三、解答题
10. 如图，已知$AB// CD$，点$E$在直线$AB$，$CD$之间，连接$AE$，$CE$.
（1）如图①，若$∠ BAE=40°$，$∠ ECD=50°$，则$∠ AEC=$$°$；
（2）如图②，猜想$∠ BAE$，$∠ ECD$和$∠ AEC$之间有什么样的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若$AH$平分$∠ BAE$，将线段$CE$沿直线$CD$平移至$FG$处.若$∠ AEC=80°$，$FH$平分$∠ DFG$，则$∠ AHF=$$°$.

10. 解：(1) 90
(2) $∠ BAE + ∠ DCE = ∠ AEC$. 理由：如图，过点$E$作$EF// AB$. 因为$AB // CD$，所以 $EF // CD$. 所以$∠ BAE = ∠ AEF$，$∠ DCE = ∠ CEF$. 所以 $∠ AEC = ∠ AEF + ∠ CEF = ∠ BAE + ∠ DCE$. 所以 $∠ BAE + ∠ DCE=∠ AEC$.
(3) 40

【分析】
（1）本题属于平行线间的拐点问题，通用解法是过拐点E作平行于AB的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线也平行于CD，再根据两直线平行、内错角相等的性质，将∠AEC拆为两个已知角的和，代入数值计算即可。
（2）是第(1)问的一般化探究，沿用第(1)问的辅助线作法，把具体角度替换为角的符号，同样利用平行线内错角相等的性质，即可推导出三个角的数量关系。
（3）结合了平移、角平分线的性质，首先根据平移的性质得到∠ECD和∠GFD相等，再利用第(2)问得到的∠BAE+∠ECD=∠AEC的结论，结合角平分线的定义把所求的∠AHF拆为两个半角的和，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
（1）过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠BAE=∠AEF=40°，∠ECD=∠CEF=50°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=40°+50°=90°。
（2）猜想：$\boldsymbol{∠BAE + ∠DCE = ∠AEC}$，理由如下：
过点$E$作$EF// AB$。
$\because AB // CD$，$\therefore EF // CD$，
$\therefore ∠BAE = ∠AEF$，$∠DCE = ∠CEF$，
$\therefore ∠AEC = ∠AEF + ∠CEF = ∠BAE + ∠DCE$，
即$∠BAE + ∠DCE=∠AEC$。

（3）
∵线段CE沿CD平移至FG，
∴CE//FG，
∴∠ECD=∠GFD，
由（2）的结论可得：∠BAE + ∠ECD = ∠AEC=80°，
∵AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，
∴$∠ BAH=\frac{1}{2}∠ BAE$，$∠ DFH=\frac{1}{2}∠ GFD=\frac{1}{2}∠ ECD$，
过点H作HM//AB，
∵AB//CD，
∴HM//AB//CD，
∴∠BAH=∠AHM，∠DFH=∠FHM，
∴$∠ AHF=∠ AHM+∠ FHM=∠ BAH+∠ DFH=\frac{1}{2}(∠ BAE+∠ ECD)=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$
(2) $\boldsymbol{∠BAE + ∠DCE = ∠AEC}$，理由：如图，过点$E$作$EF// AB$. 因为$AB // CD$，所以 $EF // CD$. 所以$∠ BAE = ∠ AEF$，$∠ DCE = ∠ CEF$. 所以 $∠ AEC = ∠ AEF + ∠ CEF = ∠ BAE + ∠ DCE$. 所以 $∠ BAE + ∠ DCE=∠ AEC$.

(3) $\boldsymbol{40}$
【知识点】
平行线的性质；平移的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线间拐点问题的经典题型，核心解题技巧是过拐点作已知平行线的辅助线，将未知角转化为已知角的和差，同时结合平移、角平分线的性质考查角的运算，能够很好地锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7