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10. 一个长方体的长、宽、高均为大于1的整厘米数。已知前面的面的面积是78 $\mathrm{cm}^2$,下底面的面积是65 $\mathrm{cm}^2$。这个长方体的体积是( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$。
答案
10. $\boldsymbol{390}$
【解析】前面的面的面积=长×高=78 $\mathrm{cm}^2$,下底面的面积=长×宽=65 $\mathrm{cm}^2$,78和65的公因数有1和13,长方体的长是大于1的整厘米数,故是13 cm,高是78÷13=6(cm),宽是65÷13=5(cm),这个长方体的体积是13×5×6=390($\mathrm{cm}^3$)。
【解析】前面的面的面积=长×高=78 $\mathrm{cm}^2$,下底面的面积=长×宽=65 $\mathrm{cm}^2$,78和65的公因数有1和13,长方体的长是大于1的整厘米数,故是13 cm,高是78÷13=6(cm),宽是65÷13=5(cm),这个长方体的体积是13×5×6=390($\mathrm{cm}^3$)。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确长方体前面和下底面的面积公式：前面的面面积=长×高，下底面的面积=长×宽，因此长是这两个面积的公共因数。接下来需找出78和65的公因数，结合长大于1的条件确定长，再通过长分别计算宽和高，最后利用长方体体积公式求出体积。
【解析】
1. 确定长：根据长方体面的面积公式，前面面积=长×高=78 $\mathrm{cm}^2$，下底面面积=长×宽=65 $\mathrm{cm}^2$，可知长是78和65的公因数。78的因数有1、2、3、6、13、26、39、78，65的因数有1、5、13、65，两者的公因数为1和13。因长大于1，故长=13 cm。
2. 计算宽和高：高=78÷13=6 cm，宽=65÷13=5 cm。
3. 计算体积：长方体体积=长×宽×高=13×5×6=390 $\mathrm{cm}^3$。
【答案】
390
【知识点】
长方体面积计算、长方体体积计算、公因数
【点评】
本题结合长方体不同面的面积特征，考查了公因数的应用和长方体体积公式的计算，需要学生理解面的面积与长宽高的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先明确长方体前面和下底面的面积公式：前面的面面积=长×高，下底面的面积=长×宽，因此长是这两个面积的公共因数。接下来需找出78和65的公因数，结合长大于1的条件确定长，再通过长分别计算宽和高，最后利用长方体体积公式求出体积。
【解析】
1. 确定长：根据长方体面的面积公式，前面面积=长×高=78 $\mathrm{cm}^2$，下底面面积=长×宽=65 $\mathrm{cm}^2$，可知长是78和65的公因数。78的因数有1、2、3、6、13、26、39、78，65的因数有1、5、13、65，两者的公因数为1和13。因长大于1，故长=13 cm。
2. 计算宽和高：高=78÷13=6 cm，宽=65÷13=5 cm。
3. 计算体积：长方体体积=长×宽×高=13×5×6=390 $\mathrm{cm}^3$。
【答案】
390
【知识点】
长方体面积计算、长方体体积计算、公因数
【点评】
本题结合长方体不同面的面积特征，考查了公因数的应用和长方体体积公式的计算，需要学生理解面的面积与长宽高的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
二、判断题。(对的画“√”,错的画“×”)(每小题1分,共5分)
1. 一个正方形的边长是自然数,那么它的周长一定是一个合数。 (
2. 把3 m的绳子平均分成7段,每段占全长的$\frac{3}{7}$。 (
3. 分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 (
4. 小红最近4次体育测试成绩变化情况最适合用复式折线统计图表示。 (
5. 如下图,把甲图形变成乙图形,它的体积不变,表面积变小。 (
1. 一个正方形的边长是自然数,那么它的周长一定是一个合数。 (
$\boldsymbol{\surd}$
)2. 把3 m的绳子平均分成7段,每段占全长的$\frac{3}{7}$。 (
$\boldsymbol{×}$
)3. 分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 (
$\boldsymbol{\surd}$
)4. 小红最近4次体育测试成绩变化情况最适合用复式折线统计图表示。 (
$\boldsymbol{×}$
)5. 如下图,把甲图形变成乙图形,它的体积不变,表面积变小。 (
$\boldsymbol{\surd}$
)答案
1. $\boldsymbol{\surd}$ 2. $\boldsymbol{×}$ 3. $\boldsymbol{\surd}$ 4. $\boldsymbol{×}$ 5. $\boldsymbol{\surd}$
【解析】把甲图形变成乙图形,小正方体的个数没有改变,所以体积不变;甲图形的表面有6×2+3×2+3×2=24(个)小正方形,乙图形的表面有6×2+3×2+2×2=22(个)小正方形,22＜24,所以表面积变小。
【解析】把甲图形变成乙图形,小正方体的个数没有改变,所以体积不变;甲图形的表面有6×2+3×2+3×2=24(个)小正方形,乙图形的表面有6×2+3×2+2×2=22(个)小正方形,22＜24,所以表面积变小。
解析
【分析】
本题为五道判断题，需结合各知识点的概念、性质逐一分析判断：
1. 依据正方形周长公式和合数定义判断；
2. 区分分数的分率与具体长度，结合分数意义判断；
3. 依据分数的基本性质判断；
4. 明确单式与复式折线统计图的适用场景；
5. 从立体图形的小正方体个数（体积）和外露面数量（表面积）变化分析。
【解析】
1. 正方形周长=边长×4，边长为自然数（≥1）时，周长最小为4，4是合数，故说法正确；
2. 把3m绳子平均分成7段，每段占全长的$\frac{1}{7}$，每段长度是$\frac{3}{7}$m，分率不是$\frac{3}{7}$，故说法错误；
3. 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，故说法正确；
4. 仅小红1人的成绩变化，适合用单式折线统计图，复式折线统计图用于两组及以上数据对比，故说法错误；
5. 甲变乙时，小正方体总数不变，体积不变；计算外露面：甲的外露面共$6×2+3×2+3×2=24$个小正方形，乙的外露面共$6×2+3×2+2×2=22$个小正方形，$22＜24$，表面积变小，故说法正确。
【答案】
1. √；2. ×；3. √；4. ×；5. √
【知识点】
正方形周长、分数意义、分数基本性质、统计图选择、立体图形体积与表面积
【点评】
本题涵盖多个基础知识点，需准确掌握概念细节，避免混淆分率与具体量、单复式统计图的区别，第五题需仔细分析立体图形的表面积变化，不能仅看小正方体数量。
【难度系数】
0.5
本题为五道判断题，需结合各知识点的概念、性质逐一分析判断：
1. 依据正方形周长公式和合数定义判断；
2. 区分分数的分率与具体长度，结合分数意义判断；
3. 依据分数的基本性质判断；
4. 明确单式与复式折线统计图的适用场景；
5. 从立体图形的小正方体个数（体积）和外露面数量（表面积）变化分析。
【解析】
1. 正方形周长=边长×4，边长为自然数（≥1）时，周长最小为4，4是合数，故说法正确；
2. 把3m绳子平均分成7段，每段占全长的$\frac{1}{7}$，每段长度是$\frac{3}{7}$m，分率不是$\frac{3}{7}$，故说法错误；
3. 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，故说法正确；
4. 仅小红1人的成绩变化，适合用单式折线统计图，复式折线统计图用于两组及以上数据对比，故说法错误；
5. 甲变乙时，小正方体总数不变，体积不变；计算外露面：甲的外露面共$6×2+3×2+3×2=24$个小正方形，乙的外露面共$6×2+3×2+2×2=22$个小正方形，$22＜24$，表面积变小，故说法正确。
【答案】
1. √；2. ×；3. √；4. ×；5. √
【知识点】
正方形周长、分数意义、分数基本性质、统计图选择、立体图形体积与表面积
【点评】
本题涵盖多个基础知识点，需准确掌握概念细节，避免混淆分率与具体量、单复式统计图的区别，第五题需仔细分析立体图形的表面积变化，不能仅看小正方体数量。
【难度系数】
0.5
三、选择题。（将正确答案的序号填在括号里）（每小题2分，共10分）
1. 下面三角形AOB以点O为中心旋转，正确的是(
A.
1. 下面三角形AOB以点O为中心旋转，正确的是(
$\boldsymbol{B}$
)。A.
答案
1. $\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
要判断三角形AOB以点O为中心旋转是否正确，需依据旋转的核心特征：旋转时图形的旋转中心（点O）位置固定，图形的形状、大小不变，各对应点到旋转中心的距离相等，且所有点需绕旋转中心按同一方向转动相同角度。解题时需逐一分析选项，排除不符合旋转特征的选项。
【解析】
根据旋转的特征逐一分析选项：
1. 选项A：该图形是沿某条直线翻折得到的，属于轴对称变换，并非绕点O的旋转，排除；
2. 选项B：点O位置不变，OA、OB的长度未改变，三角形整体绕点O按同一方向转动，符合旋转的所有特征，正确；
3. 选项C：旋转后OA的位置不符合绕点O旋转的对应关系，排除；
4. 选项D：旋转后点B的位置错误，不满足旋转时对应点到旋转中心距离相等的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
图形的旋转；旋转的特征
【点评】
本题考查图形旋转的基础特征，需明确旋转与轴对称变换的区别，掌握旋转时“旋转中心固定、各点转动规律一致”的核心要点，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要判断三角形AOB以点O为中心旋转是否正确，需依据旋转的核心特征：旋转时图形的旋转中心（点O）位置固定，图形的形状、大小不变，各对应点到旋转中心的距离相等，且所有点需绕旋转中心按同一方向转动相同角度。解题时需逐一分析选项，排除不符合旋转特征的选项。
【解析】
根据旋转的特征逐一分析选项：
1. 选项A：该图形是沿某条直线翻折得到的，属于轴对称变换，并非绕点O的旋转，排除；
2. 选项B：点O位置不变，OA、OB的长度未改变，三角形整体绕点O按同一方向转动，符合旋转的所有特征，正确；
3. 选项C：旋转后OA的位置不符合绕点O旋转的对应关系，排除；
4. 选项D：旋转后点B的位置错误，不满足旋转时对应点到旋转中心距离相等的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
图形的旋转；旋转的特征
【点评】
本题考查图形旋转的基础特征，需明确旋转与轴对称变换的区别，掌握旋转时“旋转中心固定、各点转动规律一致”的核心要点，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 一个两位数，它是3的倍数，那么这个数一定是(
A.奇数
B.质数
C.偶数
D.合数
$\boldsymbol{D}$
)。A.奇数
B.质数
C.偶数
D.合数
答案
2. $\boldsymbol{D}$
【解析】一个两位数是3的倍数,这个数的因数至少有1,3和它本身,所以这个数一定是合数。
【解析】一个两位数是3的倍数,这个数的因数至少有1,3和它本身,所以这个数一定是合数。
解析
【分析】要解决这道题，需先明确奇数、偶数、质数、合数的定义，再结合“两位数是3的倍数”的条件逐一分析选项：首先，3的倍数的两位数有12、15、18等；接着看选项：A选项，15是3的倍数但为奇数，12是偶数，说明3的倍数不一定是奇数；B选项，质数只有1和自身两个因数，12的因数有1、2、3、4、6、12，不止两个，不是质数；C选项，15是3的倍数但为奇数，说明3的倍数不一定是偶数；D选项，合数是除了1和自身还有其他因数的数，两位数的3的倍数，其因数至少包含1、3和它本身，符合合数定义，因此选D。
【解析】根据题意，结合相关概念分析：1. 奇数、偶数：能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数，如15是3的倍数但为奇数，说明3的倍数不一定是奇数或偶数，排除A、C；2. 质数：只有1和它本身两个因数的数，两位数的3的倍数最小是12，12的因数有1、2、3、4、6、12，不止两个，不是质数，排除B；3. 合数：除了1和它本身还有其他因数的数，两位数的3的倍数，其因数至少有1、3和它本身，满足合数的定义，因此选D。
【答案】D
【知识点】3的倍数特征，质数与合数
【点评】本题考查基础概念的应用，需准确掌握质数、合数的定义及3的倍数特征，通过举例排除错误选项即可得出答案，难度不大。
【难度系数】0.5
【解析】根据题意，结合相关概念分析：1. 奇数、偶数：能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数，如15是3的倍数但为奇数，说明3的倍数不一定是奇数或偶数，排除A、C；2. 质数：只有1和它本身两个因数的数，两位数的3的倍数最小是12，12的因数有1、2、3、4、6、12，不止两个，不是质数，排除B；3. 合数：除了1和它本身还有其他因数的数，两位数的3的倍数，其因数至少有1、3和它本身，满足合数的定义，因此选D。
【答案】D
【知识点】3的倍数特征，质数与合数
【点评】本题考查基础概念的应用，需准确掌握质数、合数的定义及3的倍数特征，通过举例排除错误选项即可得出答案，难度不大。
【难度系数】0.5
3. 改变图①长方体,变成图②长方体,下列说法正确的是(
A.上下面大小不变,前后、左右面变小
B.上下、左右面大小不变,前后面变小
C.左右面大小不变,上下、前后面变小
D.前后面大小不变,上下、左右面变小
$\boldsymbol{C}$
)。A.上下面大小不变,前后、左右面变小
B.上下、左右面大小不变,前后面变小
C.左右面大小不变,上下、前后面变小
D.前后面大小不变,上下、左右面变小
答案
3. $\boldsymbol{C}$
解析
【分析】要判断长方体各面的大小变化，需先明确长方体每个面的组成：长方体的左右面由长度为3的竖直棱和长度为6的斜棱构成，上下底面、前后面都包含水平棱（图①中水平棱长度为9，图②中水平棱长度为7）。对比两图，竖直棱和斜棱长度不变，水平棱变短，据此分析各面的大小变化。
【解析】长方体的左右面的邻边是3和6，这两条棱的长度在图①和图②中均未改变，因此左右面大小不变；上下底面的邻边是水平棱和3，前后面的邻边是水平棱和6，由于水平棱从9变为7，长度变短，所以上下、前后面的大小变小。结合选项，C选项描述符合上述结论。
【答案】C
【知识点】长方体的面的特征
【点评】本题考查长方体各面与对应棱的关系，核心是明确不同面的组成棱，通过对比棱的长度变化判断面的大小，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】长方体的左右面的邻边是3和6，这两条棱的长度在图①和图②中均未改变，因此左右面大小不变；上下底面的邻边是水平棱和3，前后面的邻边是水平棱和6，由于水平棱从9变为7，长度变短，所以上下、前后面的大小变小。结合选项，C选项描述符合上述结论。
【答案】C
【知识点】长方体的面的特征
【点评】本题考查长方体各面与对应棱的关系，核心是明确不同面的组成棱，通过对比棱的长度变化判断面的大小，属于基础题型。
【难度系数】0.5
