1[中]在平面直角坐标系中,已知点A与点B关于x轴对称,点B与点C关于y轴对称,点A的坐标为(-1,2),则点C的坐标为 ()

A.(-1,2)
B.(1,-2)
C.(-1,-2)
D.(2,-1)

1.B 【解析】
$A(-1,2)\xrightarrow[对称]{关于x轴}B(-1,-2)\xrightarrow[对称]{关于y轴}C(1,-2)$
故选B.

【分析】
解题首先要明确平面直角坐标系中两类对称的坐标变化规律：①关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们可以先根据点A的坐标和A、B的对称关系求出点B的坐标，再根据B、C的对称关系推导点C的坐标即可。
【解析】
已知点A的坐标为(-1,2)，点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得点B的坐标为(-1,-2)。
又因为点B与点C关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得点C的坐标为(1,-2)。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标规律、关于y轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点的坐标变换，熟练掌握不同对称方式下坐标的变化规则是解题的核心，按照对称关系逐步推导即可快速得到结果，属于基础类的坐标应用题。
【难度系数】
0.7

2[较难]如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A坐标是(1,2),则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 ()


A.(1,-2)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)

2.C 【解析】点A第1次关于y轴对称后在第二象限,点A第2次关于x轴对称后在第三象限,点A第3次关于y轴对称后在第四象限,点A第4次关于x轴对称后在第一象限,即点A回到原始位置,所以每4次对称为一个循环组,依次循环.因为2021÷4=505……1,所以点A经过第2021次变换后的位置与第1次变换后的位置相同,在第二象限,坐标为(-1,2).故选C.

【分析】
解题时首先明确坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。我们可以先计算点A前几次变换后的坐标，找到循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数即可判断第2021次变换后点A的坐标。
【解析】
已知初始点A的坐标为(1,2)：
1. 第1次关于y轴对称后，点A坐标为(-1,2)，在第二象限；
2. 第2次关于x轴对称后，点A坐标为(-1,-2)，在第三象限；
3. 第3次关于y轴对称后，点A坐标为(1,-2)，在第四象限；
4. 第4次关于x轴对称后，点A坐标变回(1,2)，回到初始位置。
由此可知每4次变换为一个循环周期，规律重复出现。
计算$2021÷4=505······1$，即2021次变换包含505个完整周期，余1次变换，因此第2021次变换后点A的坐标与第1次变换后的坐标相同，为(-1,2)。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称坐标特征
2. 周期规律探究
【点评】
本题是轴对称变换与规律探究的结合题型，解题核心是熟练掌握坐标轴对称的坐标变化规律，通过列举前几次变换结果确定循环周期，再利用余数定位最终坐标，能有效考查对基础知识的应用和规律探究能力。
【难度系数】
0.6

3[2026重庆两江新区质检,中]平面直角坐标系中,点$Q(2-a,2a+3)$在$x$轴上,点$Q$与点$M$关于$y$轴对称,则点$M$的坐标为.

3.$\boldsymbol{(-\dfrac{7}{2},0)}$ 【解析】由条件可知2a+3=0,所以a=-$\frac{3}{2}$,所以点Q$(\frac{7}{2},0)$,所以M$(-\frac{7}{2},0)$.故答案为$(-\frac{7}{2},0)$.

【分析】
解题时先抓住两个核心条件推导：第一，点Q在x轴上，而x轴上所有点的纵坐标均为0，据此可列方程求出a的值，进而得到点Q的完整坐标；第二，关于y轴对称的点有固定的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，利用该规律就能由点Q的坐标求出对称点M的坐标。
【解析】
解：
∵点$Q(2-a,2a+3)$在x轴上，x轴上的点纵坐标为0，
∴$2a+3=0$，
解得$a=-\dfrac{3}{2}$，
将$a=-\dfrac{3}{2}$代入点Q的横坐标得：$2-a=2-(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{7}{2}$，
∴点Q的坐标为$(\dfrac{7}{2},0)$，
∵点Q与点M关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，
∴点M的横坐标为$-\dfrac{7}{2}$，纵坐标为0，即$M(-\dfrac{7}{2},0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{7}{2},0)}$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标性质
【点评】
本题结合坐标的轴对称变化考查平面直角坐标系内特殊位置点的坐标规律，解题关键是熟记特殊位置点的坐标特征以及轴对称对应的坐标变化规则，属于基础类常考题，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.75

4[中]如图,在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形,其中点$A(-6,6)$的对称点$A'$坐标为$(0,6)$,点$M(m,n)$为图形上的一点,则点$M$在图形上的对称点坐标为.

4.$\boldsymbol{(-6-m,n)}$ 【解析】因为点A(-6,6)的对称点A'坐标为(0,6),所以该图形对称轴为直线x=-3.设点M在图形上的对称点坐标为(m',n'),所以$\frac{m+m'}{2}=-3$,n'=n,所以m'=-6-m,所以点M在图形上的对称点坐标为(-6-m,n).故答案为(-6-m,n).

【分析】
首先，题目给出图形是轴对称图形，且已知一组对称点A和A'的坐标，解题第一步要先确定图形的对称轴。观察A、A'的坐标可发现两点纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，因此对称轴是两点连线的垂直平分线，即过两点横坐标中点且垂直于x轴的直线。求出对称轴后，再根据关于垂直于x轴的直线对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标的平均数等于对称轴对应的x值，就可以求出点M的对称点坐标。
【解析】
解：
∵点$A(-6,6)$的对称点为$A'(0,6)$，两点纵坐标相等
∴该轴对称图形的对称轴为直线$x=\frac{-6+0}{2}=-3$
设点$M(m,n)$的对称点坐标为$(m',n')$
根据关于直线$x=-3$对称的点的坐标性质：
① 对称点纵坐标不变，即$n'=n$
② 两点横坐标的平均数等于对称轴的x值，即$\frac{m+m'}{2}=-3$
对$\frac{m+m'}{2}=-3$变形求解，得$m'=-6-m$
∴点M的对称点坐标为$(-6-m,n)$
【答案】
$\boldsymbol{(-6-m,n)}$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 关于直线对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查轴对称图形中对称点坐标的求解，解题核心是先利用已知对称点确定对称轴，再结合轴对称的坐标变换规律计算未知点的对称点坐标，掌握对称点的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5[2026江西南昌质检,中]如图,在平面直角坐标系中,已知$A(-1,0),B(3,0),C(2,3)$,在平面内取一点$Q$(点$Q$是不同于点$C$的点),若以$A,B,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$全等,则符合条件的点$Q$的坐标为.

5.$\boldsymbol{(0,3)或(0,-3)或(2,-3)}$ 【解析】如图,作线段AB的垂直平分线DE,作C(2,3)关于直线DE的对称点Q₁,再分别作C(2,3)和Q₁关于x轴的对称点Q₂,Q₃,将Q₁,Q₂,Q₃分别与A,B连接,则△ABC与△BAQ₁关于直线DE对称,所以△ABC≌△BAQ₁,此时Q₁(0,3).因为Q₁(0,3)关于x轴的对称点是Q₃(0,-3),C(2,3)关于x轴的对称点是Q₂(2,-3),所以△ABQ₁与△ABQ₃关于x轴对称,△ABC与△ABQ₂关于x轴对称,所以△ABQ₁≌△ABQ₃,△ABC≌△ABQ₂,所以△ABQ₃≌△BAC.综上所述,点Q的坐标为(0,3)或(0,-3)或(2,-3),故答案为(0,3)或(0,-3)或(2,-3).

【分析】
要找到与$△ ABC$全等且以$A,B,Q$为顶点的点$Q$，首先注意到$AB$是两个三角形的公共边，可借助轴对称的性质找对应点，避免漏解：1. 先确定$AB$的位置，$AB$在x轴上，分$Q$在x轴上方、下方两种情况讨论；2. x轴上方除点$C$外，可找$C$关于$AB$垂直平分线的对称点，此时两个三角形沿垂直平分线折叠可重合，即全等；3. x轴下方可分别找上方两个符合条件的点关于x轴的对称点，沿x轴折叠重合，也满足全等，最后排除点$C$即可。
【解析】
已知$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(2,3)$：
1. 求$AB$的垂直平分线：$AB$中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},0)=(1,0)$，$AB$沿x轴放置，故垂直平分线为直线$x=1$。
2. 找$C$关于直线$x=1$的对称点$Q_1$：对称点纵坐标与$C$相同，横坐标满足到$x=1$的距离相等，即$1-(2-1)=0$，故$Q_1(0,3)$，此时$△ ABC ≌ △ BAQ_1$，符合条件。
3. 找$C$关于x轴的对称点$Q_2$：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，故$Q_2(2,-3)$，此时$△ ABC ≌ △ ABQ_2$，符合条件。
4. 找$Q_1$关于x轴的对称点$Q_3$：同理得$Q_3(0,-3)$，此时$△ ABC ≌ △ BAQ_3$，符合条件。
三个点均不同于点$C$，均满足要求。
【答案】
$\boldsymbol{(0,3)}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$或$\boldsymbol{(2,-3)}$
【知识点】
全等三角形的判定；轴对称的性质；坐标与对称变化
【点评】
本题考查全等三角形与轴对称的结合应用，解题时利用对称性质可快速定位符合条件的点，需注意分类讨论$Q$的位置，避免漏解，是对几何图形性质和坐标运算的综合考查。
【难度系数】
0.6

6[2025黑龙江哈尔滨质检,中]如图,在平面直角坐标系中,直线l为第一、三象限的角平分线.点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点,记为$P_1$,点$P_1$关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记为$P_2$.例如,点$(-1,2)$的一次反射点为$(1,2)$,二次反射点为$(2,1)$.根据定义,回答下列问题:(1)点$(3,-4)$的一次反射点为,二次反射点为;(2)若$P(m+1,2n-1)$的一次反射点和$Q(-3,4)$的二次反射点重合,求$m+n$的值.
刷素养 走向重高

6.【解】(1)根据题意,可得点(3,-4)的一次反射点为(-3,-4),二次反射点为(-4,-3).故答案为(-3,-4),(-4,-3).
(2)因为P(m+1,2n-1),所以P的一次反射点为(-m-1,2n-1).因为Q(-3,4),所以Q的一次反射点为(3,4),Q的二次反射点为(4,3).因为P(m+1,2n-1)的一次反射点和Q(-3,4)的二次反射点重合,所以-m-1=4,2n-1=3,所以m=-5,n=2,所以m+n=-5+2=-3.

【分析】
首先明确题中两次反射的规则：一次反射是点关于y轴对称，坐标规律为横坐标变为相反数，纵坐标不变；二次反射是一次反射后的点再关于第一、三象限角平分线（直线$y=x$）对称，坐标规律为横、纵坐标互换。第(1)问直接按照两次反射的坐标变换规则依次计算即可；第(2)问先分别求出P的一次反射点坐标、Q的二次反射点坐标，再根据两点重合则横、纵坐标分别相等，列方程求出m、n的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
(1) 一次反射为点关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此点$(3,-4)$的一次反射点为$(-3,-4)$；
直线$l$是第一、三象限角平分线，即直线$y=x$，关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，因此$(-3,-4)$关于直线$l$的对称点为$(-4,-3)$，即二次反射点为$(-4,-3)$。
(2) ①求$P$的一次反射点：已知$P(m+1,2n-1)$，关于$y$轴对称后横坐标变为$-(m+1)=-m-1$，纵坐标不变，因此$P$的一次反射点为$(-m-1, 2n-1)$；
②求$Q(-3,4)$的二次反射点：先求$Q$的一次反射点，$Q(-3,4)$关于$y$轴对称的点为$(3,4)$，再求$(3,4)$关于直线$y=x$的对称点，横纵坐标互换得$(4,3)$，即$Q$的二次反射点为$(4,3)$；
③根据两点重合的性质列方程：两点重合则横、纵坐标分别相等，可得
$\begin{cases}-m-1=4 \\2n-1=3 \end{cases}$
解得$m=-5$，$n=2$，因此$m+n=-5+2=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-3,-4)}$，$\boldsymbol{(-4,-3)}$
(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 关于y轴对称的坐标特征
2. 关于直线$y=x$对称的坐标特征
3. 点重合的坐标性质
【点评】
本题结合新定义“反射点”考查坐标的对称变换，解题核心是准确理解两次反射对应的坐标变化规律，再利用点重合的性质建立方程求解，整体考查对新定义的理解能力和基础计算能力，掌握常见坐标对称的规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

7 核心素养 几何直观 [难]如图,已知三点$A(1,2)$,$B(1,3)$,$C(0,6)$,点$P$为$y$轴上一动点.
(1)在图中找到点$P$,使得$△ OAP$与$△ CBP$周长的和取得最小值,此时点$P$的坐标应为;
(2)当$∠ APB=40°$时,$∠ OAP+∠ PBC$的度数为.

7.(1)$\boldsymbol{(0,\dfrac{5}{2})}$ (2)$\boldsymbol{175°}$ 【解析】(1)如图(1),因为A(1,2),B(1,3),C(0,6),所以OA,BC是定长,所以当点P在线段OC上,AP+BP的值最小时,△OAP与△CBP周长的和取得最小值.因为OP+PC=OC=6,所以△OAP与△CBP周长的和为OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP,所以当AP+BP的值最小时,△OAP与△CBP周长的和取得最小值.作点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则A'B与y轴的交点即为所求的点P.易得A'(-1,2),P是A'B的中点,所以$P(\frac{1-1}{2},\frac{2+3}{2})$,即$P(0,\frac{5}{2})$.故答案为$(0,\frac{5}{2})$.

(2)如图(2),过点B作BD⊥OC于D,作点A关于y轴的对称点A',AA'交y轴于点E,连接A'B,OA',OB,AB.
因为CD=OD=3,所以易得BC=OB,所以∠BCO=∠BOC.
由轴对称的性质得OA=OA',∠OAE=∠OA'E,∠AOE=∠A'OE.
因为AB=AE=1,AA'=OE=2,∠BAA'=∠AEO=90°,所以△A'AB≌△OEA(SAS),所以∠BA'A=∠AOE,A'B=OA=OA'.因为∠AOE+∠OAE=90°,所以∠OA'E+∠AA'B=90°,即∠BA'O=90°.因为A'B=OA',所以△OA'B是等腰直角三角形,所以∠BOA'=45°,所以∠BOD+∠A'OE=∠BCD+∠AOE=45°.因为∠APB=40°,所以∠ABP+∠BAP=140°,所以∠OAP+∠PBC=360°-140°-45°=175°,故答案为175°.

【分析】
(1) 先拆分两个三角形的周长：$△ OAP$的周长为$OA+AP+OP$，$△ CBP$的周长为$BC+BP+PC$，其中$OA$、$BC$为定长，$OP+PC=OC$也为定值，因此要让周长和最小，只需让$AP+BP$最小即可，属于典型的将军饮马最短路径问题：作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，连接$A'B$，与$y$轴的交点即为所求$P$，再结合坐标计算$P$的坐标即可。
(2) 求解角度和时，先通过作辅助线结合轴对称性质证明三角形全等，推导得到相关角的和为$45°$，再结合三角形内角和得到$∠ ABP+∠ BAP$的度数，最终通过角的和差关系计算所求角度和。
【解析】
(1) 已知$A(1,2)$，$B(1,3)$，$C(0,6)$，$OA$、$BC$为固定长度，且$OP+PC=OC=6$也为定值，因此两个三角形的周长和为：
$OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP$，当$AP+BP$最小时，周长和取得最小值。
作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，根据轴对称性质$AP=A'P$，因此$AP+BP=A'P+BP$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$A'P+BP$最小，即$AP+BP$最小。
易得$A'$坐标为$(-1,2)$，观察$A'(-1,2)$、$B(1,3)$，两点连线的中点在$y$轴上，中点坐标为$(\dfrac{-1+1}{2},\dfrac{2+3}{2})$，即$P(0,\dfrac{5}{2})$。

(2) 过点$B$作$BD⊥ OC$于$D$，作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，$AA'$交$y$轴于点$E$，连接$A'B$、$OA'$、$OB$、$AB$。
由$C(0,6)$、$B(1,3)$得$CD=6-3=3$，$OD=3$，即$CD=OD$，且$BD⊥ OC$，因此$BD$垂直平分$OC$，可得$BC=OB$，$∠ BCO=∠ BOC$。
由轴对称性质得$OA=OA'$，$∠ OAE=∠ OA'E$，$∠ AOE=∠ A'OE$。
已知$AB=3-2=1$，$AE=1$，$AA'=1-(-1)=2$，$OE=2$，且$∠ BAA'=∠ AEO=90°$，因此$△ A'AB≌△ OEA(\mathrm{SAS})$，可得$∠ BA'A=∠ AOE$，$A'B=OA=OA'$。
因为$∠ AOE+∠ OAE=90°$，因此$∠ OA'E+∠ BA'A=90°$，即$∠ BA'O=90°$，又$A'B=OA'$，因此$△ OA'B$是等腰直角三角形，$∠ BOA'=45°$，即$∠ BOD+∠ A'OE=∠ BCO+∠ AOE=45°$。
在$△ ABP$中，$∠ APB=40°$，因此$∠ ABP+∠ BAP=180°-40°=140°$。
结合角的和差关系可得：$∠ OAP+∠ PBC=360°-140°-45°=175°$。

【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,\dfrac{5}{2})}$ (2) $\boldsymbol{175°}$
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查轴对称的应用，既涉及将军饮马模型求解最短路径对应的点坐标，又结合全等三角形、三角形内角和求解角度，需要熟练掌握轴对称的转化思路，能灵活构造辅助线梳理角的数量关系，对几何直观能力要求较高。
【难度系数】
0.3