1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k$为常数，$k＞0,x＞0)$的图象上，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，连接 OA. 若$△ OAB$的面积为$\frac{19}{12}$，则$k=$.

1. $\frac{19}{6}$

2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=-x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象相交于$A,B$两点,与$x$轴相交于点$C$,连接$OB$,且$△ BOC$的面积为$\frac{5}{2}$.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)连接$OA$,求$△ AOB$的面积.

2.【解】(1)设点 B 的坐标为$(-b+5,b)$.
根据题意可得,点 C 的坐标为$(5,0)$,
$\therefore OC=5.\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC· b=\frac{5}{2}b=\frac{5}{2}.\therefore b=1.$
$\therefore$点 B 的坐标为$(4,1)$.
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点$ B(4,1)$,
$\therefore 1=\frac{k}{4}$,解得$k=4. \therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
(2)由一次函数$y=-x+5$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象相交于$ A,B $两点,得$-x+5=\frac{4}{x}$.
变形,得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1,x_2=4$.
经检验,$x_1=1,x_2=4$是原方程的解.
当$x=1$时,$y=4$,$\therefore$点 A 的坐标为$(1,4)$.
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×5-\frac{5}{2}=10-\frac{5}{2}=7.5.$

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴上任意一点,点B,C分别为反比例函数$y_1=\frac{4}{x}(x＞0)$,$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上的点,且$BC// x$轴,已知$△ ABC$的面积为3,则k的值为.

3. $-2$

4. 新视角 动点探究题 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=mx+n$的图象相交于$A(a,-1)$,$B(-1,3)$两点.
(1)直接写出反比例函数和一次函数的表达式;
(2)设直线$AB$交$y$轴于点$C$,点$N(t,0)$是$x$轴正半轴上的一个动点,过点$N$作$NM⊥x$轴,$NM$交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点$M$,连接$CN$,$OM$.若$S_{四边形COMN}＞3$,求$t$的取值范围.

4.【解】(1)反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$,
一次函数的表达式为$y=-x+2$.
(2)$\because$直线$ AB $交$ y $轴于点$ C $,$\therefore C(0,2).\therefore OC=2$.
$\because N(t,0),\therefore ON=t.$
$\therefore S_{四边形COMN}=S_{△ OMN}+S_{△ OCN}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×2×t.$
$\because S_{四边形COMN}＞3,\therefore \frac{3}{2}+\frac{1}{2}×2×t＞3$,解得$t＞\frac{3}{2}.$
$\therefore t$的取值范围是$t＞\frac{3}{2}.$