登录
1. [2026合肥三十八中学期中]已知直线$l_1:y=2x-5$与直线$l_2:y=ax-b$相交于点$P(m,1)$，则方程组$\begin{cases}2x-y-5=0,\\ax-y-b=0\end{cases}$的解为（ ）
A.$\begin{cases}x=-3,\\y=-1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-3,\\y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=-3,\\y=-1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-3,\\y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=3,\\y=1\end{cases}$
答案
1.D
解析
【分析】要解这道题，首先要明确两个核心关系：①一次函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式；②两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式对应的二元一次方程组的解。解题时先利用点P在l₁上的条件求出m的值，得到P点坐标，再结合一次函数与方程组的关系直接得到方程组的解。
【解析】
∵ 点$P(m,1)$在直线$l_1:y=2x-5$上，
∴ 将$y=1$代入$y=2x-5$，得：
$1=2m-5$
解得$m=3$
∴ 点P的坐标为$(3,1)$
又
∵ 两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
∴ 方程组$\begin{cases}2x-y-5=0\\ax-y-b=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
故选D。
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】本题是基础类常考题，解题的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，同时需要熟练掌握代入法求函数图象上点的坐标，是对一次函数和二元一次方程基础概念的综合考查。
【难度系数】0.8
【解析】
∵ 点$P(m,1)$在直线$l_1:y=2x-5$上，
∴ 将$y=1$代入$y=2x-5$，得：
$1=2m-5$
解得$m=3$
∴ 点P的坐标为$(3,1)$
又
∵ 两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
∴ 方程组$\begin{cases}2x-y-5=0\\ax-y-b=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
故选D。
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】本题是基础类常考题，解题的核心是理解一次函数与二元一次方程组的对应关系，同时需要熟练掌握代入法求函数图象上点的坐标，是对一次函数和二元一次方程基础概念的综合考查。
【难度系数】0.8
2. 2026·蚌埠期中 新考法·数形结合法 一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=mx+n$的图象如图所示，下列结论错误的是（
A.当$x＜0$时，$y_1＞y_2$
B.当$x＞2$时，$y_1＞0$
C.关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\mx - y = -n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
D.$bn＞0$
A
）A.当$x＜0$时，$y_1＞y_2$
B.当$x＞2$时，$y_1＞0$
C.关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - y = -b, \\mx - y = -n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=3\end{cases}$
D.$bn＞0$
答案
2.A 【点拨】A. 观察题图知，当$x＜0$时，直线$y_2=mx+n$在直线$y_1=ax+b$的上方，则$y_2＞y_1$，故选项A错误；
B. 观察题图知，当$x＞2$时，$y_1＞3＞0$，故选项B正确；
C. 关于$x,y$的方程组 $\begin{cases}ax-y=-b,\\mx-y=-n\end{cases}$的解是一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=mx+n$图象的交点坐标，由题图知，两直线交于点$(2,3)$，则方程组 $\begin{cases}ax-y=-b,\\mx-y=-n\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$ 故选项C正确；D. 由题图知，两直线与$y$轴的交点在$x$轴的上方，即$b＞0,n＞0$，所以$bn＞0$，故选项D正确；故选A.
B. 观察题图知，当$x＞2$时，$y_1＞3＞0$，故选项B正确；
C. 关于$x,y$的方程组 $\begin{cases}ax-y=-b,\\mx-y=-n\end{cases}$的解是一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=mx+n$图象的交点坐标，由题图知，两直线交于点$(2,3)$，则方程组 $\begin{cases}ax-y=-b,\\mx-y=-n\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$ 故选项C正确；D. 由题图知，两直线与$y$轴的交点在$x$轴的上方，即$b＞0,n＞0$，所以$bn＞0$，故选项D正确；故选A.
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象性质及其与二元一次方程组的关系，解题时需结合图象信息逐一分析选项：首先明确两个一次函数图象的交点坐标为(2,3)，且$y_1$随$x$增大而增大、$y_2$随$x$增大而减小，两函数与$y$轴交点都在正半轴；再根据“同一$x$值下，图象位置越高函数值越大”判断函数值大小关系，根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”判断方程组的解，根据图象与$y$轴交点位置判断$b、n$的符号，最终选出错误的结论。
【解析】
结合图象信息逐个分析选项：
A. 观察图象可知，当$x＜0$时，直线$y_2=mx+n$位于直线$y_1=ax+b$的上方，说明此时$y_2＞y_1$，故A选项结论错误；
B. $y_1=ax+b$的图象过点$(2,3)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＞2$时，$y_1＞3＞0$，故B选项结论正确；
C. 原方程组$\begin{cases}ax - y = -b \\mx - y = -n\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=ax+b \\y=mx+n\end{cases}$，二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，由图可知两直线交点为$(2,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$，故C选项结论正确；
D. 一次函数与$y$轴交点的纵坐标就是解析式的常数项，由图可知两直线与$y$轴交点都在$x$轴上方，因此$b＞0$，$n＞0$，所以$bn＞0$，故D选项结论正确。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式
【点评】
本题是典型的数形结合类题型，需要结合一次函数图象的升降趋势、交点位置、与坐标轴交点位置分析函数值大小、方程组解及参数符号，熟练掌握一次函数相关性质、理解图象的几何意义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的图象性质及其与二元一次方程组的关系，解题时需结合图象信息逐一分析选项：首先明确两个一次函数图象的交点坐标为(2,3)，且$y_1$随$x$增大而增大、$y_2$随$x$增大而减小，两函数与$y$轴交点都在正半轴；再根据“同一$x$值下，图象位置越高函数值越大”判断函数值大小关系，根据“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”判断方程组的解，根据图象与$y$轴交点位置判断$b、n$的符号，最终选出错误的结论。
【解析】
结合图象信息逐个分析选项：
A. 观察图象可知，当$x＜0$时，直线$y_2=mx+n$位于直线$y_1=ax+b$的上方，说明此时$y_2＞y_1$，故A选项结论错误；
B. $y_1=ax+b$的图象过点$(2,3)$，且$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＞2$时，$y_1＞3＞0$，故B选项结论正确；
C. 原方程组$\begin{cases}ax - y = -b \\mx - y = -n\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=ax+b \\y=mx+n\end{cases}$，二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，由图可知两直线交点为$(2,3)$，因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$，故C选项结论正确；
D. 一次函数与$y$轴交点的纵坐标就是解析式的常数项，由图可知两直线与$y$轴交点都在$x$轴上方，因此$b＞0$，$n＞0$，所以$bn＞0$，故D选项结论正确。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式
【点评】
本题是典型的数形结合类题型，需要结合一次函数图象的升降趋势、交点位置、与坐标轴交点位置分析函数值大小、方程组解及参数符号，熟练掌握一次函数相关性质、理解图象的几何意义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3.若方程组$\begin{cases}y=kx+3, \\ y=(3k+1)x+2\end{cases}$无解，则函数$y=kx-2$的图象不经过第 ______ 象限.
答案
3.一 【点拨】因为方程组 $\begin{cases}y=kx+3, \\ y=(3k+1)x+2\end{cases}$ 无解，所以$k=3k+1$，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$. 则一次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x-2$ 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.
解析
【分析】
解题时首先明确二元一次方程组无解的几何意义：当两个二元一次方程对应的一次函数图象互相平行时，方程组没有解，此时两个一次函数的一次项系数相等，常数项不相等。因此第一步先根据这个性质列出关于k的方程，求出k的取值；第二步把k代入函数$y=kx-2$，根据一次函数的一次项系数（斜率）和常数项（截距）的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
因为方程组$\begin{cases}y=kx+3, \\ y=(3k+1)x+2\end{cases}$无解，说明两个方程对应的一次函数图象平行，只需满足一次项系数相等即可（本题中常数项3≠2，已经满足截距不等的条件）：
列方程得：$k=3k+1$
移项计算：$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
将$k=-\dfrac{1}{2}$代入$y=kx-2$，得函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-2$。
对于一次函数$y=ax+b$：
一次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；
常数项$-2＜0$，图象与y轴交于负半轴，经过第三象限。
因此该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题解题核心是掌握方程组无解对应两个一次函数图象平行的性质，再结合一次函数的图象性质判断经过的象限，属于基础综合题，熟练掌握一次函数和二元一次方程的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确二元一次方程组无解的几何意义：当两个二元一次方程对应的一次函数图象互相平行时，方程组没有解，此时两个一次函数的一次项系数相等，常数项不相等。因此第一步先根据这个性质列出关于k的方程，求出k的取值；第二步把k代入函数$y=kx-2$，根据一次函数的一次项系数（斜率）和常数项（截距）的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
因为方程组$\begin{cases}y=kx+3, \\ y=(3k+1)x+2\end{cases}$无解，说明两个方程对应的一次函数图象平行，只需满足一次项系数相等即可（本题中常数项3≠2，已经满足截距不等的条件）：
列方程得：$k=3k+1$
移项计算：$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
将$k=-\dfrac{1}{2}$代入$y=kx-2$，得函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x-2$。
对于一次函数$y=ax+b$：
一次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；
常数项$-2＜0$，图象与y轴交于负半轴，经过第三象限。
因此该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题解题核心是掌握方程组无解对应两个一次函数图象平行的性质，再结合一次函数的图象性质判断经过的象限，属于基础综合题，熟练掌握一次函数和二元一次方程的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4.若直线$y=-a_1x+b_1$与直线$y=a_2x+b_2$有唯一交点，则二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+y=b_1, \\a_2x-y=-b_2\end{cases}$的解的情况是（ ）
A.无解
B.有唯一解
C.有两组解
D.有无数组解
A.无解
B.有唯一解
C.有两组解
D.有无数组解
答案
4.B
解析
【分析】
解题首先要回忆一次函数和二元一次方程组的对应关系：两个一次函数的交点坐标，就是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来我们先把题目给出的两条直线的解析式变形，验证是否和题干中的二元一次方程组一致。若二者一致，则直线的交点情况就对应方程组的解的情况：两直线有唯一交点对应方程组有唯一解，两直线平行对应方程组无解，两直线重合对应方程组有无数组解。本题已知两直线有唯一交点，验证解析式对应后即可直接得到答案。
【解析】
先将两条直线的解析式变形为二元一次方程形式：
1. 对直线$y=-a_1x+b_1$，移项可得$a_1x + y = b_1$，与题干中方程组的第一个方程完全相同；
2. 对直线$y=a_2x+b_2$，移项可得$a_2x - y = -b_2$，与题干中方程组的第二个方程完全相同。
因此题干中的二元一次方程组就是这两条直线的解析式联立得到的。根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，已知两条直线有唯一交点，说明该方程组有且只有1组解，即有唯一解。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的转化 2.二元一次方程组解与直线交点的对应关系
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题型，解题核心是掌握一次函数解析式和二元一次方程的等价转化，明确直线交点个数与对应方程组解的个数的对应规律，熟练掌握该规律可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆一次函数和二元一次方程组的对应关系：两个一次函数的交点坐标，就是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。接下来我们先把题目给出的两条直线的解析式变形，验证是否和题干中的二元一次方程组一致。若二者一致，则直线的交点情况就对应方程组的解的情况：两直线有唯一交点对应方程组有唯一解，两直线平行对应方程组无解，两直线重合对应方程组有无数组解。本题已知两直线有唯一交点，验证解析式对应后即可直接得到答案。
【解析】
先将两条直线的解析式变形为二元一次方程形式：
1. 对直线$y=-a_1x+b_1$，移项可得$a_1x + y = b_1$，与题干中方程组的第一个方程完全相同；
2. 对直线$y=a_2x+b_2$，移项可得$a_2x - y = -b_2$，与题干中方程组的第二个方程完全相同。
因此题干中的二元一次方程组就是这两条直线的解析式联立得到的。根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应联立方程组的解，已知两条直线有唯一交点，说明该方程组有且只有1组解，即有唯一解。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的转化 2.二元一次方程组解与直线交点的对应关系
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题型，解题核心是掌握一次函数解析式和二元一次方程的等价转化，明确直线交点个数与对应方程组解的个数的对应规律，熟练掌握该规律可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x + 7y = 14, \\ kx + 14y = 28,\end{cases}$当$k$ ______ 时，方程组有且只有一组解；当$k$ ______ 时，方程组有无数组解。
答案
5.≠6；=6
点方法 两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系：
(1)两条直线有一个交点$⇔$方程组只有一组解；
(2)两条直线无交点(平行)$⇔$方程组无解；
(3)两条直线有无数个交点(重合)$⇔$方程组有无数组解.
点方法 两条直线交点的个数与二元一次方程组解的个数的关系：
(1)两条直线有一个交点$⇔$方程组只有一组解；
(2)两条直线无交点(平行)$⇔$方程组无解；
(3)两条直线有无数个交点(重合)$⇔$方程组有无数组解.
解析
【分析】
要判断二元一次方程组解的个数，可结合二元一次方程组解的判定规则，根据两个方程对应系数的比值关系判断，也可转化为两个一次函数图象的位置关系分析：首先确定方程组中两个方程各对应项的系数，再分别根据“有唯一解时对应一次项系数比不相等”“有无数组解时所有对应系数比均相等”的条件列关系求解k的取值即可。
【解析】
对于二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$，解的个数判定规则为：
1. 若$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，对应两条直线相交，方程组有且只有一组解；
2. 若$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，对应两条直线重合，方程组有无数组解。
本题中方程组为$\begin{cases}3x + 7y = 14 \\ kx + 14y = 28 \end{cases}$，对应系数为$a_1=3,b_1=7,c_1=14,a_2=k,b_2=14,c_2=28$，先计算得$\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$。
若方程组有且只有一组解，需满足$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，即$\frac{3}{k} ≠ \frac{1}{2}$，解得$k ≠ 6$；
若方程组有无数组解，需满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，即$\frac{3}{k}=\frac{1}{2}$，解得$k=6$。
【答案】
≠6；=6
【知识点】
二元一次方程组解的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查二元一次方程组解的个数的判定，既可通过系数比例关系直接计算，也可结合一次函数图象相交、重合的特征理解，掌握解的个数和对应系数比的关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
要判断二元一次方程组解的个数，可结合二元一次方程组解的判定规则，根据两个方程对应系数的比值关系判断，也可转化为两个一次函数图象的位置关系分析：首先确定方程组中两个方程各对应项的系数，再分别根据“有唯一解时对应一次项系数比不相等”“有无数组解时所有对应系数比均相等”的条件列关系求解k的取值即可。
【解析】
对于二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$，解的个数判定规则为：
1. 若$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，对应两条直线相交，方程组有且只有一组解；
2. 若$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，对应两条直线重合，方程组有无数组解。
本题中方程组为$\begin{cases}3x + 7y = 14 \\ kx + 14y = 28 \end{cases}$，对应系数为$a_1=3,b_1=7,c_1=14,a_2=k,b_2=14,c_2=28$，先计算得$\frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$。
若方程组有且只有一组解，需满足$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$，即$\frac{3}{k} ≠ \frac{1}{2}$，解得$k ≠ 6$；
若方程组有无数组解，需满足$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，即$\frac{3}{k}=\frac{1}{2}$，解得$k=6$。
【答案】
≠6；=6
【知识点】
二元一次方程组解的判定；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题考查二元一次方程组解的个数的判定，既可通过系数比例关系直接计算，也可结合一次函数图象相交、重合的特征理解，掌握解的个数和对应系数比的关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知直线$l_1:y=3x+1$与y轴交于点A,且和直线$l_2:y=mx+n$交于点$P(-2,a)$.根据以上信息,解答下列问题:
(1)a的值为
(2)不解关于x,y的方程组$\begin{cases}y=3x+1,\\y=mx+n,\end{cases}$请你直接写出它的解;
(3)当直线$l_1,l_2$表示的两个一次函数的值都大于0时,恰好$x＞3$,求直线$l_2$对应的函数表达式.
(1)a的值为
-5
;(2)不解关于x,y的方程组$\begin{cases}y=3x+1,\\y=mx+n,\end{cases}$请你直接写出它的解;
(3)当直线$l_1,l_2$表示的两个一次函数的值都大于0时,恰好$x＞3$,求直线$l_2$对应的函数表达式.
答案
6.【解】(1)$-5$ 【点拨】因为点$P(-2,a)$在直线$y=3x+1$上，所以$a=3×(-2)+1=-5$.
(2)它的解为 $\begin{cases}x=-2,\\y=-5.\end{cases}$
(3)因为直线$l_1,l_2$表示的两个一次函数的值都大于0时，恰好$x＞3$，所以直线$l_2$过点$(3,0)$.
又因为直线$l_2$过点$P(-2,-5)$，
所以 $\begin{cases}3m+n=0,\\-2m+n=-5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-3.\end{cases}$
所以直线$l_2$对应的函数表达式为$y=x-3$.
(2)它的解为 $\begin{cases}x=-2,\\y=-5.\end{cases}$
(3)因为直线$l_1,l_2$表示的两个一次函数的值都大于0时，恰好$x＞3$，所以直线$l_2$过点$(3,0)$.
又因为直线$l_2$过点$P(-2,-5)$，
所以 $\begin{cases}3m+n=0,\\-2m+n=-5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-3.\end{cases}$
所以直线$l_2$对应的函数表达式为$y=x-3$.
解析
【分析】
(1) 求a的值时，已知点$P(-2,a)$在直线$l_1:y=3x+1$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将$x=-2$代入$l_1$的解析式即可计算出a的值。
(2) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$P(-2,a)$，求出a后即可直接得到方程组的解。
(3) 求直线$l_2$的解析式需要先确定$l_2$经过的两个点的坐标：首先由“两个一次函数值都大于0时恰好$x＞3$”分析，$l_1$函数值大于0的解集为$x＞-\frac{1}{3}$，因此要使两个函数同时大于0的解集为$x＞3$，说明$l_2$函数值大于0的解集是$x＞3$，即$l_2$与x轴交于点$(3,0)$；再结合$l_2$过点$P(-2,-5)$，将两个点坐标代入$y=mx+n$，解关于m、n的方程组即可求出$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 将点$P(-2,a)$代入$y=3x+1$，得：
$a=3×(-2)+1=-5$
(2) 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知两直线交于点$P(-2,-5)$，因此方程组$\begin{cases}y=3x+1\\y=mx+n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}$。
(3) 由题意，两个一次函数值都大于0时解集为$x＞3$。
先求$l_1$函数值大于0的解集：令$3x+1＞0$，解得$x＞-\frac{1}{3}$，因此可知$l_2$函数值大于0的解集为$x＞3$，即$l_2$与x轴交于点$(3,0)$。
又$l_2$过点$P(-2,-5)$，将$(3,0)$和$(-2,-5)$代入$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}3m+n=0\\-2m+n=-5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5m=5$，解得$m=1$。
将$m=1$代入$3m+n=0$，得$3+n=0$，解得$n=-3$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=x-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{y=x-3}$
【知识点】
一次函数的点坐标特征；一次函数与二元一次方程组；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，能结合不等式解集确定函数与坐标轴的交点，侧重考查基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值时，已知点$P(-2,a)$在直线$l_1:y=3x+1$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将$x=-2$代入$l_1$的解析式即可计算出a的值。
(2) 二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$P(-2,a)$，求出a后即可直接得到方程组的解。
(3) 求直线$l_2$的解析式需要先确定$l_2$经过的两个点的坐标：首先由“两个一次函数值都大于0时恰好$x＞3$”分析，$l_1$函数值大于0的解集为$x＞-\frac{1}{3}$，因此要使两个函数同时大于0的解集为$x＞3$，说明$l_2$函数值大于0的解集是$x＞3$，即$l_2$与x轴交于点$(3,0)$；再结合$l_2$过点$P(-2,-5)$，将两个点坐标代入$y=mx+n$，解关于m、n的方程组即可求出$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 将点$P(-2,a)$代入$y=3x+1$，得：
$a=3×(-2)+1=-5$
(2) 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知两直线交于点$P(-2,-5)$，因此方程组$\begin{cases}y=3x+1\\y=mx+n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}$。
(3) 由题意，两个一次函数值都大于0时解集为$x＞3$。
先求$l_1$函数值大于0的解集：令$3x+1＞0$，解得$x＞-\frac{1}{3}$，因此可知$l_2$函数值大于0的解集为$x＞3$，即$l_2$与x轴交于点$(3,0)$。
又$l_2$过点$P(-2,-5)$，将$(3,0)$和$(-2,-5)$代入$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}3m+n=0\\-2m+n=-5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$5m=5$，解得$m=1$。
将$m=1$代入$3m+n=0$，得$3+n=0$，解得$n=-3$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=x-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{y=x-3}$
【知识点】
一次函数的点坐标特征；一次函数与二元一次方程组；待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，能结合不等式解集确定函数与坐标轴的交点，侧重考查基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
7. ★★ [2026合肥第五十中学期中] 如图，在平面直角坐标系中，若直线$y_1=-x+a$与直线$y_2=bx-4$相交于点$P$，则下列结论错误的是（
A.方程$-x+a=bx-4$的解是$x=1$
B.不等式$-x+a＜-3$和不等式$bx-4＞-3$的解集相同
C.不等式组$bx-4＜-x+a＜0$的解集是$-2＜x＜1$
D.方程组$\begin{cases}y+x=a, \\ y-bx=4\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\ y=-3\end{cases}$
D
）A.方程$-x+a=bx-4$的解是$x=1$
B.不等式$-x+a＜-3$和不等式$bx-4＞-3$的解集相同
C.不等式组$bx-4＜-x+a＜0$的解集是$-2＜x＜1$
D.方程组$\begin{cases}y+x=a, \\ y-bx=4\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\ y=-3\end{cases}$
答案
7.D 【点拨】A. 根据两直线交点$P$的坐标是$(1,-3)$，得方程$-x+a=bx-4$的解是$x=1$，故选项A正确；B. 根据不等式$-x+a＜-3$的解集是$x＞1$，不等式$bx-4＞-3$的解集是$x＞1$，得到不等式$-x+a＜-3$和不等式$bx-4＞-3$的解集相同，故选项B正确；C. 把$P(1,-3)$的坐标代入$y_1=-x+a$，解得$a=-2$，所以$y_1=-x-2$. 当$y_1=-x-2=0$时，$x=-2$，所以不等式$-x+a＜0$的解集是$x＞-2$，易得不等式$bx-4＜-x+a$的解集是$x＜1$，所以不等式组$bx-4＜-x+a＜0$的解集是$-2＜x＜1$，故选项C正确；D. 根据题图可知方程组 $\begin{cases}y+x=a, \\ y-bx=-4\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=1, \\ y=-3,\end{cases}$ 故选项D不正确. 故选D.
解析
【分析】
解题的核心是先从图象中获取两条直线的交点P的坐标为(1,-3)，再结合一次函数与方程、不等式的关系逐个判断选项：①两个一次函数值相等时对应的x值就是交点的横坐标；②一次函数的不等式解集可结合函数的增减性、图象的上下位置关系判断；③二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，注意解析式变形后要和方程组对应。
【解析】
由图象可知，直线$y_1=-x+a$与$y_2=bx-4$的交点P的坐标为$(1,-3)$。
选项A：方程$-x+a=bx-4$的解是两个函数值相等时对应的x值，即交点的横坐标，因此解为$x=1$，该选项结论正确。
选项B：$y_1=-x+a$中y随x增大而减小，因此$-x+a＜-3$（即$y_1＜-3$）的解集为$x＞1$；$y_2=bx-4$中y随x增大而增大，因此$bx-4＞-3$（即$y_2＞-3$）的解集为$x＞1$，两个不等式解集相同，该选项结论正确。
选项C：将$P(1,-3)$代入$y_1=-x+a$，得$-3=-1+a$，解得$a=-2$，因此$y_1=-x-2$。令$y_1=0$，得$-x-2=0$，解得$x=-2$，因此$-x+a＜0$（即$y_1＜0$）的解集为$x＞-2$；$bx-4＜-x+a$即$y_2＜y_1$，由图象可知交点左侧$y_2$在$y_1$下方，对应解集为$x＜1$。因此不等式组的解集为$-2＜x＜1$，该选项结论正确。
选项D：原函数解析式变形为$\begin{cases}y+x=a \\ y-bx=-4\end{cases}$，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-3\end{cases}$，而选项中第二个方程为$y-bx=4$，与解析式变形结果不符，该选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与方程（组），一次函数与不等式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数和方程、不等式的综合应用，解题关键是熟练掌握数形结合思想，利用交点坐标和函数图象的位置关系判断方程的解、不等式的解集，需要注意方程组和函数解析式变形后的对应关系，避免看错符号出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先从图象中获取两条直线的交点P的坐标为(1,-3)，再结合一次函数与方程、不等式的关系逐个判断选项：①两个一次函数值相等时对应的x值就是交点的横坐标；②一次函数的不等式解集可结合函数的增减性、图象的上下位置关系判断；③二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，注意解析式变形后要和方程组对应。
【解析】
由图象可知，直线$y_1=-x+a$与$y_2=bx-4$的交点P的坐标为$(1,-3)$。
选项A：方程$-x+a=bx-4$的解是两个函数值相等时对应的x值，即交点的横坐标，因此解为$x=1$，该选项结论正确。
选项B：$y_1=-x+a$中y随x增大而减小，因此$-x+a＜-3$（即$y_1＜-3$）的解集为$x＞1$；$y_2=bx-4$中y随x增大而增大，因此$bx-4＞-3$（即$y_2＞-3$）的解集为$x＞1$，两个不等式解集相同，该选项结论正确。
选项C：将$P(1,-3)$代入$y_1=-x+a$，得$-3=-1+a$，解得$a=-2$，因此$y_1=-x-2$。令$y_1=0$，得$-x-2=0$，解得$x=-2$，因此$-x+a＜0$（即$y_1＜0$）的解集为$x＞-2$；$bx-4＜-x+a$即$y_2＜y_1$，由图象可知交点左侧$y_2$在$y_1$下方，对应解集为$x＜1$。因此不等式组的解集为$-2＜x＜1$，该选项结论正确。
选项D：原函数解析式变形为$\begin{cases}y+x=a \\ y-bx=-4\end{cases}$，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-3\end{cases}$，而选项中第二个方程为$y-bx=4$，与解析式变形结果不符，该选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与方程（组），一次函数与不等式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数和方程、不等式的综合应用，解题关键是熟练掌握数形结合思想，利用交点坐标和函数图象的位置关系判断方程的解、不等式的解集，需要注意方程组和函数解析式变形后的对应关系，避免看错符号出错。
【难度系数】
0.7
