1. 延长线段AB到点C，使得$BC:AB=1:2$，则$AC:AB=$（）

A.$2:1$
B.$3:1$
C.$3:2$
D.$4:3$

1.C

2.[2026淮北期末] 已知照片上小红的身高是5 cm，她的实际身高是1.5 m，则这张照片的比例尺是。

2.1:30

3. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的一组是（）

A.$1,2,3,4$
B.$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$
C.$5,6,7,8$
D.$4,6,6,8$

3.B

4. 已知线段a,b,c,d是一组成比例线段，若a=1 cm,b=4 cm,c=2 cm,则d= cm.

4.8

5. 小慧同学在学习了“比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在下图横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。

$\frac{a}{x}=\frac{y}{c}$ 当$x=y=b$时 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ 当$\frac{a}{c}=$时 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$
比例线段 出现比例中项线段 出现特殊线段比

5.2 【点拨】$\because \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2},\therefore a=\sqrt{2}b,c=\frac{\sqrt{2}}{2}b. \therefore \frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\frac{\sqrt{2}}{2}b}=2.$

6. 已知点P在线段AB上，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）

A.$\frac{PB}{AP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AP}{PB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

6.C 【点拨】设$AB=1,AP=x$,则$PB=1-x$.
$\because$线段$AP$是$PB$和$AB$的比例中项,$\therefore AP^2=PB· AB$,即
$x^2=1-x. \therefore x^2+x-1=0$,解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
(舍去). $\therefore AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}. \therefore PB=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}. \therefore \frac{PB}{AP}=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{PB}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{AP}{PB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,故选C.

7.已知三个数$2,\sqrt{2},4$.如果再添加一个数,使这四个数成比例,则添加的数是.

7.$2\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$4\sqrt{2}$

8. ★★ 新考法 分类讨论法 如图，直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B。过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长度是其他两条线段长度的比例中项时，点P的坐标为。

8.$(\frac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$ 【点拨】$\because$直线$y=3x+3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$\therefore$点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(0,3)$,$\therefore OA=1,OB=3. \because$点$P$在$x$轴正半轴上,$\therefore$设点$P$的坐标是$(x,0)(x＞0)$.当线段$OA$的长度是其他两条线段长度的比例中项时,$OA^2=OB· OP$,即$1=3x$,解得$x=\frac{1}{3}$,$\therefore$点$P$的坐标是$(\frac{1}{3},0)$;当线段$OB$的长度是其他两条线段长度的比例中项时,$OB^2=OA· OP$,即$x=9$,$\therefore$点$P$的坐标是$(9,0)$;当线段$OP$的长度是其他两条线段长度的比例中项时,$OP^2=OB· OA$,即$x^2=3×1$,解得$x=\sqrt{3}$(负值已舍去),$\therefore$点$P$的坐标是$(\sqrt{3},0)$.综上所述,点$P$的坐标是$(\frac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$.

9. 如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,
$AB=3,AD=6.5,BF=2.$
(1)求下列各线段的比:$\frac{CD}{BC},\frac{EF}{CF},\frac{BF}{AB};$
(2)指出AB,BC,CF,CD,EF,FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可).

9.【解】(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 与四边形 $ABFE$ 都是矩形，
$AB=3,AD=6.5,\therefore CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5.$
$\because BF=2,\therefore CF=BC-BF=4.5.$
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{3}{6.5}=\frac{6}{13},\frac{EF}{CF}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3},\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}.$
(2)成比例线段有$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$.(答案不唯一)

10. 如图，在$□ ABCD$中，$DE⊥ AB$于点E，$BF⊥ AD$，交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式.
(2)若$AB=10$，$DE=2.5$，$BF=5$，求BC的长.

10.【解】(1)$AB,BC,BF,DE$这四条线段成比例. 比例式为
$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}.$ 【点拨】$\because$在$□ ABCD$中,$DE⊥ AB,BF⊥ AD$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF.$
易知 $BC=AD,\therefore AB· DE=BC· BF$,即$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}.$
(2)$\because \frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$,且 $AB=10,DE=2.5,BF=5$,
$\therefore \frac{10}{BC}=\frac{5}{2.5}$,解得 $BC=5.$