8.(2025·江都区期末)机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是:分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图).已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2,则此“莱洛三角形”的面积为 ()

A.$\sqrt{3}$
B.$2π - 3\sqrt{3}$
C.$\frac{2π}{3} - \sqrt{3}$
D.$2π - 2\sqrt{3}$

8.D

9.(2025·烟台)如图,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心,AB的长为半径作圆心角为$120°$的扇形,则图中阴影部分的面积为.

9.$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$

10.(2025·济宁模拟)如图,在每个小正方形的边长均为1的网格图中,一段圆弧经过格点A,B,C,格点C,D的连线交$\overset{\frown}{BC}$于点E,则$\overset{\frown}{EC}$的长为.

10.$\frac{\sqrt{13}}{4}π$

11.(2025·淮安模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于点D,E.
(1)求证:BD=DE;
(2)若∠ABC=60°,AB=2,求阴影部分的面积.

11.解:(1)如答图,连接 AD. $\because$ 以 AB 为直径画半圆 O,
$\therefore∠ ADB=90°$,即$AD⊥ BC$.
又$\because AB=AC,\therefore∠ BAD=∠ EAD,\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$.
(2)如答图,连接 OE,过点 O 作$OF⊥ AC$于点 F.
$\because AB=2,\therefore OA=OB=1$.
$\because AB=AC,∠ ABC=60°$,
$\therefore△ ABC$为等边三角形,$\therefore∠ BAC=60°$.
又$\because OA=OE,\therefore△ AOE$为等边三角形,
$\therefore∠ AOE=60°,OA=AE=1,AF=\frac{1}{2},\therefore OF=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAE}-S_{△ AOE}=\frac{60×π×1^2}{360}-\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.