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1. 在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0)$,点$B(a,0)$,$\odot A$的半径为2.下列说法中,不正确的是（
A.当$a=-1$时,点$B$在$\odot A$上
B.当$a＜1$时,点$B$在$\odot A$内
C.当$a＜-1$时,点$B$在$\odot A$外
D.当$-1＜a＜3$时,点$B$在$\odot A$内
B
）A.当$a=-1$时,点$B$在$\odot A$上
B.当$a＜1$时,点$B$在$\odot A$内
C.当$a＜-1$时,点$B$在$\odot A$外
D.当$-1＜a＜3$时,点$B$在$\odot A$内
答案
设$\odot A$与$x$轴交于点$C,E$.$\because A(1,0)$,$\odot A$的半径是2,$\therefore OA=1$,$AC=AE=2$.$\therefore OE=AE-OA=2-1=1$,$OC=OA+AC=1+2=3$.$\therefore E(-1,0)$,$C(3,0)$.当$a=-1$时,点$B$与点$E$重合,即点$B$在$\odot A$上.故A正确,不符合题意.当$a=-3$时,满足$a＜1$,此时点$B$在$\odot A$外.故B不正确,符合题意.当$a＜-1$时,$AB＞2$,点$B$在$\odot A$外.故C正确,不符合题意.当$-1＜a＜3$时,点$B$在$\odot A$内.故D正确,不符合题意.
解析
【分析】
这道题考查点和圆的位置关系判定，解题思路如下：首先回忆点与圆位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d=r则点在圆上，d＜r则点在圆内，d＞r则点在圆外。本题中点A、B都在x轴上，两点距离可直接用横坐标差的绝对值计算，即AB=|a-1|，已知⊙A半径为2，我们可以先算出x轴上恰好落在⊙A上的两个点的坐标，再逐个验证四个选项的描述是否正确，就能选出不正确的选项。
【解析】
解：已知圆心A(1,0)，⊙A的半径为2，点B坐标为(a,0)，两点都在x轴上，因此点B到圆心A的距离为$AB=|a-1|$。
令AB=2，即$|a-1|=2$，解得a=3或a=-1，也就是⊙A和x轴交于(-1,0)和(3,0)两点。
逐个验证选项：
1. 选项A：当a=-1时，点B坐标为(-1,0)，此时AB=2，等于圆的半径，点B在⊙A上，描述正确，不符合题意；
2. 选项B：当a＜1时，取反例a=-3，此时$AB=|-3-1|=4＞2$，点B在⊙A外，因此“a＜1时点B在⊙A内”的描述不成立，该选项说法错误，符合题意；
3. 选项C：当a＜-1时，$AB=|a-1|=1-a＞2$，点B到圆心的距离大于半径，点B在⊙A外，描述正确，不符合题意；
4. 选项D：当-1＜a＜3时，$AB=|a-1|＜2$，点B到圆心的距离小于半径，点B在⊙A内，描述正确，不符合题意。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系，数轴上两点距离
【点评】本题属于点和圆位置关系的基础题型，核心是利用点到圆心的距离和半径的大小关系判断位置，易错点是忽略a可以取远小于-1的数值，直接误以为a＜1时点都在圆内，这类判断类选择题用举反例的方法可以快速验证错误选项。
【难度系数】0.7
这道题考查点和圆的位置关系判定，解题思路如下：首先回忆点与圆位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d=r则点在圆上，d＜r则点在圆内，d＞r则点在圆外。本题中点A、B都在x轴上，两点距离可直接用横坐标差的绝对值计算，即AB=|a-1|，已知⊙A半径为2，我们可以先算出x轴上恰好落在⊙A上的两个点的坐标，再逐个验证四个选项的描述是否正确，就能选出不正确的选项。
【解析】
解：已知圆心A(1,0)，⊙A的半径为2，点B坐标为(a,0)，两点都在x轴上，因此点B到圆心A的距离为$AB=|a-1|$。
令AB=2，即$|a-1|=2$，解得a=3或a=-1，也就是⊙A和x轴交于(-1,0)和(3,0)两点。
逐个验证选项：
1. 选项A：当a=-1时，点B坐标为(-1,0)，此时AB=2，等于圆的半径，点B在⊙A上，描述正确，不符合题意；
2. 选项B：当a＜1时，取反例a=-3，此时$AB=|-3-1|=4＞2$，点B在⊙A外，因此“a＜1时点B在⊙A内”的描述不成立，该选项说法错误，符合题意；
3. 选项C：当a＜-1时，$AB=|a-1|=1-a＞2$，点B到圆心的距离大于半径，点B在⊙A外，描述正确，不符合题意；
4. 选项D：当-1＜a＜3时，$AB=|a-1|＜2$，点B到圆心的距离小于半径，点B在⊙A内，描述正确，不符合题意。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系，数轴上两点距离
【点评】本题属于点和圆位置关系的基础题型，核心是利用点到圆心的距离和半径的大小关系判断位置，易错点是忽略a可以取远小于-1的数值，直接误以为a＜1时点都在圆内，这类判断类选择题用举反例的方法可以快速验证错误选项。
【难度系数】0.7
2. 已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^{2}-7x+12=0$的一个根,圆心$O$到直线$l$的距离$d=3$,则直线$l$与$\odot O$的位置关系是（
A.相交
B.相切
C.相切或相离
D.相切或相交
D
）A.相交
B.相切
C.相切或相离
D.相切或相交
答案
解方程$x^2-7x+12=0$,得$x_1=3$,$x_2=4$.$\because \odot O$的半径为一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根,$\therefore r=3$或$r=4$.$\because$ 圆心$O$到直线$l$的距离$d=3$,$\therefore$ 当$r=3$时,$d=r$,直线$l$与$\odot O$相切;当$r=4$时,$d＜r$,直线$l$与$\odot O$相交.综上所述,直线$l$与$\odot O$相切或相交.
解析
【分析】
这道题的解题思路非常明确：第一步先求解题干给出的一元二次方程，得到方程的两个正实根，由于圆的半径是该方程的一个根，因此半径r存在两种合法的取值；第二步回忆直线与圆的位置关系判定规则：通过比较圆心到直线的距离d和半径r的大小判断位置关系，d＜r时相交、d=r时相切、d＞r时相离，将已知的d=3分别和两种可能的r值对比，分类判断对应的位置关系，最后整合所有情况就能得到最终结论。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2-7x+12=0$，对左侧因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=4$。
2. 由题意可知$\odot O$的半径r是该方程的一个根，因此r的取值有两种可能：$r=3$或$r=4$。
3. 已知圆心O到直线l的距离$d=3$，分两种情况讨论：
当$r=3$时，满足$d=r$，此时直线l与$\odot O$相切；
当$r=4$时，满足$d＜r$，此时直线l与$\odot O$相交。
4. 综合两种情况，直线l与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】D
【知识点】解一元二次方程，直线与圆位置关系
【点评】本题的易错点是容易遗漏一元二次方程的两个正根对应的两种半径取值，不少同学只取其中一个根直接判断会导致错选，解题时要主动运用分类讨论思想，对所有可能的半径值逐一和距离d对比后再推导最终结论。
【难度系数】0.7
这道题的解题思路非常明确：第一步先求解题干给出的一元二次方程，得到方程的两个正实根，由于圆的半径是该方程的一个根，因此半径r存在两种合法的取值；第二步回忆直线与圆的位置关系判定规则：通过比较圆心到直线的距离d和半径r的大小判断位置关系，d＜r时相交、d=r时相切、d＞r时相离，将已知的d=3分别和两种可能的r值对比，分类判断对应的位置关系，最后整合所有情况就能得到最终结论。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2-7x+12=0$，对左侧因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=4$。
2. 由题意可知$\odot O$的半径r是该方程的一个根，因此r的取值有两种可能：$r=3$或$r=4$。
3. 已知圆心O到直线l的距离$d=3$，分两种情况讨论：
当$r=3$时，满足$d=r$，此时直线l与$\odot O$相切；
当$r=4$时，满足$d＜r$，此时直线l与$\odot O$相交。
4. 综合两种情况，直线l与$\odot O$的位置关系是相切或相交。
【答案】D
【知识点】解一元二次方程，直线与圆位置关系
【点评】本题的易错点是容易遗漏一元二次方程的两个正根对应的两种半径取值，不少同学只取其中一个根直接判断会导致错选，解题时要主动运用分类讨论思想，对所有可能的半径值逐一和距离d对比后再推导最终结论。
【难度系数】0.7
3. 易错题 已知矩形$ABCD$的边$AB=3$，$BC=4$，以点$B$为圆心作圆，使$A$，$C$，$D$三点中至少有一点在$\odot B$内，且至少有一点在$\odot B$外，则$\odot B$的半径$r$的取值范围是
3＜r＜5
。答案
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore CD=AB=3$,$∠ C=90°$.又$\because BC=4$,$\therefore$ 连接$BD$,在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.如图,由图可知,$AB＜r＜BD$,即$3＜r＜5$.
解析
【分析】
解这道题的核心思路是利用点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时点在圆内，点到圆心的距离大于半径时点在圆外。首先我们需要分别求出A、C、D三个点到圆心B的距离，对这三个距离做大小排序。题目要求“至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外”，说明半径r需要大于三个距离中的最小值，保证距离最小的点在圆内，同时r要小于三个距离中的最大值，保证距离最大的点在圆外，由此就能推导得到r的取值范围。
【解析】
1. 由矩形ABCD的已知条件AB=3，BC=4，可得点A到圆心B的距离为AB=3，点C到圆心B的距离为BC=4。
2. 连接BD，根据矩形的性质可知∠BCD=90°，CD=AB=3，在Rt△BCD中，由勾股定理计算点D到圆心B的距离：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
3. 对三个点到B的距离排序可得：$AB=3 ＜ BC=4 ＜ BD=5$。
4. 要满足三点中至少有一点在⊙B内：r必须大于最小距离3，此时点A在圆内，满足条件；
要满足三点中至少有一点在⊙B外：r必须小于最大距离5，此时点D在圆外，满足条件。
综上可得半径r的取值范围是$3＜r＜5$。
【答案】
$3＜r＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形性质，勾股定理
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易误把半径范围错写为$3＜r＜4$或者$4＜r＜5$，忽略了点D到圆心B的距离是矩形对角线长度5，只有同时覆盖大于最小距离、小于最大距离的区间，才能同时满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”的双重要求，解题时要注意把所有点到圆心的距离都计算完整再推导范围。
【难度系数】
0.6
解这道题的核心思路是利用点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时点在圆内，点到圆心的距离大于半径时点在圆外。首先我们需要分别求出A、C、D三个点到圆心B的距离，对这三个距离做大小排序。题目要求“至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外”，说明半径r需要大于三个距离中的最小值，保证距离最小的点在圆内，同时r要小于三个距离中的最大值，保证距离最大的点在圆外，由此就能推导得到r的取值范围。
【解析】
1. 由矩形ABCD的已知条件AB=3，BC=4，可得点A到圆心B的距离为AB=3，点C到圆心B的距离为BC=4。
2. 连接BD，根据矩形的性质可知∠BCD=90°，CD=AB=3，在Rt△BCD中，由勾股定理计算点D到圆心B的距离：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
3. 对三个点到B的距离排序可得：$AB=3 ＜ BC=4 ＜ BD=5$。
4. 要满足三点中至少有一点在⊙B内：r必须大于最小距离3，此时点A在圆内，满足条件；
要满足三点中至少有一点在⊙B外：r必须小于最大距离5，此时点D在圆外，满足条件。
综上可得半径r的取值范围是$3＜r＜5$。
【答案】
$3＜r＜5$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形性质，勾股定理
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易误把半径范围错写为$3＜r＜4$或者$4＜r＜5$，忽略了点D到圆心B的距离是矩形对角线长度5，只有同时覆盖大于最小距离、小于最大距离的区间，才能同时满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”的双重要求，解题时要注意把所有点到圆心的距离都计算完整再推导范围。
【难度系数】
0.6
4. 在$□ ABCD$中，$BC=5$，$S_{□ ABCD}=20$. 如果以顶点$C$为圆心、$BC$为半径作$\odot C$，那么$\odot C$与边$AD$所在直线的公共点的个数是
2
.答案
如图,过点$C$作$CH⊥ DA$,交$DA$的延长线于点$H$.
$\because S_{□ ABCD}=BC· CH=20$,$\therefore CH=\frac{20}{5}=4$.$\because 4＜5$,即圆心$C$到直线$AD$的距离小于半径,$\therefore$ 直线$AD$与$\odot C$相交.$\therefore \odot C$与边$AD$所在直线的公共点的个数是2.
$\because S_{□ ABCD}=BC· CH=20$,$\therefore CH=\frac{20}{5}=4$.$\because 4＜5$,即圆心$C$到直线$AD$的距离小于半径,$\therefore$ 直线$AD$与$\odot C$相交.$\therefore \odot C$与边$AD$所在直线的公共点的个数是2.
解析
【分析】
要确定⊙C与AD所在直线的公共点个数，核心是判断直线AD和⊙C的位置关系，只需比较圆心C到直线AD的距离d和圆半径r的大小即可。已知平行四边形的面积和边长BC，平行四边形对边AD//BC，因此点C到直线AD的距离就是平行四边形以BC为底对应的高，我们可以通过平行四边形面积公式直接求出这个距离d，再将d和半径r=BC=5比较大小，就能得到位置关系，进而得到公共点的数量。
【解析】
过点C作CH⊥DA，交DA的延长线于点H，CH的长度就是圆心C到直线AD的距离。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，平行四边形面积满足$S_{□ABCD}=BC·CH$。
代入已知条件$S_{□ABCD}=20$，$BC=5$，可得：
$CH=\frac{S_{□ABCD}}{BC}=\frac{20}{5}=4$。
由题意得⊙C的半径$r=BC=5$，显然$CH=4＜5$，即圆心C到直线AD的距离小于圆的半径，因此直线AD与⊙C相交，二者的公共点个数为2。
【答案】2
【知识点】平行四边形面积，直线与圆位置关系
【点评】本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是利用平行四边形面积公式快速求出圆心到直线的距离，题干明确指向AD所在直线而非线段AD，无需额外判断线段和圆的交点情况，重点考察对直线与圆位置关系判定规则的掌握程度。
【难度系数】0.7
要确定⊙C与AD所在直线的公共点个数，核心是判断直线AD和⊙C的位置关系，只需比较圆心C到直线AD的距离d和圆半径r的大小即可。已知平行四边形的面积和边长BC，平行四边形对边AD//BC，因此点C到直线AD的距离就是平行四边形以BC为底对应的高，我们可以通过平行四边形面积公式直接求出这个距离d，再将d和半径r=BC=5比较大小，就能得到位置关系，进而得到公共点的数量。
【解析】
过点C作CH⊥DA，交DA的延长线于点H，CH的长度就是圆心C到直线AD的距离。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，平行四边形面积满足$S_{□ABCD}=BC·CH$。
代入已知条件$S_{□ABCD}=20$，$BC=5$，可得：
$CH=\frac{S_{□ABCD}}{BC}=\frac{20}{5}=4$。
由题意得⊙C的半径$r=BC=5$，显然$CH=4＜5$，即圆心C到直线AD的距离小于圆的半径，因此直线AD与⊙C相交，二者的公共点个数为2。
【答案】2
【知识点】平行四边形面积，直线与圆位置关系
【点评】本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是利用平行四边形面积公式快速求出圆心到直线的距离，题干明确指向AD所在直线而非线段AD，无需额外判断线段和圆的交点情况，重点考察对直线与圆位置关系判定规则的掌握程度。
【难度系数】0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4\sqrt{3}$,以点$A$为圆心、$2$为半径作$\odot A$,当$∠ BAC=120^{ \circ }$时,直线$BC$与$\odot A$的位置关系如何？证明你的结论.
答案
直线$BC$与$\odot A$的位置关系是相切.如图,过点$A$作$AD⊥ BC$,垂足为$D$. $\because AB=AC$,$∠ BAC=120°$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$.$\because BC=4\sqrt{3}$,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$.
$\therefore$ 易得$AD=2$.又$\because \odot A$的半径为2,$\therefore$ 直线$BC$与$\odot A$的位置关系是相切.
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$.$\because BC=4\sqrt{3}$,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$.
$\therefore$ 易得$AD=2$.又$\because \odot A$的半径为2,$\therefore$ 直线$BC$与$\odot A$的位置关系是相切.
解析
【分析】
要判断直线BC与⊙A的位置关系，核心思路是比较圆心A到直线BC的距离d和⊙A的半径r的大小：若d＞r则两图形相离，d=r则相切，d＜r则相交。首先过点A作AD⊥BC于D，得到圆心到直线BC的垂线段AD，也就是待求的距离d。已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角∠BAC=120°，可以先算出底角∠B=∠C=30°，再利用等腰三角形三线合一的性质，得到D是BC中点，算出BD的长度，接着在Rt△ABD中计算AD的长度，最后将AD的长度和⊙A的半径2对比，就能得出最终的位置关系。
【解析】
直线BC与⊙A的位置关系为相切，证明如下：
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ △ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分BC，
∴ $BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
由三角函数定义，$\tan B = \frac{AD}{BD}$，即$\tan30°= \frac{AD}{2\sqrt{3}}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AD = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
又
∵ ⊙A的半径r=2，
∴ 圆心A到直线BC的距离d=AD=2=r，
因此直线BC与⊙A相切。
【答案】
直线$BC$与$\odot A$的位置关系是相切
【知识点】
直线与圆位置关系判定；等腰三角形三线合一；含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础常规题型，核心考查了“通过圆心到直线的垂线段长度与半径的数量关系，判断直线和圆位置关系”的核心方法，结合等腰三角形的性质进行计算，难度不大，需要学生掌握判定直线和圆位置关系的通用思路，避免直接凭图形直观判断位置关系的错误习惯。
【难度系数】
0.7
要判断直线BC与⊙A的位置关系，核心思路是比较圆心A到直线BC的距离d和⊙A的半径r的大小：若d＞r则两图形相离，d=r则相切，d＜r则相交。首先过点A作AD⊥BC于D，得到圆心到直线BC的垂线段AD，也就是待求的距离d。已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角∠BAC=120°，可以先算出底角∠B=∠C=30°，再利用等腰三角形三线合一的性质，得到D是BC中点，算出BD的长度，接着在Rt△ABD中计算AD的长度，最后将AD的长度和⊙A的半径2对比，就能得出最终的位置关系。
【解析】
直线BC与⊙A的位置关系为相切，证明如下：
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ △ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分BC，
∴ $BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
由三角函数定义，$\tan B = \frac{AD}{BD}$，即$\tan30°= \frac{AD}{2\sqrt{3}}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AD = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
又
∵ ⊙A的半径r=2，
∴ 圆心A到直线BC的距离d=AD=2=r，
因此直线BC与⊙A相切。
【答案】
直线$BC$与$\odot A$的位置关系是相切
【知识点】
直线与圆位置关系判定；等腰三角形三线合一；含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础常规题型，核心考查了“通过圆心到直线的垂线段长度与半径的数量关系，判断直线和圆位置关系”的核心方法，结合等腰三角形的性质进行计算，难度不大，需要学生掌握判定直线和圆位置关系的通用思路，避免直接凭图形直观判断位置关系的错误习惯。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$AC ≠ BC$,$M$是边$AC$上的动点. 过点$M$作$MN // AB$,交$BC$于点$N$,现将$△ MNC$沿$MN$折叠,得到$△ MNP$. 若点$P$在$AB$上,则以$MN$为直径的圆与直线$AB$的位置关系是（
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A
）A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
如图,连接$PC$交$MN$于点$D$,取$MN$的中点$O$,连接$OP$.$\because AC\ne BC$,$\therefore$ 点$O$不与点$D$重合.由折叠可知,$∠ MPN=∠ ACB=90°$,$CP⊥ MN$.$\therefore PD＜PO$,点$O$为以$MN$为直径的圆的圆心,$OP$为圆的半径.过点$O$作$OQ⊥ AB$于点$Q$.$\because MN// AB$,$\therefore DP⊥ AB$.$\therefore OQ=PD$.
$\therefore OQ＜PO$,即圆心$O$到直线$AB$的距离小于$\odot O$的半径.$\therefore$ 以$MN$为直径的圆与直线$AB$相交.
$\therefore OQ＜PO$,即圆心$O$到直线$AB$的距离小于$\odot O$的半径.$\therefore$ 以$MN$为直径的圆与直线$AB$相交.
解析
【分析】
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，核心思路是对比圆心到直线AB的距离和圆半径的大小关系：若距离小于半径则相交，等于半径则相切，大于半径则相离。首先从折叠性质入手，折叠后对应点连线被折痕垂直平分，且对应角相等，可得MN⊥CP，∠MPN=∠C=90°；接着取MN中点O，O就是待判断圆的圆心，利用直角三角形斜边中线性质可知OP就是圆的半径；再结合MN//AB，推出CP⊥AB，将圆心O到AB的距离转化为平行线间的距离PD；最后根据AC≠BC得到点O和点D不重合，即可推出PD＜OP，也就是圆心到AB的距离小于半径，最终得到位置关系。
【解析】
解：连接PC交MN于点D，取MN的中点O，连接OP。
1. 由折叠的性质可知：△MNP≌△MNC，因此∠MPN=∠C=90°，且MN垂直平分CP，即PD⊥MN。
2. 因为O是MN的中点，在Rt△MPN中，根据直角三角形斜边中线定理，可得$OP=OM=ON=\frac{1}{2}MN$，即OP就是以MN为直径的⊙O的半径。
3. 过点O作OQ⊥AB于点Q，已知MN//AB，结合PD⊥MN，可得PD⊥AB，因此PD的长度就是平行线MN与AB之间的距离，由平行线间距离处处相等得$OQ=PD$。
4. 由题设$AC≠BC$，可知点O与点D不重合，因此垂线段PD＜OP。
5. 因此$OQ＜OP$，即圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，因此以MN为直径的圆与直线AB相交。
【答案】A
【知识点】直线与圆位置关系，折叠性质，直角三角形斜边中线
【点评】本题没有直接给出距离和半径的数值，需要通过几何性质完成两者大小的转化，容易误凭直观印象认为相切，重点考察了几何等量转化的逻辑思维能力，需要熟练掌握直线和圆位置关系的判定核心。
【难度系数】0.4
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，核心思路是对比圆心到直线AB的距离和圆半径的大小关系：若距离小于半径则相交，等于半径则相切，大于半径则相离。首先从折叠性质入手，折叠后对应点连线被折痕垂直平分，且对应角相等，可得MN⊥CP，∠MPN=∠C=90°；接着取MN中点O，O就是待判断圆的圆心，利用直角三角形斜边中线性质可知OP就是圆的半径；再结合MN//AB，推出CP⊥AB，将圆心O到AB的距离转化为平行线间的距离PD；最后根据AC≠BC得到点O和点D不重合，即可推出PD＜OP，也就是圆心到AB的距离小于半径，最终得到位置关系。
【解析】
解：连接PC交MN于点D，取MN的中点O，连接OP。
1. 由折叠的性质可知：△MNP≌△MNC，因此∠MPN=∠C=90°，且MN垂直平分CP，即PD⊥MN。
2. 因为O是MN的中点，在Rt△MPN中，根据直角三角形斜边中线定理，可得$OP=OM=ON=\frac{1}{2}MN$，即OP就是以MN为直径的⊙O的半径。
3. 过点O作OQ⊥AB于点Q，已知MN//AB，结合PD⊥MN，可得PD⊥AB，因此PD的长度就是平行线MN与AB之间的距离，由平行线间距离处处相等得$OQ=PD$。
4. 由题设$AC≠BC$，可知点O与点D不重合，因此垂线段PD＜OP。
5. 因此$OQ＜OP$，即圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，因此以MN为直径的圆与直线AB相交。
【答案】A
【知识点】直线与圆位置关系，折叠性质，直角三角形斜边中线
【点评】本题没有直接给出距离和半径的数值，需要通过几何性质完成两者大小的转化，容易误凭直观印象认为相切，重点考察了几何等量转化的逻辑思维能力，需要熟练掌握直线和圆位置关系的判定核心。
【难度系数】0.4
7. 教材变式题 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$AB=4$,$BC=7$,点$D$在边$BC$上,且$BD=3$,连接$AD$.以点$D$为圆心、$r$为半径画圆,若点$A$,$B$,$C$中只有$1$个点在圆内,则$r$的值可能为（
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
B
）A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ B=90°$,$AB=4$,$BD=3$,$\therefore AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. $\because BC=7$,$BD=3$,
$\therefore CD=BC-BD=7-3=4$.$\because$ 以点$D$为圆心、$r$为半径画圆,点$A$,$B$,$C$中只有1个点在圆内,$\therefore BD＜r\le CD$,即$r$的取值范围是$3＜r\le4$.
$\therefore CD=BC-BD=7-3=4$.$\because$ 以点$D$为圆心、$r$为半径画圆,点$A$,$B$,$C$中只有1个点在圆内,$\therefore BD＜r\le CD$,即$r$的取值范围是$3＜r\le4$.
解析
【分析】
解题思路：首先明确点在圆内的判定规则：点到圆心的距离小于半径r时，该点就在圆内。题目要求A、B、C三个点中只有1个点在以D为圆心的圆内，第一步我们先分别计算三个点到圆心D的距离：点B到D的距离题目直接给出BD=3；点C到D的距离用BC的长度减去BD即可算出CD；点A到D的距离在Rt△ABD中用勾股定理计算AD。之后把三个距离从小到大排序，要满足只有1个点的距离小于r，就能得到r的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：1. 计算各点到圆心D的距离：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90^{ \circ }$，$AB=4$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
已知$BC=7$，$BD=3$，因此$CD=BC-BD=7-3=4$
即三个点到D的距离分别为：$BD=3$，$CD=4$，$AD=5$，排序得$3＜4＜5$。
2. 根据点和圆的位置关系推导r的范围：
若要A、B、C中只有1个点在圆内，仅能让距离最小的点B满足$BD＜r$，其余两点到D的距离都≥r，也就是：
$BD＜r \le CD$，即r的取值范围是$3＜r\le4$。
3. 对照选项验证：
A选项$r=3$，此时$BD=3=r$，点B在圆上，没有点在圆内，不符合要求；
B选项$r=4$，满足$3＜4\le4$，此时仅点B在圆内，点C在圆上，点A在圆外，符合要求；
C选项$r=5$，此时$BD=3＜5$，$CD=4＜5$，点B、C都在圆内，不符合要求；
D选项$r=6$，此时$BD=3＜6$，$CD=4＜6$，$AD=5＜6$，三个点都在圆内，不符合要求。
因此选择B选项。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出所有待判断点到圆心的距离，再根据圆内点的数量要求推导半径的取值范围，解题时需要注意区分点在圆内、圆上的边界条件，避免对r的取值边界判断出错。
【难度系数】0.6
解题思路：首先明确点在圆内的判定规则：点到圆心的距离小于半径r时，该点就在圆内。题目要求A、B、C三个点中只有1个点在以D为圆心的圆内，第一步我们先分别计算三个点到圆心D的距离：点B到D的距离题目直接给出BD=3；点C到D的距离用BC的长度减去BD即可算出CD；点A到D的距离在Rt△ABD中用勾股定理计算AD。之后把三个距离从小到大排序，要满足只有1个点的距离小于r，就能得到r的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：1. 计算各点到圆心D的距离：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90^{ \circ }$，$AB=4$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
已知$BC=7$，$BD=3$，因此$CD=BC-BD=7-3=4$
即三个点到D的距离分别为：$BD=3$，$CD=4$，$AD=5$，排序得$3＜4＜5$。
2. 根据点和圆的位置关系推导r的范围：
若要A、B、C中只有1个点在圆内，仅能让距离最小的点B满足$BD＜r$，其余两点到D的距离都≥r，也就是：
$BD＜r \le CD$，即r的取值范围是$3＜r\le4$。
3. 对照选项验证：
A选项$r=3$，此时$BD=3=r$，点B在圆上，没有点在圆内，不符合要求；
B选项$r=4$，满足$3＜4\le4$，此时仅点B在圆内，点C在圆上，点A在圆外，符合要求；
C选项$r=5$，此时$BD=3＜5$，$CD=4＜5$，点B、C都在圆内，不符合要求；
D选项$r=6$，此时$BD=3＜6$，$CD=4＜6$，$AD=5＜6$，三个点都在圆内，不符合要求。
因此选择B选项。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出所有待判断点到圆心的距离，再根据圆内点的数量要求推导半径的取值范围，解题时需要注意区分点在圆内、圆上的边界条件，避免对r的取值边界判断出错。
【难度系数】0.6
8. 在平面直角坐标系中,以点$A(0,3)$为圆心、3 为半径作$\odot A$,则直线$y=kx+2(k≠0)$与$\odot A$的位置关系是
相交
（填“相切”“相交”或“相离”）.答案
设直线$y=kx+2(k\ne0)$与$y$轴交于点$B$,则点$B$的坐标是$(0,2)$.$\because$ 点$A(0,3)$,$\therefore AB=3-2=1$.$\because k\ne0$,即直线与$x$轴不平行,$\therefore$ 易知圆心$A$到直线的距离一定小于1.$\because \odot A$的半径为3,$\therefore$ 直线与$\odot A$一定相交.
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心思路是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。首先观察给定直线的特征，发现y=kx+2无论k取何值，x=0时y恒为2，说明该直线恒过定点(0,2)，再结合已知的圆心坐标，通过点到直线距离公式推导d的取值范围，和半径3对比大小即可得到结论。
【解析】
1. 确定直线恒过定点
对于直线$y=kx+2(k\ne0)$，令$x=0$，解得$y=2$，因此该直线恒过定点$B(0,2)$。
2. 用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离
将直线整理为一般式：$kx - y + 2 = 0$，已知圆心$A(0,3)$，代入点到直线距离公式：
$d=\frac{|k·0 - 3 + 2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$
因为$k\ne0$，所以$k^2＞0$，可得$\sqrt{k^2+1}＞1$，因此$d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}＜1$。
3. 对比距离和半径大小
已知$\odot A$的半径$r=3$，显然$d＜1＜3$，即$d＜r$，因此直线与$\odot A$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆位置关系；点到直线距离；直线过定点
【点评】
本题无需复杂运算，既可以直接通过距离公式化简得到距离的取值范围，也可以利用直线恒过定点的性质，结合定点在圆内的特点快速判断，是直线与圆位置关系判定中利用定点简化运算的典型题型，注意不要忽略k≠0的条件对距离取值范围的约束。
【难度系数】
0.6
要判断直线和圆的位置关系，核心思路是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。首先观察给定直线的特征，发现y=kx+2无论k取何值，x=0时y恒为2，说明该直线恒过定点(0,2)，再结合已知的圆心坐标，通过点到直线距离公式推导d的取值范围，和半径3对比大小即可得到结论。
【解析】
1. 确定直线恒过定点
对于直线$y=kx+2(k\ne0)$，令$x=0$，解得$y=2$，因此该直线恒过定点$B(0,2)$。
2. 用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离
将直线整理为一般式：$kx - y + 2 = 0$，已知圆心$A(0,3)$，代入点到直线距离公式：
$d=\frac{|k·0 - 3 + 2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$
因为$k\ne0$，所以$k^2＞0$，可得$\sqrt{k^2+1}＞1$，因此$d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}＜1$。
3. 对比距离和半径大小
已知$\odot A$的半径$r=3$，显然$d＜1＜3$，即$d＜r$，因此直线与$\odot A$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆位置关系；点到直线距离；直线过定点
【点评】
本题无需复杂运算，既可以直接通过距离公式化简得到距离的取值范围，也可以利用直线恒过定点的性质，结合定点在圆内的特点快速判断，是直线与圆位置关系判定中利用定点简化运算的典型题型，注意不要忽略k≠0的条件对距离取值范围的约束。
【难度系数】
0.6
