查二次根式的相关概念，解题关键是牢记二次根式被开方数为非负数的要求，取值时只需在求得的取值范围内任选即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
4 [2025 广东]计算$\sqrt{12} × \sqrt{3}$的结果是 （
A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
B
）A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
4.B
解析
【分析】
拿到本题，首先观察到是两个二次根式相乘的运算，可结合二次根式的相关运算法则解题：思路一，直接运用二次根式乘法法则，先将被开方数相乘，再对乘积开方得到结果；思路二，先把不是最简形式的√12化简为最简二次根式，再和√3相乘计算，两种思路都能快速求出结果，再匹配选项即可。
【解析】
解法1：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = \sqrt{12 × 3} = \sqrt{36} = 6$
解法2：先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式计算：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × (\sqrt{3} × \sqrt{3}) = 2 × 3 = 6$
因此结果为6，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的乘除运算能力，只要熟练掌握二次根式的乘法法则和化简方法，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先观察到是两个二次根式相乘的运算，可结合二次根式的相关运算法则解题：思路一，直接运用二次根式乘法法则，先将被开方数相乘，再对乘积开方得到结果；思路二，先把不是最简形式的√12化简为最简二次根式，再和√3相乘计算，两种思路都能快速求出结果，再匹配选项即可。
【解析】
解法1：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = \sqrt{12 × 3} = \sqrt{36} = 6$
解法2：先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式计算：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × (\sqrt{3} × \sqrt{3}) = 2 × 3 = 6$
因此结果为6，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的乘除运算能力，只要熟练掌握二次根式的乘法法则和化简方法，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5 计算$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$的结果是（
A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{2}$
A
）A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{2}$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的除法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负二次根式相除，可以先把被开方数相除，再对所得的商开方，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。本题中被开方数8和2均为正数，满足法则的适用条件，因此先计算被开方数的商，再化简算术平方根即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{8 ÷ 2} = \sqrt{4} = 2$
因此结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的除法运算、算术平方根的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的除法运算法则，运算时注意先确认被开方数的符号符合法则要求，再按步骤计算即可。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的除法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负二次根式相除，可以先把被开方数相除，再对所得的商开方，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。本题中被开方数8和2均为正数，满足法则的适用条件，因此先计算被开方数的商，再化简算术平方根即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{8 ÷ 2} = \sqrt{4} = 2$
因此结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的除法运算、算术平方根的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握二次根式的除法运算法则，运算时注意先确认被开方数的符号符合法则要求，再按步骤计算即可。
【难度系数】
0.9
6 若计算$\sqrt{75} × m$的结果为正整数，则无理数$m$的值可以是________（写出一个符合条件的即可）。
答案
6.答案不唯一，如$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要找到满足条件的无理数m，可按以下思路思考：第一步先将$\sqrt{75}$化简为最简二次根式，明确需要消去的根号部分；再结合二次根式乘法的运算规则，要使乘积为正整数，就要让相乘后根号部分可以消去得到有理数，同时保证m是无理数即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{75}$：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
要使$5\sqrt{3}× m$的结果为正整数，且m为无理数，只需让$\sqrt{3}$和m相乘后消去根号，例如取$m=\sqrt{3}$，代入计算：
$\sqrt{75}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}×\sqrt{3}=5×(\sqrt{3})^2=5×3=15$
15是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合要求。（答案不唯一，$2\sqrt{3}$等也满足条件）
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的乘法运算，无理数的概念
【点评】
本题属于开放型基础题，解题的关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为正整数的要求推导m的特征，答案不唯一，只要符合条件均正确。
【难度系数】
0.8
要找到满足条件的无理数m，可按以下思路思考：第一步先将$\sqrt{75}$化简为最简二次根式，明确需要消去的根号部分；再结合二次根式乘法的运算规则，要使乘积为正整数，就要让相乘后根号部分可以消去得到有理数，同时保证m是无理数即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{75}$：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
要使$5\sqrt{3}× m$的结果为正整数，且m为无理数，只需让$\sqrt{3}$和m相乘后消去根号，例如取$m=\sqrt{3}$，代入计算：
$\sqrt{75}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}×\sqrt{3}=5×(\sqrt{3})^2=5×3=15$
15是正整数，且$\sqrt{3}$是无理数，符合要求。（答案不唯一，$2\sqrt{3}$等也满足条件）
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的乘法运算，无理数的概念
【点评】
本题属于开放型基础题，解题的关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据乘积为正整数的要求推导m的特征，答案不唯一，只要符合条件均正确。
【难度系数】
0.8
7 计算：
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{50}$；
(2) $\sqrt{24} × \sqrt{\frac{2}{3}}$；
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(4) $\frac{\sqrt{10} × \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{50}$；
(2) $\sqrt{24} × \sqrt{\frac{2}{3}}$；
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(4) $\frac{\sqrt{10} × \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
答案
7.(1) 10 (2) 4 (3) 6 (4) 5
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路为：首先回忆二次根式的乘除运算法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$；二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$。每道小题先按照法则合并被开方数的乘除运算，再将得到的二次根式化为最简形式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{50} = \sqrt{2×50} = \sqrt{100} = 10$
(2) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{24} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{24×\frac{2}{3}} = \sqrt{16} = 4$
(3) 根据二次根式除法法则：
$\sqrt{18} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{18 ÷ \frac{1}{2}} = \sqrt{18×2} = \sqrt{36} = 6$
(4) 结合二次根式乘除法则，先合并被开方数运算：
$\frac{\sqrt{10} × \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10×5}{2}} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
(1) 10；(2) 4；(3) 6；(4) 5
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式除法运算；最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题型，核心是熟练运用二次根式乘除的运算法则，运算时可以先合并被开方数的运算再开方，简化计算过程，最终结果要注意化为最简形式，是巩固二次根式乘除运算的典型习题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路为：首先回忆二次根式的乘除运算法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$；二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$。每道小题先按照法则合并被开方数的乘除运算，再将得到的二次根式化为最简形式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{50} = \sqrt{2×50} = \sqrt{100} = 10$
(2) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{24} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{24×\frac{2}{3}} = \sqrt{16} = 4$
(3) 根据二次根式除法法则：
$\sqrt{18} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{18 ÷ \frac{1}{2}} = \sqrt{18×2} = \sqrt{36} = 6$
(4) 结合二次根式乘除法则，先合并被开方数运算：
$\frac{\sqrt{10} × \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10×5}{2}} = \sqrt{25} = 5$
【答案】
(1) 10；(2) 4；(3) 6；(4) 5
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式除法运算；最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题型，核心是熟练运用二次根式乘除的运算法则，运算时可以先合并被开方数的运算再开方，简化计算过程，最终结果要注意化为最简形式，是巩固二次根式乘除运算的典型习题。
【难度系数】
0.85
8 下列计算正确的是 （
A.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 36$
B.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12 × 9 = 108$
A
）A.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 36$
B.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12 × 9 = 108$
答案
8.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的乘法运算，解题时先回忆二次根式的乘法法则：两个带系数的二次根式相乘，系数与系数相乘作为结果的系数，被开方数与被开方数相乘作为结果的被开方数，最后将所得结果化为最简形式，再将计算结果和四个选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则计算$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3}$：
1. 先计算系数的乘积：$3×4=12$；
2. 再计算二次根式部分的乘积：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$；
3. 将两部分结果相乘得到最终结果：$12×3=36$。
对各选项逐一判断：
A选项结果为36，与计算结果一致，正确；
B选项错误将系数相加、直接保留根式部分，不符合乘法运算规则，错误；
C选项仅计算了系数乘积，漏算根式部分的乘积，错误；
D选项错误将$\sqrt{3}×\sqrt{3}$计算为9，运算逻辑错误。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法的基本运算法则，解题时要注意区分系数和二次根式部分的运算规则，避免出现混淆加减和乘法运算、漏算根式乘积等低级错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的乘法运算，解题时先回忆二次根式的乘法法则：两个带系数的二次根式相乘，系数与系数相乘作为结果的系数，被开方数与被开方数相乘作为结果的被开方数，最后将所得结果化为最简形式，再将计算结果和四个选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则计算$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3}$：
1. 先计算系数的乘积：$3×4=12$；
2. 再计算二次根式部分的乘积：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$；
3. 将两部分结果相乘得到最终结果：$12×3=36$。
对各选项逐一判断：
A选项结果为36，与计算结果一致，正确；
B选项错误将系数相加、直接保留根式部分，不符合乘法运算规则，错误；
C选项仅计算了系数乘积，漏算根式部分的乘积，错误；
D选项错误将$\sqrt{3}×\sqrt{3}$计算为9，运算逻辑错误。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘法的基本运算法则，解题时要注意区分系数和二次根式部分的运算规则，避免出现混淆加减和乘法运算、漏算根式乘积等低级错误。
【难度系数】
0.8
9 [2025 天津]计算：$(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=$
60
.答案
9.60
解析
【分析】
观察算式的结构，属于两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的特征，因此先利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$简化运算，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式展开算式：
$\begin{aligned}(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)&=(\sqrt{61})^2 - 1^2\\&=61 - 1\\&=60\end{aligned}$
【答案】
60
【知识点】
平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，熟练掌握相关公式和性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
观察算式的结构，属于两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的特征，因此先利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$简化运算，再结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式展开算式：
$\begin{aligned}(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)&=(\sqrt{61})^2 - 1^2\\&=61 - 1\\&=60\end{aligned}$
【答案】
60
【知识点】
平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，熟练掌握相关公式和性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
10 教材P42 随堂练习T1 变式 计算：
(1) $\sqrt{6} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3}$；
(2) $(2\sqrt{2} + 1)^2$；
(3) $(\sqrt{12} + \sqrt{27}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(4) $\frac{\sqrt{48} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$。
(1) $\sqrt{6} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3}$；
(2) $(2\sqrt{2} + 1)^2$；
(3) $(\sqrt{12} + \sqrt{27}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(4) $\frac{\sqrt{48} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$。
答案
10.(1) 6 (2) $9+4\sqrt{2}$ (3) 5 (4) $4-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题是二次根式同级乘除运算，按从左到右的顺序，利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算后化简即可。
2. 第(2)题属于两数和的平方运算，直接套用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开后合并同类项即可。
3. 第(3)题可利用乘法分配律，将括号内的二次根式分别与后面的二次根式相乘，再求和，运算更简便。
4. 第(4)题可拆分分子，将两项分别除以分母，利用$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$分别计算后合并结果即可。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{6÷\frac{1}{2}×3}=\sqrt{6×2×3}=\sqrt{36}=6$
(2) 原式$=(2\sqrt{2})^2+2×2\sqrt{2}×1+1^2=8+4\sqrt{2}+1=9+4\sqrt{2}$
(3) 原式$=\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{12×\frac{1}{3}}+\sqrt{27×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$
(4) 原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}-\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{16}-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{9+4\sqrt{2}}$；(3) $\boxed{5}$；(4) $\boxed{4-\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础典型题，核心考察二次根式运算法则、运算律及乘法公式的应用，运算时可优先选择简便方法，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题是二次根式同级乘除运算，按从左到右的顺序，利用二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算后化简即可。
2. 第(2)题属于两数和的平方运算，直接套用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开后合并同类项即可。
3. 第(3)题可利用乘法分配律，将括号内的二次根式分别与后面的二次根式相乘，再求和，运算更简便。
4. 第(4)题可拆分分子，将两项分别除以分母，利用$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$分别计算后合并结果即可。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{6÷\frac{1}{2}×3}=\sqrt{6×2×3}=\sqrt{36}=6$
(2) 原式$=(2\sqrt{2})^2+2×2\sqrt{2}×1+1^2=8+4\sqrt{2}+1=9+4\sqrt{2}$
(3) 原式$=\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{12×\frac{1}{3}}+\sqrt{27×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$
(4) 原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}-\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{16}-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{9+4\sqrt{2}}$；(3) $\boxed{5}$；(4) $\boxed{4-\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础典型题，核心考察二次根式运算法则、运算律及乘法公式的应用，运算时可优先选择简便方法，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
