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专题三 密度的计算及应用
【典型例题3】气凝胶是一种在航天领域广泛使用的新材料。“天问一号”火星探测器和火星车都使用了一种新型材料——纳米气凝胶，能在“极热”和“极寒”两种严酷环境下，保证工作平台正常工作，不受环境温度影响。同时这种材料具有超轻特性，它的质量大约只有同体积水的质量的$\frac{1}{66}$，极大地减小了火星车的负担，让它运动更加灵活。$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1)下列有关气凝胶的说法，正确的是()
A. 纳米气凝胶的质量小，所以具有超轻特性
B. 纳米气凝胶适合做打桩用的重锤
C. 纳米气凝胶密度约为$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$
D. 纳米气凝胶具有耐高温的性能
(2)某种气凝胶质量与体积的关系图像如图所示，则其密度为$\mathrm{kg/m}^3$。假设建造一座空间站需使用气凝胶$400\ \mathrm{m}^3$，则这些气凝胶的质量是$\mathrm{kg}$。
答案 (1)D (2)4 1 600
【典型例题3】气凝胶是一种在航天领域广泛使用的新材料。“天问一号”火星探测器和火星车都使用了一种新型材料——纳米气凝胶，能在“极热”和“极寒”两种严酷环境下，保证工作平台正常工作，不受环境温度影响。同时这种材料具有超轻特性，它的质量大约只有同体积水的质量的$\frac{1}{66}$，极大地减小了火星车的负担，让它运动更加灵活。$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1)下列有关气凝胶的说法，正确的是()
A. 纳米气凝胶的质量小，所以具有超轻特性
B. 纳米气凝胶适合做打桩用的重锤
C. 纳米气凝胶密度约为$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$
D. 纳米气凝胶具有耐高温的性能
(2)某种气凝胶质量与体积的关系图像如图所示，则其密度为$\mathrm{kg/m}^3$。假设建造一座空间站需使用气凝胶$400\ \mathrm{m}^3$，则这些气凝胶的质量是$\mathrm{kg}$。
答案 (1)D (2)4 1 600
答案
解：
(1) 选项分析：
A. 超轻特性是指气凝胶密度远小于常规材料，体积相同时质量很小，未限定体积直接说质量小的表述错误，故A错误；
B. 打桩用的重锤需要选用密度大的材料，气凝胶密度极小，不适合制作重锤，故B错误；
C. 由题意，同体积下气凝胶质量是水的$\frac{1}{66}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，体积V相同时，$\rho_{\mathrm{胶}}=\frac{1}{66}\rho_{\mathrm{水}}=\frac{1}{66}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3\approx15\ \mathrm{kg/m}^3=1.5×10^{-2}\ \mathrm{g/cm}^3$，远小于$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，故C错误；
D. 纳米气凝胶能在“极热”环境下保证工作平台正常工作，说明其具有耐高温的性能，故D正确。
所以选D。
(2) 由图像可知，当气凝胶体积$V=1\ \mathrm{m}^3$时，对应的质量$m=4\ \mathrm{kg}$，
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得该气凝胶的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1\ \mathrm{m}^3}=4\ \mathrm{kg/m}^3$。
当使用气凝胶的体积$V'=400\ \mathrm{m}^3$时，这些气凝胶的质量：
$m'=\rho V'=4\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3=1600\ \mathrm{kg}$。
(1) 选项分析：
A. 超轻特性是指气凝胶密度远小于常规材料，体积相同时质量很小，未限定体积直接说质量小的表述错误，故A错误；
B. 打桩用的重锤需要选用密度大的材料，气凝胶密度极小，不适合制作重锤，故B错误；
C. 由题意，同体积下气凝胶质量是水的$\frac{1}{66}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，体积V相同时，$\rho_{\mathrm{胶}}=\frac{1}{66}\rho_{\mathrm{水}}=\frac{1}{66}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3\approx15\ \mathrm{kg/m}^3=1.5×10^{-2}\ \mathrm{g/cm}^3$，远小于$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，故C错误；
D. 纳米气凝胶能在“极热”环境下保证工作平台正常工作，说明其具有耐高温的性能，故D正确。
所以选D。
(2) 由图像可知，当气凝胶体积$V=1\ \mathrm{m}^3$时，对应的质量$m=4\ \mathrm{kg}$，
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得该气凝胶的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1\ \mathrm{m}^3}=4\ \mathrm{kg/m}^3$。
当使用气凝胶的体积$V'=400\ \mathrm{m}^3$时，这些气凝胶的质量：
$m'=\rho V'=4\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3=1600\ \mathrm{kg}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需结合气凝胶的特性逐一分析选项，明确“超轻”是密度小、重锤需密度大、耐高温的含义，以及密度的计算方法；第(2)问需从m-V图像中提取对应质量和体积，利用密度公式计算密度，再通过密度公式变形计算指定体积气凝胶的质量。
【解析】
(1) 选项分析：
A选项：“超轻特性”是指相同体积下气凝胶质量远小于常规材料，并非单纯说质量小，缺少“体积相同”的前提，表述错误；
B选项：打桩用重锤需要密度大的材料，气凝胶密度极小，不适合制作重锤，错误；
C选项：同体积下气凝胶质量是水的$\frac{1}{66}$，则$\rho_{胶}=\frac{1}{66}\rho_{水}=\frac{1}{66}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3\approx15\ \mathrm{kg/m}^3=1.5×10^{-2}\ \mathrm{g/cm}^3$，远小于$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，错误；
D选项：气凝胶能在“极热”环境下保证工作平台正常工作，说明其具有耐高温性能，正确。
故(1)选D。
(2) 由图像可知，当气凝胶体积$V=1\ \mathrm{m}^3$时，对应的质量$m=4\ \mathrm{kg}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得气凝胶密度：$\rho=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1\ \mathrm{m}^3}=4\ \mathrm{kg/m}^3$；
当体积$V'=400\ \mathrm{m}^3$时，气凝胶质量：$m'=\rho V'=4\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3=1600\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1)D (2)4；1600
【知识点】
密度计算、物质的物理属性
【点评】
本题结合航天新材料考查密度相关知识，既需要理解密度概念，又要能从图像中提取信息，同时结合材料特性分析选项，是密度知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需结合气凝胶的特性逐一分析选项，明确“超轻”是密度小、重锤需密度大、耐高温的含义，以及密度的计算方法；第(2)问需从m-V图像中提取对应质量和体积，利用密度公式计算密度，再通过密度公式变形计算指定体积气凝胶的质量。
【解析】
(1) 选项分析：
A选项：“超轻特性”是指相同体积下气凝胶质量远小于常规材料，并非单纯说质量小，缺少“体积相同”的前提，表述错误；
B选项：打桩用重锤需要密度大的材料，气凝胶密度极小，不适合制作重锤，错误；
C选项：同体积下气凝胶质量是水的$\frac{1}{66}$，则$\rho_{胶}=\frac{1}{66}\rho_{水}=\frac{1}{66}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3\approx15\ \mathrm{kg/m}^3=1.5×10^{-2}\ \mathrm{g/cm}^3$，远小于$1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，错误；
D选项：气凝胶能在“极热”环境下保证工作平台正常工作，说明其具有耐高温性能，正确。
故(1)选D。
(2) 由图像可知，当气凝胶体积$V=1\ \mathrm{m}^3$时，对应的质量$m=4\ \mathrm{kg}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得气凝胶密度：$\rho=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1\ \mathrm{m}^3}=4\ \mathrm{kg/m}^3$；
当体积$V'=400\ \mathrm{m}^3$时，气凝胶质量：$m'=\rho V'=4\ \mathrm{kg/m}^3×400\ \mathrm{m}^3=1600\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1)D (2)4；1600
【知识点】
密度计算、物质的物理属性
【点评】
本题结合航天新材料考查密度相关知识，既需要理解密度概念，又要能从图像中提取信息，同时结合材料特性分析选项，是密度知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
