4. 如图，在数学活动实践课上，小浩在旗杆CD与某栋楼AB之间选定一点O，连接AO，OC. 若$AO=OC$，$OB=CD=15\ \mathrm{m}$，$DB=36\ \mathrm{m}$，且D，O，B在同一水平线上，求楼AB的高度.

解 由题意得$CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，
所以$∠ CDO=∠ ABO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ OBA$中，$\begin{cases} CD=OB, \\ OC=OA, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CDO≌\mathrm{Rt}△ OBA$（HL）。
所以$DO=AB$。
因为$OB=15\ \mathrm{m}$，$DB=36\ \mathrm{m}$，
所以$OD=AB=BD-OB=36-15=21\ (\mathrm{m})$。
所以楼AB的高度为$21\ \mathrm{m}$。

【提出问题】
如图①，在$△ ABC$中，$AB = 8$，$AC=6$，求边$BC$上的中线$AD$的取值范围。
【方法呈现】
（1）延长$AD$到点$E$，使得$DE = AD$；
（2）连接$BE$，通过三角形全等把$AB$，$AC$，$2AD$转化到$△ ABE$中；
（3）利用三角形的三边关系可得$AE$的取值范围，从而得到$AD$的取值范围。
【解决问题】
（1）由已知和作图能得到$△ ADC ≌ △ EDB$，依据是。
（2）由“三角形的三边关系”可求得$AD$的取值范围是。
【方法感悟】
题目中若出现“中点”“中线”等条件，可考虑利用“倍长中线”构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
【灵活运用】
（3）如图②，在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，$DE ⊥ DF$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$，连接$EF$。求证：$BE + CF ＞ EF$。

（1）SAS 解析 因为$D$是$BC$的中点，
所以$BD＝CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ADC=∠BDE, \\ AD=ED, \end{cases}$
所以$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS）。
（2）$1＜AD＜7$ 解析 因为$△ ADC ≌ △ EDB$，
所以$AC＝BE$。
因为$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
所以$AB - AC ＜ 2AD ＜ AB + AC$。
因为$AB＝8$，$AC＝6$，
所以$2 ＜ 2AD ＜ 14$。
所以$1 ＜ AD ＜ 7$。
（3）证明 如图，延长$ED$到点$G$，使$GD＝ED$，连接$GF$，$GC$，

在$△ EDF$和$△ GDF$中，
$\begin{cases} FD=FD, \\ ∠EDF=∠GDF, \\ ED=GD, \end{cases}$
所以$△ EDF ≌ △ GDF$（SAS）。
所以$EF＝GF$。
因为$D$是$BC$的中点，
所以$BD＝CD$。
在$△ BDE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases} ED=GD, \\ ∠BDE=∠GDC, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△ BDE ≌ △ CDG$（SAS）。
所以$BE＝CG$。
因为$CG + CF ＞ GF$，
所以$BE + CF ＞ EF$。

解：(1) 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（或SAS）
(2) $1＜AD＜7$
(3) 证明：延长$ED$到点$G$，使$GD=ED$，连接$GF$，$GC$。
∵ $D$是$BC$的中点，
∴ $BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases}ED = GD, \\∠ BDE = ∠ CDG, \\BD = CD,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDG (\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = CG$。
∵ $DE ⊥ DF$，
∴ $∠ EDF = ∠ GDF = 90°$。
在$△ EDF$和$△ GDF$中，
$\begin{cases}FD = FD, \\∠ EDF = ∠ GDF, \\ED = GD,\end{cases}$
∴ $△ EDF ≌ △ GDF (\mathrm{SAS})$，
∴ $EF = GF$。
在$△ CFG$中，由三角形三边关系可得$CG + CF ＞ GF$，
∴ $BE + CF ＞ EF$。