24. (12分)【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题.例如:如图1,已知AB//CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点P在直线AB,CD之间,设∠AEP = ∠α,∠CFP = ∠β,求证:∠P = ∠α + ∠β.
证明:如图2,过点P作PQ//AB,∴ ∠EPQ = ∠AEP = ∠α.
∵ PQ//AB,AB//CD,∴ PQ//CD,∴ ∠FPQ = ∠CFP = ∠β,
∴ ∠EPF = ∠EPQ + ∠FPQ = ∠α + ∠β,即∠P = ∠α + ∠β.
【类比应用】
可以运用以上结论解答下列问题:
(1)如图3,已知AB//CD,∠D = 15°,∠GAB = 70°,求∠P的度数;
(2)如图4,已知AB//CD,点E在直线CD上,点P在直线AB上方,连接PA,PE,则∠PAB,∠CEP,∠APE之间有何数量关系?请说明理由;
【拓展应用】
(3)如图5,已知AB//CD,点E在直线CD上,点P在直线AB上方,连接PA,PE,∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q,求2∠AQE + ∠APE的值.

武汉市东湖高新区七年级期中考试数学真卷
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24. 【点拨】本题考查平行线的判定与性质,掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
【解析】(1)如题图3,延长BA至点H.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ APD = ∠ D + ∠ HAP$.
$\because ∠ HAP = ∠ GAB$,$∠ GAB = 70°$,$\therefore ∠ HAP = 70°$.
$\because ∠ D = 15°$,$\therefore ∠ APD = ∠ D + ∠ HAP = 85°$.
(2) $∠ PAB + ∠ CEP - ∠ APE = 180°$. 理由如下:
如题图4,过点P向右作 $PM// AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore AB// CD// PM$,
$\therefore ∠ MPE = ∠ CEP$,$∠ MPA + ∠ PAB = 180°$,
$\therefore ∠ MPE - ∠ MPA - ∠ PAB = ∠ CEP - 180°$,
即 $∠ APE - ∠ PAB = ∠ CEP - 180°$,
$\therefore ∠ PAB + ∠ CEP - ∠ APE = 180°$.
(3) $\because AB// CD$,$\therefore ∠ AQE = ∠ BAQ + ∠ DEQ$,
$\therefore 2∠ AQE = 2∠ BAQ + 2∠ DEQ = 2(180° - ∠ BAF) + 2∠ DEQ = 360° - 2∠ BAF + 2∠ DEQ$.
$\because QE,AF$ 分别是 $∠ PED$ 与 $∠ PAB$ 的平分线,
$\therefore 2∠ BAF = ∠ PAB$,$2∠ DEQ = ∠ PED$,
$\therefore 2∠ AQE = 360° - ∠ PAB + ∠ PED$.
由(2)知,$∠ PAB + ∠ CEP - ∠ APE = 180°$,
$\therefore ∠ APE = ∠ PAB + ∠ CEP - 180°$,
$\therefore 2∠ AQE + ∠ APE = 360° - ∠ PAB + ∠ PED + ∠ PAB + ∠ CEP - 180° = 180° + 180° = 360°$,即 $2∠ AQE + ∠ APE = 360°$.