23.（10分）如图1，$AB// CD$，$F$，$E$是直线$CD$上两点（$F$在$E$的左侧），点$P$是直线$AB$上一点.
（1）如图1，点$Q$为线段$FP$上一点，求证：$∠ APQ+∠ CEQ=∠ PQE$；
（2）如图2，点$Q$为$PF$延长线上一点，过点$P$作$PK// QE$，作$∠ KPB$和$∠ PQE$的角平分线交于点$G$，若$∠ PQE=α$，$∠ FEQ=β$，求$∠ PGQ$的度数（用含$α$，$β$的式子表示）；
（3）如图3，点$Q$为$PF$延长线上一点，$∠ APQ=50°$，点$M$在射线$PB$上，以点$Q$为端点作射线$l$，$∠ PME$的角平分线交射线$l$于点$N$，$∠ PQN=10°$，若$∠ MNQ=165°$，直接写出$∠ MED$的度数.

解：（1）证明：如图，过点Q作$QK//AB$，则$∠APQ=∠PQK$，
∵$AB//CD$，
∴$QK//CD$，
∴$∠KQE=∠CEQ$，又
∵$∠PQE=∠PQK+∠KQE$，
∴$∠APQ+∠CEQ=∠PQE$；（2）解：如图，连接PE，
∵$PK//QE$，
∴$∠KPE=∠PEQ$，
∵$AB//CD$，
∴$∠BPE=∠PEC$，
∴$∠KPB=∠FEQ$，
∵$∠FEQ=β$，
∴$∠KPB=β$，
∵PG平分$∠KPB$，
∴$∠KPG=\dfrac{1}{2}β$，
∵$∠PQE=α$，QG平分$∠PQE$，
∴$∠GQE=\dfrac{1}{2}α$，又
∵$PK//QE$，
∴由（1）得$∠PGQ=\dfrac{1}{2}α+\dfrac{1}{2}β=\dfrac{α+β}{2}$；（3）解：①如图，过点Q作$QG//AB$，过点N作$NH//AB$，
∴$QG//AB//NH//CD$，
∴$∠APQ=∠PQG=50°$，$∠HNQ=180° - ∠GQN$，$∠AMN=∠MNH$，$∠AME=∠MED$，
∴$∠NQG=∠PQG - ∠PQN=50° - 10°=40°$，
∴$∠HNQ=180° - ∠GQN=180° - 40°=140°$，
∴$∠AMN=∠MNH=∠QNM - ∠QNH=165° - 140°=25°$，又
∵MN平分$∠PME$，
∴$∠AME=∠MED=2∠AMN=50°$，②如图，过点Q作$QG//AB$，过点N作$NH//AB$，根据①可得$∠HNQ=∠NQG=40°$，
∴$∠MNH=∠QNM - ∠QNH=165° - 40°=125°$，
∴$∠AMN=180° - ∠HNM=180° - 125°=55°$，又
∵MN平分$∠PME$，
∴$∠AME=∠MED=2∠AMN=110°$；③如图，过点Q作$QG//AB$，过点N作$NH//AB$，根据①可得$∠HNQ=∠NQG=60°$，
∴$∠HNQ=180° - ∠GQN=180° - 60°=120°$，
∴$∠AMN=∠MNH=∠QNM - ∠QNH=165° - 120°=45°$，又
∵MN平分$∠PME$，
∴$∠AME=∠MED=2∠AMN=90°$，综上，$∠MED$的度数为$50°$或$90°$或$110°$.