12.五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道。已知汽车在避险车道上的速度$v$随路程$x$的关系式为$v^2=5\sqrt{26}x$，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100 m，则刚进入避险车道时的速度是（）

A.$10\sqrt{26}$ m/s
B.$\sqrt{26}$ m/s
C.20 m/s
D.$5\sqrt{26}$ m/s

12.A ［解析］
∵避险车道坡比为 1：5,汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为 100 m,
∴汽车在避险的斜坡竖直高度为 20 m,由勾股定理得,汽车进入避险车道行驶的距离为 $\sqrt{20^2+100^2}=20\sqrt{26}\ (\mathrm{m})$, 则 $v^2=5\sqrt{26}×20\sqrt{26}$, 解得 $v=10\sqrt{26}$.

13.如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中$AD // BC$，$CD ⊥ AC$，$AD ⊥ AB$，已知AB长为3 cm，$\tan∠ ACB=\frac{3}{4}$，则AD的长为（）

A.4 cm
B.5 cm
C.$\frac{15}{4}$ cm
D.$\frac{25}{4}$ cm

13.D ［解析］在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$.$\because AB=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore \frac{3}{BC}=\frac{3}{4}$, 即 $BC=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5\ (\mathrm{cm})$.$\because AD// BC$,$\therefore ∠ DAC=∠ ACB$,$\therefore \tan∠ ACB=\tan∠ DAC=\frac{3}{4}$.在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$CD⊥ AC$,$\therefore \tan∠ DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{4}$, 即 $\frac{CD}{5}=\frac{3}{4}$,$\therefore CD=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}$,$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\frac{25}{4}\ \mathrm{cm}$.

14.如图是地铁入口双翼闸机示意图.已知双翼边缘AC=BD=60 cm,与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30°,双翼展开时端点A,B的间距为8 cm.当双翼收起时,可通过闸机的物体最大宽度为 cm.

第14题图 第15题图

14.68 ［解析］过 $A$ 作 $AE⊥ CP$ 于 $E$,过 $B$ 作 $BF⊥ DQ$ 于 $F$,则$\mathrm{Rt}△ACE$ 中,$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30\ (\mathrm{cm})$,同理可得,$BF=30\ \mathrm{cm}$.又
∵点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 8 cm,
∴通过闸机的物体的最大宽度为 $30+8+30=68\ (\mathrm{cm})$.

15.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足$50°≤α≤75°$.现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是 m（结果精确到0.1，参考数据$\sin50°\approx0.77,\cos50°\approx0.64,\sin75°\approx0.97,\cos75°\approx0.26$）。

15.5.8

16.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东$60°$方向上.为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮在A处调整航向，沿着北偏东$30°$方向航行到B处后，再沿着南偏东$75°$方向航行40 n mile到达码头C.求货轮从A到码头C的距离.(结果保留根号)

16.解:过 $B$ 作 $BD⊥ AC$ 于 $D$,由题意可知$∠ BAC=30°$,$∠ ABC=105°$,$BC=40\ \mathrm{n\ mile}$,$\therefore ∠ C=180°-30°-105°=45°$.
∵在$\mathrm{Rt}△BCD$中,$∠ BDC=90°$,$\therefore BD=BC· \sin ∠ C=BC· \sin 45°=20\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$,$CD=BC· \cos 45°=20\sqrt{2}\ \mathrm{n\ mile}$.
∵在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$∠ BDA=90°$,$\therefore AD=\frac{BD}{\tan 30°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=20\sqrt{6}\ (\mathrm{n\ mile})$,$\therefore AC=AD+CD=(20\sqrt{6}+20\sqrt{2})\ \mathrm{n\ mile}$,$\therefore$ 货轮从 $A$ 到码头 $C$ 的直线距离为$(20\sqrt{6}+20\sqrt{2})\ \mathrm{n\ mile}$.

17.如图是某小区电瓶车车库入口的示意图，斜坡AB的坡比$i=5:12$（即$CE:AC=5:12$），水平宽度$AC=7.2$ m.入口处限高杆$CD⊥AC$，$CD=0.4$ m.延长$CD$交斜坡AB于点E.
(1)求DE的长度；
(2)按规定车库入口需标明限高数值，即点D到斜坡AB的垂直距离，求出该限高值.

17.解:(1)由题意可知$\frac{CE}{AC}=\frac{5}{12}$.
∵$AC=7.2\ \mathrm{m}$,$\therefore CE=3\ \mathrm{m}$.
∵$CD=0.4\ \mathrm{m}$,$\therefore DE=3-0.4=2.6(\mathrm{m})$,$\therefore DE$ 的长度为 $2.6\ \mathrm{m}$.
(2)过点 $D$ 作 $DH⊥ AB$ 于点 $H$,如图.
∵$∠ EDH+∠ DEH=∠ CAB+∠ DEH=90°$,$\therefore ∠ EDH=∠ CAB$.
∵$\tan∠ CAB=\frac{5}{12}$,$\therefore \tan∠ EDH=\tan∠ CAB=\frac{5}{12}$,$\therefore \frac{EH}{DH}=\frac{5}{12}$,$\therefore$ 设 $EH=5x$,$DH=12x$,$\therefore DE=\sqrt{DH^2+EH^2}=\sqrt{(12x)^2+(5x)^2}=13x$.
∵$DE=2.6\ \mathrm{m}$,$\therefore 13x=2.6$,解得 $x=0.2$,$\therefore DH=12x=12×0.2=2.4(\mathrm{m})$,$\therefore$ 该车库入口的限高数值为 $2.4\ \mathrm{m}$.