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16. 已知$\begin{cases}x + 2y = 4k, \\ 2x + y = 12k + 1,\end{cases}$且$-1 ＜ x - y ＜ 0$，则$k$的取值范围为 ______ 。
答案
16. $-\frac{1}{4}＜k＜-\frac{1}{8}$
解析
【分析】
本题要求k的取值范围，已知含x、y、k的二元一次方程组，以及x-y的取值范围。解题时无需单独求解x和y，观察两个方程的系数特征，将第二个方程减去第一个方程，即可直接得到x-y关于k的代数式，再将该代数式代入已知不等式，解关于k的一元一次不等式组就能得到结果，整体作差的方法比单独消元求x、y更简便。
【解析】
解：用方程组的第二个方程减去第一个方程：
$(2x + y) - (x + 2y) = (12k + 1) - 4k$
化简左边得：$x - y$
化简右边得：$8k + 1$
因此可得$x - y = 8k + 1$
将$x - y = 8k + 1$代入$-1 ＜ x - y ＜ 0$，得到不等式组：
$\begin{cases}8k + 1 ＞ -1 ① \\ 8k + 1 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$8k ＞ -2$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$
解不等式②：移项得$8k ＜ -1$，解得$k ＜ -\frac{1}{8}$
综上可得k的取值范围。
【答案】
$-\frac{1}{4}＜k＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
整体代入法、解一元一次不等式组、方程组加减运算
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型基础题，重点考察整体思想的运用，通过整体作差得到目标代数式，能避免单独求解x、y的繁琐步骤，熟练掌握整体思想可有效提升解题效率，解题时注意解不等式时不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.7
本题要求k的取值范围，已知含x、y、k的二元一次方程组，以及x-y的取值范围。解题时无需单独求解x和y，观察两个方程的系数特征，将第二个方程减去第一个方程，即可直接得到x-y关于k的代数式，再将该代数式代入已知不等式，解关于k的一元一次不等式组就能得到结果，整体作差的方法比单独消元求x、y更简便。
【解析】
解：用方程组的第二个方程减去第一个方程：
$(2x + y) - (x + 2y) = (12k + 1) - 4k$
化简左边得：$x - y$
化简右边得：$8k + 1$
因此可得$x - y = 8k + 1$
将$x - y = 8k + 1$代入$-1 ＜ x - y ＜ 0$，得到不等式组：
$\begin{cases}8k + 1 ＞ -1 ① \\ 8k + 1 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$8k ＞ -2$，解得$k ＞ -\frac{1}{4}$
解不等式②：移项得$8k ＜ -1$，解得$k ＜ -\frac{1}{8}$
综上可得k的取值范围。
【答案】
$-\frac{1}{4}＜k＜-\frac{1}{8}$
【知识点】
整体代入法、解一元一次不等式组、方程组加减运算
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型基础题，重点考察整体思想的运用，通过整体作差得到目标代数式，能避免单独求解x、y的繁琐步骤，熟练掌握整体思想可有效提升解题效率，解题时注意解不等式时不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.7
17. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k,\\x-y=9k\end{cases}$的解也是二元一次方程$2x+3y=6$的解，求$k$的值.
答案
由方程组$\begin{cases}x+y=5k,\\x-y=9k,\end{cases}$得$\begin{cases}x=7k,\\y=-2k.\end{cases}$
∵此方程组的解是方程$2x+3y=6$的解，
∴$2×7k+3×(-2k)=6$,解得 $k=\frac{3}{4}$.
∵此方程组的解是方程$2x+3y=6$的解，
∴$2×7k+3×(-2k)=6$,解得 $k=\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，我们需要先求解含有参数$k$的二元一次方程组，将$x$、$y$都用含$k$的代数式表示；由于该方程组的解也是二元一次方程$2x+3y=6$的解，因此将用$k$表示的$x$、$y$代入方程$2x+3y=6$，即可得到只含未知数$k$的一元一次方程，求解该方程就能得到$k$的值。
【解析】
首先解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k&①\\x-y=9k&②\end{cases}$：
将①+②，可得$2x=14k$，解得$x=7k$；
把$x=7k$代入①，得$7k+y=5k$，解得$y=-2k$；
因此方程组的解为$\begin{cases}x=7k\\y=-2k\end{cases}$。
因为该解是方程$2x+3y=6$的解，将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$可得：
$2×7k + 3×(-2k)=6$
化简得$14k-6k=6$，即$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$。
【答案】
$k=\frac{3}{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组的基础常考题，核心逻辑是利用“同解”的性质，将方程组的解用参数表示后代入已知方程，转化为一元一次方程求解参数，熟练掌握二元一次方程组的消元解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，我们需要先求解含有参数$k$的二元一次方程组，将$x$、$y$都用含$k$的代数式表示；由于该方程组的解也是二元一次方程$2x+3y=6$的解，因此将用$k$表示的$x$、$y$代入方程$2x+3y=6$，即可得到只含未知数$k$的一元一次方程，求解该方程就能得到$k$的值。
【解析】
首先解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=5k&①\\x-y=9k&②\end{cases}$：
将①+②，可得$2x=14k$，解得$x=7k$；
把$x=7k$代入①，得$7k+y=5k$，解得$y=-2k$；
因此方程组的解为$\begin{cases}x=7k\\y=-2k\end{cases}$。
因为该解是方程$2x+3y=6$的解，将$x=7k$、$y=-2k$代入$2x+3y=6$可得：
$2×7k + 3×(-2k)=6$
化简得$14k-6k=6$，即$8k=6$，解得$k=\frac{3}{4}$。
【答案】
$k=\frac{3}{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组的基础常考题，核心逻辑是利用“同解”的性质，将方程组的解用参数表示后代入已知方程，转化为一元一次方程求解参数，熟练掌握二元一次方程组的消元解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
18. 解不等式组：$\begin{cases}2x+3＞1,① \\ x-2≤ \dfrac{1}{2}(x+2).②\end{cases}$
答案
解①,得$x＞-1$,解②,得$x≤6$,
故不等式组的解集为$-1＜x≤6$.
故不等式组的解集为$-1＜x≤6$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内的每个一元一次不等式，再找两个解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。首先处理第一个不等式，通过移项、系数化为1就能得到它的解集；第二个不等式带有分数系数，先去分母转化为整数系数的不等式，再通过去括号、移项、合并同类项得到解集，最后根据解集的取值范围确定公共部分即可。
【解析】
解：解不等式①$2x+3＞1$，
移项得：$2x＞1-3$，
合并同类项得：$2x＞-2$，
系数化为1得：$x＞-1$；
解不等式②$x-2≤ \dfrac{1}{2}(x+2)$，
两边同时乘2去分母得：$2(x-2)≤x+2$，
去括号得：$2x-4≤x+2$，
移项得：$2x-x≤2+4$，
合并同类项得：$x≤6$；
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤6$。
【答案】
$-1＜x≤6$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，以及确定不等式组公共解集的方法，求解过程中注意不等号方向不需要改变（系数均为正数），同时要准确判断解集端点是否可取。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内的每个一元一次不等式，再找两个解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。首先处理第一个不等式，通过移项、系数化为1就能得到它的解集；第二个不等式带有分数系数，先去分母转化为整数系数的不等式，再通过去括号、移项、合并同类项得到解集，最后根据解集的取值范围确定公共部分即可。
【解析】
解：解不等式①$2x+3＞1$，
移项得：$2x＞1-3$，
合并同类项得：$2x＞-2$，
系数化为1得：$x＞-1$；
解不等式②$x-2≤ \dfrac{1}{2}(x+2)$，
两边同时乘2去分母得：$2(x-2)≤x+2$，
去括号得：$2x-4≤x+2$，
移项得：$2x-x≤2+4$，
合并同类项得：$x≤6$；
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤6$。
【答案】
$-1＜x≤6$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，以及确定不等式组公共解集的方法，求解过程中注意不等号方向不需要改变（系数均为正数），同时要准确判断解集端点是否可取。
【难度系数】
0.9
19. 解不等式组$\begin{cases} x - 3(x - 2) ≥ 4, \\ \dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2}, \end{cases}$ 并把解集在数轴上表示出来.
答案
$\begin{cases} x - 3(x - 2) ≥ 4,① \\ \dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2},② \end{cases}$
由①,得$-2x≥-2$,即$x≤1$,
由②,得$4x-2＜5x+5$,即$x＞-7$,
所以$-7＜x≤1$. 在数轴上表示如图：
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，需先分别求解两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后按规范在数轴上表示解集即可。解单个不等式时，要注意去括号、去分母的运算规则，不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变；数轴表示解集时，大于/小于用空心圆圈，大于等于/小于等于用实心圆点。
【解析】
解：$\begin{cases} x - 3(x - 2) ≥ 4,① \\ \dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2},② \end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x - 3x + 6 ≥ 4$
合并同类项得：$-2x ≥ -2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≤ 1$
解不等式②：
两边同时乘10（5和2的最小公倍数）去分母得：$2(2x - 1) ＜ 5(x + 1)$
去括号得：$4x - 2 ＜ 5x + 5$
移项、合并同类项得：$-x ＜ 7$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -7$
因此，不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-7 ＜ x ≤ 1$。
在数轴上表示为：
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-7 ＜ x ≤ 1}$，在数轴上表示如图：
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的基本性质、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的常规基础考题，主要考查解一元一次不等式的基本步骤和数轴表示解集的规范，易错点为去分母时漏乘常数项、不等式两边乘负数时忘记改变不等号方向、数轴表示时混淆空心圆圈和实心圆点的用法，熟练掌握基础运算规则即可得分。
【难度系数】
0.8
要解一元一次不等式组，需先分别求解两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后按规范在数轴上表示解集即可。解单个不等式时，要注意去括号、去分母的运算规则，不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变；数轴表示解集时，大于/小于用空心圆圈，大于等于/小于等于用实心圆点。
【解析】
解：$\begin{cases} x - 3(x - 2) ≥ 4,① \\ \dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2},② \end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x - 3x + 6 ≥ 4$
合并同类项得：$-2x ≥ -2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≤ 1$
解不等式②：
两边同时乘10（5和2的最小公倍数）去分母得：$2(2x - 1) ＜ 5(x + 1)$
去括号得：$4x - 2 ＜ 5x + 5$
移项、合并同类项得：$-x ＜ 7$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -7$
因此，不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-7 ＜ x ≤ 1$。
在数轴上表示为：
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-7 ＜ x ≤ 1}$，在数轴上表示如图：
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的基本性质、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的常规基础考题，主要考查解一元一次不等式的基本步骤和数轴表示解集的规范，易错点为去分母时漏乘常数项、不等式两边乘负数时忘记改变不等号方向、数轴表示时混淆空心圆圈和实心圆点的用法，熟练掌握基础运算规则即可得分。
【难度系数】
0.8
20. 已知关于$x,y$的二元一次方程$x - y = 3a$和$x + 3y = 4 - a$.
(1)如果$\begin{cases} x=5, \\ y=-1 \end{cases}$是方程$x - y = 3a$的一个解,求$a$的值;
(2)当$a=1$时,求两方程的公共解;
(3)若$\begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知方程的公共解,当$x_0 ≤ 1$时,求$y_0$的取值范围.
(1)如果$\begin{cases} x=5, \\ y=-1 \end{cases}$是方程$x - y = 3a$的一个解,求$a$的值;
(2)当$a=1$时,求两方程的公共解;
(3)若$\begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知方程的公共解,当$x_0 ≤ 1$时,求$y_0$的取值范围.
答案
(1)将$\begin{cases} x=5, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程$x-y=3a$,
得$5+1=3a$,$\therefore a=2$.
(2)当$a=1$时,两方程为$\begin{cases} x-y=3,① \\ x+3y=3,② \end{cases}$
由①,得$x=3+y$,
代入②,得$3+y+3y=3$,
解得$y=0$,$\therefore x=3$.
$\therefore$两方程的公共解为$\begin{cases} x=3, \\ y=0. \end{cases}$
(3)$\because \begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知方程的公共解,
$\therefore \begin{cases} x_0-y_0=3a, \\ x_0+3y_0=4-a, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_0=2a+1, \\ y_0=1-a. \end{cases}$
$\because x_0≤1$,$\therefore 2a+1≤1$,$\therefore a≤0$.
$\therefore 1-a≥1$,$\therefore y_0≥1$.
得$5+1=3a$,$\therefore a=2$.
(2)当$a=1$时,两方程为$\begin{cases} x-y=3,① \\ x+3y=3,② \end{cases}$
由①,得$x=3+y$,
代入②,得$3+y+3y=3$,
解得$y=0$,$\therefore x=3$.
$\therefore$两方程的公共解为$\begin{cases} x=3, \\ y=0. \end{cases}$
(3)$\because \begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知方程的公共解,
$\therefore \begin{cases} x_0-y_0=3a, \\ x_0+3y_0=4-a, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_0=2a+1, \\ y_0=1-a. \end{cases}$
$\because x_0≤1$,$\therefore 2a+1≤1$,$\therefore a≤0$.
$\therefore 1-a≥1$,$\therefore y_0≥1$.
解析
【分析】
(1) 第一问利用二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知的x、y值代入方程$x-y=3a$，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；
(2) 第二问先把$a=1$代入两个已知方程，得到关于x、y的二元一次方程组，再用代入消元法解这个方程组，得到的解就是两方程的公共解；
(3) 第三问因为$(x_0,y_0)$是两个方程的公共解，将其代入两个方程得到含参数a的方程组，先用a表示出$x_0$和$y_0$，再根据$x_0≤1$列出关于a的不等式，解出a的取值范围，最后结合$y_0$和a的关系，即可求出$y_0$的取值范围。
【解析】
(1) 将$\begin{cases} x=5, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程$x-y=3a$，
得$5 - (-1) = 3a$，即$6=3a$，
解得$a=2$。
(2) 当$a=1$时，将$a=1$代入两个方程，可得方程组：
$\begin{cases} x-y=3,① \\ x+3y=3,② \end{cases}$
由①变形得$x = y + 3$，
将$x = y + 3$代入②，得$y + 3 + 3y = 3$，
合并同类项得$4y = 0$，解得$y=0$，
把$y=0$代入$x = y + 3$，得$x=3$，
所以两方程的公共解为$\begin{cases} x=3, \\ y=0. \end{cases}$
(3) 因为$\begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知两个方程的公共解，所以代入得：
$\begin{cases} x_0 - y_0 = 3a,① \\ x_0 + 3y_0 = 4 - a,② \end{cases}$
用②-①得：$4y_0 = 4 - 4a$，解得$y_0 = 1 - a$，
把$y_0 = 1 - a$代入①，得$x_0 - (1 - a) = 3a$，解得$x_0 = 2a + 1$，
已知$x_0 ≤ 1$，所以$2a + 1 ≤ 1$，
解这个不等式得$2a ≤ 0$，即$a ≤ 0$，
因为$y_0 = 1 - a$，当$a ≤ 0$时，$-a ≥ 0$，所以$1 - a ≥ 1$，即$y_0 ≥ 1$。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=0 \end{cases}$；
(3) $y_0 ≥ 1$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题核心是理解方程解的含义，熟练掌握消元法解二元一次方程组，以及能根据参数的取值范围推导对应代数式的取值范围，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问利用二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知的x、y值代入方程$x-y=3a$，即可得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；
(2) 第二问先把$a=1$代入两个已知方程，得到关于x、y的二元一次方程组，再用代入消元法解这个方程组，得到的解就是两方程的公共解；
(3) 第三问因为$(x_0,y_0)$是两个方程的公共解，将其代入两个方程得到含参数a的方程组，先用a表示出$x_0$和$y_0$，再根据$x_0≤1$列出关于a的不等式，解出a的取值范围，最后结合$y_0$和a的关系，即可求出$y_0$的取值范围。
【解析】
(1) 将$\begin{cases} x=5, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程$x-y=3a$，
得$5 - (-1) = 3a$，即$6=3a$，
解得$a=2$。
(2) 当$a=1$时，将$a=1$代入两个方程，可得方程组：
$\begin{cases} x-y=3,① \\ x+3y=3,② \end{cases}$
由①变形得$x = y + 3$，
将$x = y + 3$代入②，得$y + 3 + 3y = 3$，
合并同类项得$4y = 0$，解得$y=0$，
把$y=0$代入$x = y + 3$，得$x=3$，
所以两方程的公共解为$\begin{cases} x=3, \\ y=0. \end{cases}$
(3) 因为$\begin{cases} x=x_0, \\ y=y_0 \end{cases}$是已知两个方程的公共解，所以代入得：
$\begin{cases} x_0 - y_0 = 3a,① \\ x_0 + 3y_0 = 4 - a,② \end{cases}$
用②-①得：$4y_0 = 4 - 4a$，解得$y_0 = 1 - a$，
把$y_0 = 1 - a$代入①，得$x_0 - (1 - a) = 3a$，解得$x_0 = 2a + 1$，
已知$x_0 ≤ 1$，所以$2a + 1 ≤ 1$，
解这个不等式得$2a ≤ 0$，即$a ≤ 0$，
因为$y_0 = 1 - a$，当$a ≤ 0$时，$-a ≥ 0$，所以$1 - a ≥ 1$，即$y_0 ≥ 1$。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=0 \end{cases}$；
(3) $y_0 ≥ 1$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题核心是理解方程解的含义，熟练掌握消元法解二元一次方程组，以及能根据参数的取值范围推导对应代数式的取值范围，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
21. 传统文化《九章算术》《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图(1)、图(2)所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x$，$y$的系数与相应的常数项，把图(1)表示的算筹图用方程组的形式表述为$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\x + 4y = 23.\end{cases}$
(1)类似地，图(2)所示的算筹图我们可以表述为；
(2)解由图(2)所列出的方程组。
(1)类似地，图(2)所示的算筹图我们可以表述为；
(2)解由图(2)所列出的方程组。
答案
(1)$\begin{cases}2x+y=11,\\4x+3y=27\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y=11,①\\4x+3y=27,②\end{cases}$
②$-$①$×2$,得$y=5$,
将$y=5$代入①,得$x=3$,
$\therefore$该方程组的解是$\begin{cases}x=3,\\y=5.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y=11,①\\4x+3y=27,②\end{cases}$
②$-$①$×2$,得$y=5$,
将$y=5$代入①,得$x=3$,
$\therefore$该方程组的解是$\begin{cases}x=3,\\y=5.\end{cases}$
解析
【分析】
首先结合题中给出的图(1)对应的方程组，总结算筹图的计数规则：每行从左到右三个部分依次对应x的系数、y的系数、方程的常数项；1根竖直算筹代表数字1，个位上方的1根横置算筹代表数字5，十位的1根横置算筹代表10。第一问按照该规则读取图(2)的数字，列出对应的二元一次方程组即可；第二问求解二元一次方程组可选用加减消元法，先消去一个未知数求出其值，再代入方程求剩余未知数的值即可。
【解析】
(1) 读取图(2)第一行：x的系数为2（2根竖筹），y的系数为1（1根竖筹），常数项为11（1根十位横筹代表10，1根竖筹代表1，$10+1=11$），得到方程$2x+y=11$；
读取图(2)第二行：x的系数为4（4根竖筹），y的系数为3（3根竖筹），常数项为27（2根十位横筹代表20，个位1根横筹加2根竖筹代表$5+2=7$，$20+7=27$），得到方程$4x+3y=27$。
因此列出的方程组为$\begin{cases}2x+y=11,\\4x+3y=27\end{cases}$。
(2) 解上述方程组：
令$\begin{cases}2x+y=11,①\\4x+3y=27,②\end{cases}$
将①两边同时乘2，得$4x+2y=22$ ③
用②减去③，得$(4x+3y)-(4x+2y)=27-22$，计算得$y=5$。
将$y=5$代入①，得$2x+5=11$，解得$x=3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}2x+y=11,\\4x+3y=27\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=5\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组列写
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题结合古代算筹文化考查二元一次方程组的相关知识，需要先读懂规则提取有效信息列出方程组，再用基础消元方法求解，既考查信息提取能力，也考查二元一次方程组的基础计算能力。
【难度系数】
0.7
首先结合题中给出的图(1)对应的方程组，总结算筹图的计数规则：每行从左到右三个部分依次对应x的系数、y的系数、方程的常数项；1根竖直算筹代表数字1，个位上方的1根横置算筹代表数字5，十位的1根横置算筹代表10。第一问按照该规则读取图(2)的数字，列出对应的二元一次方程组即可；第二问求解二元一次方程组可选用加减消元法，先消去一个未知数求出其值，再代入方程求剩余未知数的值即可。
【解析】
(1) 读取图(2)第一行：x的系数为2（2根竖筹），y的系数为1（1根竖筹），常数项为11（1根十位横筹代表10，1根竖筹代表1，$10+1=11$），得到方程$2x+y=11$；
读取图(2)第二行：x的系数为4（4根竖筹），y的系数为3（3根竖筹），常数项为27（2根十位横筹代表20，个位1根横筹加2根竖筹代表$5+2=7$，$20+7=27$），得到方程$4x+3y=27$。
因此列出的方程组为$\begin{cases}2x+y=11,\\4x+3y=27\end{cases}$。
(2) 解上述方程组：
令$\begin{cases}2x+y=11,①\\4x+3y=27,②\end{cases}$
将①两边同时乘2，得$4x+2y=22$ ③
用②减去③，得$(4x+3y)-(4x+2y)=27-22$，计算得$y=5$。
将$y=5$代入①，得$2x+5=11$，解得$x=3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}2x+y=11,\\4x+3y=27\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=3,\\y=5\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组列写
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题结合古代算筹文化考查二元一次方程组的相关知识，需要先读懂规则提取有效信息列出方程组，再用基础消元方法求解，既考查信息提取能力，也考查二元一次方程组的基础计算能力。
【难度系数】
0.7
