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22.某班阶段测验后,为奖励成绩优异的同学,老师安排小丽购买奖品,如图是小丽买回奖品后与小明的对话情境：
根据上面的信息解决问题：
试计算两种笔记本各买了多少本？
根据上面的信息解决问题：
试计算两种笔记本各买了多少本？
答案
设5元的笔记本买了$x$本,8元的笔记本买了$y$本,
由题意,得$\begin{cases}x+y=40,\\5x+8y=300-68+13,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25,\\y=15.\end{cases}$
故5元的笔记本买了25本,8元的笔记本买了15本.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.解题的关键是明确题意,列出相应的二元一次方程组.
由题意,得$\begin{cases}x+y=40,\\5x+8y=300-68+13,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25,\\y=15.\end{cases}$
故5元的笔记本买了25本,8元的笔记本买了15本.
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.解题的关键是明确题意,列出相应的二元一次方程组.
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的等量关系：①两种笔记本的总数量为40本，即5元笔记本数量+8元笔记本数量=40；②购买两种笔记本的总花费=付款金额-实际找回的金额，注意小丽误将自己口袋的13元算入找回钱款，因此实际找回金额为68-13=55元，总花费为300-55=245元，即5元笔记本总价+8元笔记本总价=245元。接下来设两个未知数，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两种笔记本的数量。
【解析】
解：设5元的笔记本买了$x$本，8元的笔记本买了$y$本。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}x+y=40 \\5x+8y=300-(68-13)\end{cases}$
整理得$\begin{cases}x+y=40\\5x+8y=245\end{cases}$
由第一个方程得$x=40-y$，代入第二个方程：
$5(40-y)+8y=245$
$200-5y+8y=245$
$3y=45$
解得$y=15$
将$y=15$代入$x=40-y$，得$x=40-15=25$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=25 \\ y=15 \end{cases}$
【答案】
5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本。
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组，等量关系寻找
【点评】
本题是常见的购物类实际应用题，解题的核心是认真审题，排除题干中的干扰信息，准确计算出实际消费的总金额，再围绕总数量、总花费两个核心等量关系列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目中的等量关系：①两种笔记本的总数量为40本，即5元笔记本数量+8元笔记本数量=40；②购买两种笔记本的总花费=付款金额-实际找回的金额，注意小丽误将自己口袋的13元算入找回钱款，因此实际找回金额为68-13=55元，总花费为300-55=245元，即5元笔记本总价+8元笔记本总价=245元。接下来设两个未知数，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两种笔记本的数量。
【解析】
解：设5元的笔记本买了$x$本，8元的笔记本买了$y$本。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}x+y=40 \\5x+8y=300-(68-13)\end{cases}$
整理得$\begin{cases}x+y=40\\5x+8y=245\end{cases}$
由第一个方程得$x=40-y$，代入第二个方程：
$5(40-y)+8y=245$
$200-5y+8y=245$
$3y=45$
解得$y=15$
将$y=15$代入$x=40-y$，得$x=40-15=25$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=25 \\ y=15 \end{cases}$
【答案】
5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本。
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组，等量关系寻找
【点评】
本题是常见的购物类实际应用题，解题的核心是认真审题，排除题干中的干扰信息，准确计算出实际消费的总金额，再围绕总数量、总花费两个核心等量关系列方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
23. 新情境 热议马拉松长跑比赛 马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米.如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息：
①在起点、沿途每隔5千米处以及终点提供水、运动饮料、水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；
②在起点、终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站.
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员.
(1)本次马拉松比赛共设置
(2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
①在起点、沿途每隔5千米处以及终点提供水、运动饮料、水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；
②在起点、终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站.
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员.
(1)本次马拉松比赛共设置
10
个补给站.(2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
答案
(1)10 [解析]本次马拉松比赛共设置$(42-2)÷5+1+1=10$(个)补给站.
(2)设有$x$个固定医疗站,两站重合的有$y$个,
根据题意,得
$\begin{cases}(10-y)+2x=64,\\2(10-y)+3x=99,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=29,\\y=4.\end{cases}$
$\therefore42÷(29-1)=1.5$(千米). 故沿途中,每两个固定医疗站之间的距离是1.5千米.
本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键:(1)根据补给站的设置间隔,列式计算;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程组.
(2)设有$x$个固定医疗站,两站重合的有$y$个,
根据题意,得
$\begin{cases}(10-y)+2x=64,\\2(10-y)+3x=99,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=29,\\y=4.\end{cases}$
$\therefore42÷(29-1)=1.5$(千米). 故沿途中,每两个固定医疗站之间的距离是1.5千米.
本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键:(1)根据补给站的设置间隔,列式计算;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程组.
解析
【分析】
(1) 计算补给站数量时，先结合补给站设置规则，将全程分为两段：前40千米（每隔5千米设一个补给站，含起点）、最后2千米（终点设最后一个补给站），先算前40千米的补给站数量，再加终点的补给站即可得到总数。
(2) 计算医疗站间距时，先设固定医疗站总数量为$x$个，补给站和医疗站重合的数量为$y$个，根据两种值班员配置的总人数分别列方程，组成二元一次方程组求解得到医疗站总数，再根据“起点、终点均设医疗站，间距=总路程÷(站点数-1)”计算即可。
【解析】
(1) 先去掉最后两个补给站间隔的2千米，剩余路程为$42-2=40$千米，每隔5千米设一个补给站（含起点），这部分补给站数量为$40÷5+1=9$个，再加上终点的补给站，总补给站数量为$9+1=10$个。
(2) 设固定医疗站共有$x$个，补给站与医疗站重合的站点有$y$个。
根据第一种值班安排总人数可列方程：$(10-y)+2x=64$；
根据第二种值班安排总人数可列方程：$2(10-y)+3x=99$；
联立得方程组$\begin{cases}(10-y)+2x=64\\2(10-y)+3x=99\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=29\\y=4\end{cases}$。
因为起点、终点均设固定医疗站，所以相邻医疗站间隔数为$29-1=28$，每两个固定医疗站的间距为$42÷28=1.5$千米。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{1.5}$千米
【知识点】
间隔计数问题，二元一次方程组应用，等量关系寻找
【点评】
本题结合马拉松的实际生活情境命题，既考查基础的间隔计数能力，又考查通过分析题意列方程组解决实际问题的能力，解题时需注意重合站点的计数不要重复，计算间距时要明确站点数比间隔数多1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.65
(1) 计算补给站数量时，先结合补给站设置规则，将全程分为两段：前40千米（每隔5千米设一个补给站，含起点）、最后2千米（终点设最后一个补给站），先算前40千米的补给站数量，再加终点的补给站即可得到总数。
(2) 计算医疗站间距时，先设固定医疗站总数量为$x$个，补给站和医疗站重合的数量为$y$个，根据两种值班员配置的总人数分别列方程，组成二元一次方程组求解得到医疗站总数，再根据“起点、终点均设医疗站，间距=总路程÷(站点数-1)”计算即可。
【解析】
(1) 先去掉最后两个补给站间隔的2千米，剩余路程为$42-2=40$千米，每隔5千米设一个补给站（含起点），这部分补给站数量为$40÷5+1=9$个，再加上终点的补给站，总补给站数量为$9+1=10$个。
(2) 设固定医疗站共有$x$个，补给站与医疗站重合的站点有$y$个。
根据第一种值班安排总人数可列方程：$(10-y)+2x=64$；
根据第二种值班安排总人数可列方程：$2(10-y)+3x=99$；
联立得方程组$\begin{cases}(10-y)+2x=64\\2(10-y)+3x=99\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=29\\y=4\end{cases}$。
因为起点、终点均设固定医疗站，所以相邻医疗站间隔数为$29-1=28$，每两个固定医疗站的间距为$42÷28=1.5$千米。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{1.5}$千米
【知识点】
间隔计数问题，二元一次方程组应用，等量关系寻找
【点评】
本题结合马拉松的实际生活情境命题，既考查基础的间隔计数能力，又考查通过分析题意列方程组解决实际问题的能力，解题时需注意重合站点的计数不要重复，计算间距时要明确站点数比间隔数多1，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.65
24.某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元刚好可以购买8本甲图书，20本乙图书.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
答案
(1)设乙图书每本价格为$x$元,则甲图书每本价格为$y$元.
根据题意,得$\begin{cases}y=2.5x,\\8y+20x=800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=50.\end{cases}$
故乙图书每本价格为20元,甲图书每本价格为50元.
(2)设购买甲图书本数为$m$,则购买乙图书的本数为$2m+8$,
由题意,得$50m+20(2m+8)≤1060$,
解得$m≤10$,则$2m+8≤28$.
故该图书馆最多可以购买28本乙图书.
根据题意,得$\begin{cases}y=2.5x,\\8y+20x=800,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=50.\end{cases}$
故乙图书每本价格为20元,甲图书每本价格为50元.
(2)设购买甲图书本数为$m$,则购买乙图书的本数为$2m+8$,
由题意,得$50m+20(2m+8)≤1060$,
解得$m≤10$,则$2m+8≤28$.
故该图书馆最多可以购买28本乙图书.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：题干给出两个等量关系，一是甲图书单价是乙的2.5倍，二是8本甲图书加20本乙图书总价为800元，我们可以设甲、乙单价为未知数，列二元一次方程组求解。
第(2)问解题思路：已知乙图书本数和甲图书本数的数量关系，以及总经费不超过1060元的限制，我们先设甲图书购买数量为未知数，用其表示乙图书购买数量，再根据总经费的不等关系列一元一次不等式，求出甲数量的最大值后，即可对应得到乙数量的最大值，注意图书本数为非负整数。
【解析】
(1)设乙图书每本价格为$x$元，甲图书每本价格为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y=2.5x\\8y+20x=800\end{cases}$
将$y=2.5x$代入第二个方程，得$8×2.5x + 20x = 800$，化简得$40x=800$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$y=2.5x$，得$y=2.5×20=50$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=20\\y=50\end{cases}$。
(2)设购买甲图书的本数为$m$，则购买乙图书的本数为$2m+8$。
根据总经费不超过1060元，列不等式：
$50m + 20(2m+8) ≤ 1060$
展开得$50m + 40m + 160 ≤ 1060$，合并同类项得$90m ≤ 900$，解得$m ≤ 10$。
$m$的最大值为10，此时乙图书的本数为$2×10 + 8 = 28$。
【答案】
(1)甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元；
(2)该图书馆最多可以购买28本乙图书。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规应用题，解题关键是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，第二问需要注意结合实际意义确定最终的最值。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：题干给出两个等量关系，一是甲图书单价是乙的2.5倍，二是8本甲图书加20本乙图书总价为800元，我们可以设甲、乙单价为未知数，列二元一次方程组求解。
第(2)问解题思路：已知乙图书本数和甲图书本数的数量关系，以及总经费不超过1060元的限制，我们先设甲图书购买数量为未知数，用其表示乙图书购买数量，再根据总经费的不等关系列一元一次不等式，求出甲数量的最大值后，即可对应得到乙数量的最大值，注意图书本数为非负整数。
【解析】
(1)设乙图书每本价格为$x$元，甲图书每本价格为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}y=2.5x\\8y+20x=800\end{cases}$
将$y=2.5x$代入第二个方程，得$8×2.5x + 20x = 800$，化简得$40x=800$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$y=2.5x$，得$y=2.5×20=50$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=20\\y=50\end{cases}$。
(2)设购买甲图书的本数为$m$，则购买乙图书的本数为$2m+8$。
根据总经费不超过1060元，列不等式：
$50m + 20(2m+8) ≤ 1060$
展开得$50m + 40m + 160 ≤ 1060$，合并同类项得$90m ≤ 900$，解得$m ≤ 10$。
$m$的最大值为10，此时乙图书的本数为$2×10 + 8 = 28$。
【答案】
(1)甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元；
(2)该图书馆最多可以购买28本乙图书。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规应用题，解题关键是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，第二问需要注意结合实际意义确定最终的最值。
【难度系数】
0.7
