1.(教材 P44T10 变式)如图,已知△ABC,利用直尺和圆规按要求作图.
(1)如图 1,在 AB 右侧作∠BAD=∠BAC,AD=AC(点 D 与点 C 在 AB 的不同侧);
(2)如图 2,在 AC 的延长线上作点 D,使∠CBD=∠ABC;
(3)如图 3,在 BC 的延长线上作点 D,使∠CAD=∠ABC;
(4)如图 4,在 AB 上作点 D,使∠ACD=∠ABC.

如图所示

2.(教材P44T9变式)利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1)如图1,已知△ABC,过顶点A作BC的平行线;
(2)如图2,过△ABC的顶点C作AB的平行线;
(3)如图3,过直线AB外一点M作AB的平行线.

如图所示

3.(2026·江岸)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以顶点$A$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$AC$,$AB$于点$M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,作射线$AP$交$BC$于点$D$,若$△ ABC$的面积是$16$,$AB+AC=16$,求$CD$的长,并说明理由.

解:连接 MP,NP,
在△AMP 和△ANP 中,$\begin{cases} AM=AN,\\ AP=AP,\\ MP=NP, \end{cases}$
$\therefore △ AMP≌ △ ANP,\therefore ∠ CAP=∠ BAP.$
过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,在 $△ ACD$ 和 $△ AED$ 中,
$\begin{cases} ∠ C=∠ AED,\\ ∠ CAD=∠ DAE,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AED,\therefore CD=DE,$
$16=\frac{1}{2}AC· CD+\frac{1}{2}AB· CD,\therefore CD=2.$