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5.方案设计一直以来汽油的价格总是波动调整,因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高,低碳绿色的出行方式受到肯定,加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持,今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势。某汽车销售公司为提升业绩,计划购进一批新能源汽车进行销售,据了解2辆A型汽车,3辆B型汽车的进价共计95万元;3辆A型汽车,2辆B型汽车的进价共计105万元。
(1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油,且两次汽油单价不同,现有两种加油方式:①每次所加的油量固定;②每次加油的付款额固定。若平均单价越低,则该加油方式越划算,不考虑其他因素影响,则
A.按方式①加油更划算
B.按方式②加油更划算
C.两种加油方式一样划算
D.无法比较哪种加油方式更划算
(2)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元。
(3)若该公司计划用正好250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买),请你通过计算写出所有购买方案。
(1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油,且两次汽油单价不同,现有两种加油方式:①每次所加的油量固定;②每次加油的付款额固定。若平均单价越低,则该加油方式越划算,不考虑其他因素影响,则
B
。A.按方式①加油更划算
B.按方式②加油更划算
C.两种加油方式一样划算
D.无法比较哪种加油方式更划算
(2)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元。
(3)若该公司计划用正好250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买),请你通过计算写出所有购买方案。
答案
(1)B 【解析】设两次汽油单价分别为a元,b元(a≠b),记方式①中每次所加的油量固定为A升,方式②中每次加油的付款额固定为B元,则方式①中的平均单价m=$\frac{A(a + b)}{2A}=\frac{a + b}{2}$元,方式②中的平均单价n=2B÷($\frac{B}{a}+\frac{B}{b}$)=$\frac{2ab}{a + b}$元,所以$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$。当a≠b时,$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$,则$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}＞0$,即m＞n,所以方式②的平均单价更低,更划算。
(2)解:设A型汽车每辆进价为x万元,B型汽车每辆进价为y万元。由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 95,\\3x + 2y = 105,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 15。\end{cases}$答:A型汽车每辆进价为25万元,B型汽车每辆进价为15万元。
(3)解:设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆。由题意,得25m+15n=250,整理,得m=10-$\frac{3}{5}$n。因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases}m = 1,\\n = 15,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 4,\\n = 10,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 7,\\n = 5。\end{cases}$所以共有三种购买方案:①购进A型汽车1辆,B型汽车15辆;②购进A型汽车4辆,B型汽车10辆;③购进A型汽车7辆,B型汽车5辆。
(2)解:设A型汽车每辆进价为x万元,B型汽车每辆进价为y万元。由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 95,\\3x + 2y = 105,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 15。\end{cases}$答:A型汽车每辆进价为25万元,B型汽车每辆进价为15万元。
(3)解:设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆。由题意,得25m+15n=250,整理,得m=10-$\frac{3}{5}$n。因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases}m = 1,\\n = 15,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 4,\\n = 10,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 7,\\n = 5。\end{cases}$所以共有三种购买方案:①购进A型汽车1辆,B型汽车15辆;②购进A型汽车4辆,B型汽车10辆;③购进A型汽车7辆,B型汽车5辆。
解析
【分析】
本题分为三个小问：第(1)问需设未知数表示两种加油方式的平均单价，通过作差法比较大小判断哪种更划算；第(2)问是二元一次方程组的应用，根据两种车型的进价关系列方程组求解；第(3)问为不定方程的正整数解问题，结合两种车型均购买的条件，筛选符合要求的解得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设两次汽油单价分别为$a$元/升、$b$元/升（$a≠b$），方式①每次加油量为$A$升，方式②每次加油付款额为$B$元。
方式①的平均单价$m=\frac{A(a+b)}{2A}=\frac{a+b}{2}$；
方式②的平均单价$n=\frac{2B}{\frac{B}{a}+\frac{B}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$；
计算差值：$m-n=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$，因$a≠b$，故$(a-b)^2＞0$，且单价为正数，分母$2(a+b)＞0$，则$m-n＞0$，即$m＞n$，方式②更划算，选B。
(2) 设A型汽车每辆进价为$x$万元，B型汽车每辆进价为$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 95 \\3x + 2y = 105 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25 \\y=15 \end{cases}$，即A型进价25万元，B型进价15万元。
(3) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆（$m,n$为正整数），根据总进价得：
$25m +15n=250$，整理为$5m +3n=50$，即$m=10-\frac{3}{5}n$。
因$m$为正整数，故$\frac{3}{5}n$为整数，即$n$是5的倍数，结合$m＞0$、$n＞0$，得：
当$n=5$时，$m=7$；当$n=10$时，$m=4$；当$n=15$时，$m=1$；$n≥20$时$m＜0$，不符合。
故购买方案有三种：①购进A型1辆、B型15辆；②购进A型4辆、B型10辆；③购进A型7辆、B型5辆。
【答案】
(1)B；(2)A型汽车每辆进价25万元，B型汽车每辆进价15万元；(3)共有三种购买方案：①购进A型1辆、B型15辆；②购进A型4辆、B型10辆；③购进A型7辆、B型5辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用、平均单价的计算、不定方程的正整数解
【点评】
本题以新能源汽车销售和加油方式为背景，综合考查代数运算、方程建模与实际应用能力，第(1)问的作差法比较体现了代数变形的核心，第(3)问需结合正整数条件筛选解，贴近生活，能有效检验学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问：第(1)问需设未知数表示两种加油方式的平均单价，通过作差法比较大小判断哪种更划算；第(2)问是二元一次方程组的应用，根据两种车型的进价关系列方程组求解；第(3)问为不定方程的正整数解问题，结合两种车型均购买的条件，筛选符合要求的解得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设两次汽油单价分别为$a$元/升、$b$元/升（$a≠b$），方式①每次加油量为$A$升，方式②每次加油付款额为$B$元。
方式①的平均单价$m=\frac{A(a+b)}{2A}=\frac{a+b}{2}$；
方式②的平均单价$n=\frac{2B}{\frac{B}{a}+\frac{B}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$；
计算差值：$m-n=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$，因$a≠b$，故$(a-b)^2＞0$，且单价为正数，分母$2(a+b)＞0$，则$m-n＞0$，即$m＞n$，方式②更划算，选B。
(2) 设A型汽车每辆进价为$x$万元，B型汽车每辆进价为$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 95 \\3x + 2y = 105 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25 \\y=15 \end{cases}$，即A型进价25万元，B型进价15万元。
(3) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆（$m,n$为正整数），根据总进价得：
$25m +15n=250$，整理为$5m +3n=50$，即$m=10-\frac{3}{5}n$。
因$m$为正整数，故$\frac{3}{5}n$为整数，即$n$是5的倍数，结合$m＞0$、$n＞0$，得：
当$n=5$时，$m=7$；当$n=10$时，$m=4$；当$n=15$时，$m=1$；$n≥20$时$m＜0$，不符合。
故购买方案有三种：①购进A型1辆、B型15辆；②购进A型4辆、B型10辆；③购进A型7辆、B型5辆。
【答案】
(1)B；(2)A型汽车每辆进价25万元，B型汽车每辆进价15万元；(3)共有三种购买方案：①购进A型1辆、B型15辆；②购进A型4辆、B型10辆；③购进A型7辆、B型5辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用、平均单价的计算、不定方程的正整数解
【点评】
本题以新能源汽车销售和加油方式为背景，综合考查代数运算、方程建模与实际应用能力，第(1)问的作差法比较体现了代数变形的核心，第(3)问需结合正整数条件筛选解，贴近生活，能有效检验学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
