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3. 杨梅是某市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘。已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园六月第一周一共销售了1 000千克，销售收入12 000元。
(1)该杨梅园六月第一周在市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
(2)为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区的销售价格均以相同的折扣进行销售，小方发现用3 240元在市区购买的杨梅质量比用2 430元在园区购买的质量少30千克，求本次活动对市区和园区的杨梅进行几折销售。
(3)在(2)的促销条件下，该杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价与第一周市区和园区的平均售价相等。若第二周杨梅在市区的销量为$a$千克，园区的销量为$b$千克，请直接写出$a$与$b$的数量关系。
(1)该杨梅园六月第一周在市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
(2)为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区的销售价格均以相同的折扣进行销售，小方发现用3 240元在市区购买的杨梅质量比用2 430元在园区购买的质量少30千克，求本次活动对市区和园区的杨梅进行几折销售。
(3)在(2)的促销条件下，该杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价与第一周市区和园区的平均售价相等。若第二周杨梅在市区的销量为$a$千克，园区的销量为$b$千克，请直接写出$a$与$b$的数量关系。
答案
(1)解:设该杨梅园六月第一周在市区销售了x千克杨梅,在园区销售了y千克杨梅。由题意,得$\begin{cases}x + y = 1000,\\15x + 10y = 12000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 400,\\y = 600。\end{cases}$答:该杨梅园六月第一周在市区销售了400千克杨梅,在园区销售了600千克杨梅。
(2)解:设本次活动对市区和园区的杨梅进行m折销售。由题意,得$\frac{2430}{10×\frac{m}{10}}-\frac{3240}{15×\frac{m}{10}}=30$,解得m=9。经检验,m=9是分式方程的解,且符合题意。答:本次活动对市区和园区的杨梅进行9折销售。
(3)解:a=2b。【解析】由题意,得$\frac{15×0.9a + 10×0.9b}{a + b}=\frac{12000}{1000}$,所以a=2b。
(2)解:设本次活动对市区和园区的杨梅进行m折销售。由题意,得$\frac{2430}{10×\frac{m}{10}}-\frac{3240}{15×\frac{m}{10}}=30$,解得m=9。经检验,m=9是分式方程的解,且符合题意。答:本次活动对市区和园区的杨梅进行9折销售。
(3)解:a=2b。【解析】由题意,得$\frac{15×0.9a + 10×0.9b}{a + b}=\frac{12000}{1000}$,所以a=2b。
解析
【分析】
本题分三小问逐步考查方程的实际应用：第(1)问需根据总销量和总收入两个等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解；第(2)问利用“相同折扣下，不同金额购买的杨梅质量差”列分式方程，注意折扣的计算和方程解的检验；第(3)问先算出第一周平均售价，再根据第二周折扣后的价格和平均售价相等的条件，推导a与b的数量关系。
【解析】
(1)设该杨梅园六月第一周在市区销售了$x$千克杨梅，在园区销售了$y$千克杨梅。
根据题意，得$\begin{cases} x + y = 1000 \\ 15x + 10y = 12000 \end{cases}$
解方程组：由$x + y = 1000$得$y = 1000 - x$，代入$15x + 10y = 12000$，
得$15x + 10(1000 - x) = 12000$，化简得$5x = 2000$，解得$x = 400$，则$y = 600$。
(2)设本次活动对市区和园区的杨梅进行$m$折销售。
市区折扣后单价为$15×\frac{m}{10}$元/千克，园区折扣后单价为$10×\frac{m}{10}$元/千克。
根据“用3240元在市区购买的杨梅质量比2430元在园区少30千克”，得：
$\frac{2430}{10×\frac{m}{10}} - \frac{3240}{15×\frac{m}{10}} = 30$
化简得$\frac{270}{m} = 30$，解得$m = 9$。
经检验，$m=9$是原分式方程的解，且符合题意。
(3)第一周平均售价为$\frac{12000}{1000}=12$元/千克，第二周市区单价为$15×0.9=13.5$元/千克，园区单价为$10×0.9=9$元/千克。
根据平均售价相等，得$\frac{13.5a + 9b}{a + b}=12$，化简得$1.5a=3b$，即$a=2b$。
【答案】
(1)市区销售400千克，园区销售600千克；
(2)9折；
(3)$a=2b$
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，平均售价计算
【点评】
本题为销售类实际应用问题，分层次考查方程的应用能力，需注意折扣的计算规则和分式方程解的检验，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
本题分三小问逐步考查方程的实际应用：第(1)问需根据总销量和总收入两个等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解；第(2)问利用“相同折扣下，不同金额购买的杨梅质量差”列分式方程，注意折扣的计算和方程解的检验；第(3)问先算出第一周平均售价，再根据第二周折扣后的价格和平均售价相等的条件，推导a与b的数量关系。
【解析】
(1)设该杨梅园六月第一周在市区销售了$x$千克杨梅，在园区销售了$y$千克杨梅。
根据题意，得$\begin{cases} x + y = 1000 \\ 15x + 10y = 12000 \end{cases}$
解方程组：由$x + y = 1000$得$y = 1000 - x$，代入$15x + 10y = 12000$，
得$15x + 10(1000 - x) = 12000$，化简得$5x = 2000$，解得$x = 400$，则$y = 600$。
(2)设本次活动对市区和园区的杨梅进行$m$折销售。
市区折扣后单价为$15×\frac{m}{10}$元/千克，园区折扣后单价为$10×\frac{m}{10}$元/千克。
根据“用3240元在市区购买的杨梅质量比2430元在园区少30千克”，得：
$\frac{2430}{10×\frac{m}{10}} - \frac{3240}{15×\frac{m}{10}} = 30$
化简得$\frac{270}{m} = 30$，解得$m = 9$。
经检验，$m=9$是原分式方程的解，且符合题意。
(3)第一周平均售价为$\frac{12000}{1000}=12$元/千克，第二周市区单价为$15×0.9=13.5$元/千克，园区单价为$10×0.9=9$元/千克。
根据平均售价相等，得$\frac{13.5a + 9b}{a + b}=12$，化简得$1.5a=3b$，即$a=2b$。
【答案】
(1)市区销售400千克，园区销售600千克；
(2)9折；
(3)$a=2b$
【知识点】
二元一次方程组应用，分式方程应用，平均售价计算
【点评】
本题为销售类实际应用问题，分层次考查方程的应用能力，需注意折扣的计算规则和分式方程解的检验，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
4. (2025·杭州市钱塘区期末)方案设计 某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物。已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元,购进4只机器狗和1台无人机需58万元。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25 kg,运送400 kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150 kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案。并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25 kg,运送400 kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150 kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案。并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
答案
(1)解:设机器狗的采购单价为x万元/只,无人机的采购单价为y万元/台。由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 54,\\4x + y = 58,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 12,\\y = 10。\end{cases}$答:机器狗的采购单价为12万元/只,无人机的采购单价为10万元/台。
(2)解:设机器狗的单次最高载货量为m kg,则无人机的单次最高载货量为(m-25)kg。由题意,得$\frac{400}{m}=\frac{150}{m - 25}$,解得m=40。经检验,m=40是原方程的解,且符合题意,所以m-25=15。答:机器狗的单次最高载货量为40 kg,无人机的单次最高载货量为15 kg。
(3)解:设购买a只机器狗,购买b台无人机。由题意,得12a+10b=160,所以b=16-$\frac{6}{5}$a。因为a,b都是正整数,所以当a=5时,b=10;当a=10时,b=4,所以共有两种采购方案:方案一:购买5只机器狗,10台无人机,单次最高载货量为5×40+10×15=350(kg);方案二:购买10只机器狗,4台无人机,单次最高载货量为10×40+4×15=460(kg)。因为350＜460,所以方案二的单次载货总量最高。答:共有两种采购方案:方案一:购买5只机器狗,10台无人机;方案二:购买10只机器狗,4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
(2)解:设机器狗的单次最高载货量为m kg,则无人机的单次最高载货量为(m-25)kg。由题意,得$\frac{400}{m}=\frac{150}{m - 25}$,解得m=40。经检验,m=40是原方程的解,且符合题意,所以m-25=15。答:机器狗的单次最高载货量为40 kg,无人机的单次最高载货量为15 kg。
(3)解:设购买a只机器狗,购买b台无人机。由题意,得12a+10b=160,所以b=16-$\frac{6}{5}$a。因为a,b都是正整数,所以当a=5时,b=10;当a=10时,b=4,所以共有两种采购方案:方案一:购买5只机器狗,10台无人机,单次最高载货量为5×40+10×15=350(kg);方案二:购买10只机器狗,4台无人机,单次最高载货量为10×40+4×15=460(kg)。因为350＜460,所以方案二的单次载货总量最高。答:共有两种采购方案:方案一:购买5只机器狗,10台无人机;方案二:购买10只机器狗,4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
解析
【分析】
第(1)问：要确定机器狗和无人机的采购单价，需设两个未知数，根据题目给出的两个采购总价条件，建立二元一次方程组，求解即可得到单价；第(2)问：已知两者单次载货量的差值，设机器狗的单次载货量为未知数，根据“运送固定重量货物所需的设备数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解并检验（分式方程需验根），进而得到两者的载货量；第(3)问：设采购机器狗和无人机的数量，根据总资金恰好用完建立二元一次方程，结合“两种设备均要采购”的条件，找出方程的正整数解，得到所有采购方案，再分别计算各方案的单次载货总量，比较后得出最高的方案。
【解析】
(1)解：设机器狗的采购单价为$x$万元/只，无人机的采购单价为$y$万元/台。
根据题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\4x + y = 58 \end{cases}$
解这个方程组，由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$
$2x + 174 - 12x = 54$
$-10x = -120$，解得$x = 12$
则$y = 58 - 4×12 = 10$
答：机器狗的采购单价为12万元/只，无人机的采购单价为10万元/台。
(2)解：设机器狗的单次最高载货量为$m$kg，则无人机的单次最高载货量为$(m - 25)$kg。
根据“运送400kg货物所需的机器狗数量与运送150kg货物所需的无人机数量相同”，得$\frac{400}{m} = \frac{150}{m - 25}$
交叉相乘得：$400(m - 25) = 150m$
$400m - 10000 = 150m$
$250m = 10000$，解得$m = 40$
经检验，$m = 40$是原分式方程的解，且符合题意。
则无人机的单次载货量为$40 - 25 = 15$kg。
答：机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)解：设购买$a$只机器狗，购买$b$台无人机。
根据总资金恰好用完，得$12a + 10b = 160$，整理得$b = 16 - \frac{6}{5}a$。
因为$a$、$b$均为正整数（两种设备均要采购，故$a＞0$，$b＞0$），所以$a$必须是5的倍数：
当$a = 5$时，$b = 16 - \frac{6}{5}×5 = 10$；
当$a = 10$时，$b = 16 - \frac{6}{5}×10 = 4$；
当$a = 15$时，$b = 16 - 18 = -2$，不符合正整数要求，舍去。
故共有两种采购方案：
方案一：购买5只机器狗，10台无人机，单次最高载货量为$5×40 + 10×15 = 350$kg；
方案二：购买10只机器狗，4台无人机，单次最高载货量为$10×40 + 4×15 = 460$kg。
因为$350 ＜ 460$，所以方案二的单次载货总量最高。
答：共有两种采购方案：方案一：购买5只机器狗，10台无人机；方案二：购买10只机器狗，4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
【答案】
(1)机器狗的采购单价为12万元/只，无人机的采购单价为10万元/台；
(2)机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；
(3)共有两种采购方案：方案一：购买5只机器狗，10台无人机；方案二：购买10只机器狗，4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分式方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题是方案设计类应用题，综合考查了方程（组）的实际应用，需要学生准确提取题目中的等量关系，注意分式方程的验根步骤，以及正整数解的限制条件，培养学生的逻辑分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要确定机器狗和无人机的采购单价，需设两个未知数，根据题目给出的两个采购总价条件，建立二元一次方程组，求解即可得到单价；第(2)问：已知两者单次载货量的差值，设机器狗的单次载货量为未知数，根据“运送固定重量货物所需的设备数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解并检验（分式方程需验根），进而得到两者的载货量；第(3)问：设采购机器狗和无人机的数量，根据总资金恰好用完建立二元一次方程，结合“两种设备均要采购”的条件，找出方程的正整数解，得到所有采购方案，再分别计算各方案的单次载货总量，比较后得出最高的方案。
【解析】
(1)解：设机器狗的采购单价为$x$万元/只，无人机的采购单价为$y$万元/台。
根据题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\4x + y = 58 \end{cases}$
解这个方程组，由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$
$2x + 174 - 12x = 54$
$-10x = -120$，解得$x = 12$
则$y = 58 - 4×12 = 10$
答：机器狗的采购单价为12万元/只，无人机的采购单价为10万元/台。
(2)解：设机器狗的单次最高载货量为$m$kg，则无人机的单次最高载货量为$(m - 25)$kg。
根据“运送400kg货物所需的机器狗数量与运送150kg货物所需的无人机数量相同”，得$\frac{400}{m} = \frac{150}{m - 25}$
交叉相乘得：$400(m - 25) = 150m$
$400m - 10000 = 150m$
$250m = 10000$，解得$m = 40$
经检验，$m = 40$是原分式方程的解，且符合题意。
则无人机的单次载货量为$40 - 25 = 15$kg。
答：机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)解：设购买$a$只机器狗，购买$b$台无人机。
根据总资金恰好用完，得$12a + 10b = 160$，整理得$b = 16 - \frac{6}{5}a$。
因为$a$、$b$均为正整数（两种设备均要采购，故$a＞0$，$b＞0$），所以$a$必须是5的倍数：
当$a = 5$时，$b = 16 - \frac{6}{5}×5 = 10$；
当$a = 10$时，$b = 16 - \frac{6}{5}×10 = 4$；
当$a = 15$时，$b = 16 - 18 = -2$，不符合正整数要求，舍去。
故共有两种采购方案：
方案一：购买5只机器狗，10台无人机，单次最高载货量为$5×40 + 10×15 = 350$kg；
方案二：购买10只机器狗，4台无人机，单次最高载货量为$10×40 + 4×15 = 460$kg。
因为$350 ＜ 460$，所以方案二的单次载货总量最高。
答：共有两种采购方案：方案一：购买5只机器狗，10台无人机；方案二：购买10只机器狗，4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
【答案】
(1)机器狗的采购单价为12万元/只，无人机的采购单价为10万元/台；
(2)机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；
(3)共有两种采购方案：方案一：购买5只机器狗，10台无人机；方案二：购买10只机器狗，4台无人机。方案二的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分式方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题是方案设计类应用题，综合考查了方程（组）的实际应用，需要学生准确提取题目中的等量关系，注意分式方程的验根步骤，以及正整数解的限制条件，培养学生的逻辑分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
