登录
11 多项式$2x^m y^{n-1} - 4x^{m-1}y^n$（m，n均为大于1的整数）各项的公因式为 （
A.$4x^{m-1}y^{n-1}$
B.$2x^{m-1}y^{n-1}$
C.$2x^m y^n$
D.$4x^m y^n$
B
）A.$4x^{m-1}y^{n-1}$
B.$2x^{m-1}y^{n-1}$
C.$2x^m y^n$
D.$4x^m y^n$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按照“先定系数，再定相同字母的指数”的步骤思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找相同字母的最低次幂，二者相乘就是公因式。先看系数，两项系数是2和-4，最大公约数是2，可直接排除系数为4的A、D选项；再看相同字母的指数，x的次数分别为m和m-1，最低次幂是m-1，y的次数分别为n-1和n，最低次幂是n-1，组合后即可得到公因式。
【解析】
找公因式的步骤如下：
1. 确定系数部分的公因式：两项的系数分别为2和-4，它们的最大公约数是2，因此排除系数为4的A、D选项；
2. 确定字母x的公因式：两项中x的次数分别为m和m-1，相同字母取最低次幂，因此x的公因式为$x^{m-1}$，排除x次数为m的C选项；
3. 确定字母y的公因式：两项中y的次数分别为$n-1$和$n$，取最低次幂，因此y的公因式为$y^{n-1}$；
综上，两项的公因式为$2x^{m-1}y^{n-1}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题的关键是牢记找公因式的规则：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，掌握规则即可快速得出答案，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要确定多项式各项的公因式，需按照“先定系数，再定相同字母的指数”的步骤思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找相同字母的最低次幂，二者相乘就是公因式。先看系数，两项系数是2和-4，最大公约数是2，可直接排除系数为4的A、D选项；再看相同字母的指数，x的次数分别为m和m-1，最低次幂是m-1，y的次数分别为n-1和n，最低次幂是n-1，组合后即可得到公因式。
【解析】
找公因式的步骤如下：
1. 确定系数部分的公因式：两项的系数分别为2和-4，它们的最大公约数是2，因此排除系数为4的A、D选项；
2. 确定字母x的公因式：两项中x的次数分别为m和m-1，相同字母取最低次幂，因此x的公因式为$x^{m-1}$，排除x次数为m的C选项；
3. 确定字母y的公因式：两项中y的次数分别为$n-1$和$n$，取最低次幂，因此y的公因式为$y^{n-1}$；
综上，两项的公因式为$2x^{m-1}y^{n-1}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题的关键是牢记找公因式的规则：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，掌握规则即可快速得出答案，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
12 若$m - n = -2$，$mn = 1$，则$m^3n + mn^3$的值为 （
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
A
解析
【分析】
首先观察所求代数式$m^3n + mn^3$的结构，两项都含有公因式$mn$，因此第一步先提取公因式，得到$mn(m^2 + n^2)$。此时已知$mn$的值，只需求出$m^2 + n^2$的值即可。结合已知条件$m-n=-2$、$mn=1$，联想到完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对公式变形即可得到$m^2 + n^2=(m-n)^2+2mn$，代入已知数值就能求出$m^2 + n^2$，最后整体代入即可算出结果。
【解析】
解：对所求代数式先提取公因式：
$m^3n + mn^3 = mn(m^2 + n^2)$
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + n^2=(m-n)^2 + 2mn$
将$m-n=-2$，$mn=1$代入上式：
$m^2 + n^2=(-2)^2 + 2×1=4+2=6$
再代入因式分解后的式子：
原式$=1×6=6$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是代数求值类的常见基础题，解题核心是先对所求式子因式分解，再结合完全平方公式的变形，将未知部分转化为用已知条件表示的形式，通过整体代入计算得到结果，不需要单独求出$m$、$n$的值，能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$m^3n + mn^3$的结构，两项都含有公因式$mn$，因此第一步先提取公因式，得到$mn(m^2 + n^2)$。此时已知$mn$的值，只需求出$m^2 + n^2$的值即可。结合已知条件$m-n=-2$、$mn=1$，联想到完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对公式变形即可得到$m^2 + n^2=(m-n)^2+2mn$，代入已知数值就能求出$m^2 + n^2$，最后整体代入即可算出结果。
【解析】
解：对所求代数式先提取公因式：
$m^3n + mn^3 = mn(m^2 + n^2)$
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + n^2=(m-n)^2 + 2mn$
将$m-n=-2$，$mn=1$代入上式：
$m^2 + n^2=(-2)^2 + 2×1=4+2=6$
再代入因式分解后的式子：
原式$=1×6=6$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是代数求值类的常见基础题，解题核心是先对所求式子因式分解，再结合完全平方公式的变形，将未知部分转化为用已知条件表示的形式，通过整体代入计算得到结果，不需要单独求出$m$、$n$的值，能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
13 教材 P127 习题 T8 变式 △ABC 的三边长分别为a,b,c，且$a + 2ab = c + 2bc$，则△ABC是
等腰
三角形。答案
等腰
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先根据已知等式推导三边的数量关系。首先对等式进行移项，将含a和含c的项分别归类，再用提公因式法对等式左边因式分解，结合三角形边长为正数的隐含条件，即可得到两条边相等，进而判断三角形类型。
【解析】
已知$a + 2ab = c + 2bc$，
移项得：$a - c + 2ab - 2bc = 0$，
分组后提公因式：$(a - c) + 2b(a - c) = 0$，
提取公因式$(a - c)$得：$(a - c)(1 + 2b) = 0$，
∵三角形的边长均为正数，
∴$b＞0$，即$1 + 2b ＞ 0$，$1 + 2b ≠ 0$，
∴只能$a - c = 0$，即$a = c$，
∴△ABC有两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
提公因式法分解因式；等腰三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的基础综合题，解题核心是通过提公因式对等式变形，结合边长为正的隐含条件推导边的等量关系，能很好地考查对提公因式法的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需先根据已知等式推导三边的数量关系。首先对等式进行移项，将含a和含c的项分别归类，再用提公因式法对等式左边因式分解，结合三角形边长为正数的隐含条件，即可得到两条边相等，进而判断三角形类型。
【解析】
已知$a + 2ab = c + 2bc$，
移项得：$a - c + 2ab - 2bc = 0$，
分组后提公因式：$(a - c) + 2b(a - c) = 0$，
提取公因式$(a - c)$得：$(a - c)(1 + 2b) = 0$，
∵三角形的边长均为正数，
∴$b＞0$，即$1 + 2b ＞ 0$，$1 + 2b ≠ 0$，
∴只能$a - c = 0$，即$a = c$，
∴△ABC有两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
提公因式法分解因式；等腰三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题是因式分解与三角形判定的基础综合题，解题核心是通过提公因式对等式变形，结合边长为正的隐含条件推导边的等量关系，能很好地考查对提公因式法的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
14 教材 P127 习题 T4 变式 把下列各式分解因式：
(1) $-5a^2b^3 +20ab^2 -5ab$；
(2) $(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)$；
(3) $(x+y)(x-y)-(x+y)^2$；
(4) $5x(x-2y)^2 -20(2y-x)^3$。
(1) $-5a^2b^3 +20ab^2 -5ab$；
(2) $(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x)$；
(3) $(x+y)(x-y)-(x+y)^2$；
(4) $5x(x-2y)^2 -20(2y-x)^3$。
答案
(1) $-5ab(ab^2-4b+1)$ (2) $2(2x-y)(x+2y)$ (3) $-2y(x+y)$ (4) $5(x-2y)^2(5x-8y)$
解析
【分析】
这组题均采用提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（含多项式因式）的最低次幂，若多项式首项为负，通常公因式带负号；②若存在互为相反数的因式，先利用符号法则转化为相同因式，如$y-2x=-(2x-y)$、$(2y-x)^3=-(x-2y)^3$；③提取公因式后，合并剩余部分的同类项，检查结果是否分解彻底，不要漏写常数项。
【解析】
(1) 观察得各项公因式为$-5ab$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=-5ab· ab^2 + (-5ab)· (-4b) + (-5ab)· 1\\&=-5ab(ab^2-4b+1)\end{aligned}$
(2) 先将$y-2x$变形为$-(2x-y)$，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=(2x-y)(x+3y) - (x+y)·[-(2x-y)]\\&=(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)\\&=(2x-y)[(x+3y)+(x+y)]\\&=(2x-y)(2x+4y)\\&=2(2x-y)(x+2y)\end{aligned}$
(3) 观察得各项公因式为$(x+y)$，提取公因式后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=(x+y)(x-y-x-y)\\&=(x+y)(-2y)\\&=-2y(x+y)\end{aligned}$
(4) 先将$(2y-x)^3$变形为$-(x-2y)^3$，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=5x(x-2y)^2 -20·[-(x-2y)^3]\\&=5x(x-2y)^2 +20(x-2y)^3\\&=5(x-2y)^2[x+4(x-2y)]\\&=5(x-2y)^2(x+4x-8y)\\&=5(x-2y)^2(5x-8y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-5ab(ab^2-4b+1)$
(2) $2(2x-y)(x+2y)$
(3) $-2y(x+y)$
(4) $5(x-2y)^2(5x-8y)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，因式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意隐含的互为相反数的多项式因式的转化，提取公因式后要合并剩余同类项，避免出现符号错误和漏项的问题，分解后的结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
这组题均采用提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（含多项式因式）的最低次幂，若多项式首项为负，通常公因式带负号；②若存在互为相反数的因式，先利用符号法则转化为相同因式，如$y-2x=-(2x-y)$、$(2y-x)^3=-(x-2y)^3$；③提取公因式后，合并剩余部分的同类项，检查结果是否分解彻底，不要漏写常数项。
【解析】
(1) 观察得各项公因式为$-5ab$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=-5ab· ab^2 + (-5ab)· (-4b) + (-5ab)· 1\\&=-5ab(ab^2-4b+1)\end{aligned}$
(2) 先将$y-2x$变形为$-(2x-y)$，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=(2x-y)(x+3y) - (x+y)·[-(2x-y)]\\&=(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)\\&=(2x-y)[(x+3y)+(x+y)]\\&=(2x-y)(2x+4y)\\&=2(2x-y)(x+2y)\end{aligned}$
(3) 观察得各项公因式为$(x+y)$，提取公因式后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=(x+y)(x-y-x-y)\\&=(x+y)(-2y)\\&=-2y(x+y)\end{aligned}$
(4) 先将$(2y-x)^3$变形为$-(x-2y)^3$，统一公因式：
$\begin{aligned}原式&=5x(x-2y)^2 -20·[-(x-2y)^3]\\&=5x(x-2y)^2 +20(x-2y)^3\\&=5(x-2y)^2[x+4(x-2y)]\\&=5(x-2y)^2(x+4x-8y)\\&=5(x-2y)^2(5x-8y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-5ab(ab^2-4b+1)$
(2) $2(2x-y)(x+2y)$
(3) $-2y(x+y)$
(4) $5(x-2y)^2(5x-8y)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，因式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意隐含的互为相反数的多项式因式的转化，提取公因式后要合并剩余同类项，避免出现符号错误和漏项的问题，分解后的结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.7
15 (1) 已知 $ x + 5y = 6 $，利用因式分解求 $ x^2 + 5xy + 30y $ 的值；
(2) 已知 $ 2x - y = \frac{1}{3} $，$ xy = 2 $，利用因式分解求 $ 2x^4y^3 - x^3y^4 $ 的值；
(3) 已知 $ x + y = 2026 $，$ xy = -\frac{1}{2} $，利用因式分解求 $ x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2 $ 的值。
(2) 已知 $ 2x - y = \frac{1}{3} $，$ xy = 2 $，利用因式分解求 $ 2x^4y^3 - x^3y^4 $ 的值；
(3) 已知 $ x + y = 2026 $，$ xy = -\frac{1}{2} $，利用因式分解求 $ x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2 $ 的值。
答案
(1) $\because x+5y=6,\therefore x^2+5xy+30y=x(x+5y)+30y=6x+30y=6(x+5y)=36$
(2) $\because 2x-y=\frac{1}{3},xy=2,\therefore 2x^4y^3-x^3y^4=(xy)^3(2x-y)=2^3×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$
(3) $\because x+y=2026,xy=-\frac{1}{2},\therefore x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2=-2xy·(x+y)=-2×(-\frac{1}{2})×2026=2026$
(2) $\because 2x-y=\frac{1}{3},xy=2,\therefore 2x^4y^3-x^3y^4=(xy)^3(2x-y)=2^3×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$
(3) $\because x+y=2026,xy=-\frac{1}{2},\therefore x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2=-2xy·(x+y)=-2×(-\frac{1}{2})×2026=2026$
解析
【分析】
这三道题均考查利用提公因式法因式分解结合整体代入思想求代数式的值，无需单独求解未知数，可简化计算：
(1) 观察待求式前两项$x^2+5xy$，可提取公因式$x$得到$x(x+5y)$，代入已知$x+5y=6$后得到$6x+30y$，再次提取公因式6即可凑出$x+5y$的整体形式，代入求值即可；
(2) 待求式$2x^4y^3 -x^3y^4$的公因式为$x^3y^3$，提取后可变形为$(xy)^3(2x-y)$，直接代入已知的$2x-y$和$xy$的值即可计算；
(3) 待求式两项的公因式为$x(x+y)$，提取公因式后对剩余部分化简，即可得到含$x+y$和$xy$的式子，代入已知值计算即可。
【解析】
(1) $\because x+5y=6$，
$\therefore x^2+5xy+30y=x(x+5y)+30y=6x+30y=6(x+5y)=6×6=36$；
(2) $\because 2x-y=\frac{1}{3},xy=2$，
$\therefore 2x^4y^3-x^3y^4=x^3y^3(2x-y)=(xy)^3(2x-y)=2^3×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$；
(3) $\because x+y=2026,xy=-\frac{1}{2}$，
$\therefore x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=x(x+y)·(-2y)=-2xy(x+y)=-2×(-\frac{1}{2})×2026=2026$。
【答案】
(1) $\boxed{36}$；(2) $\boxed{\dfrac{8}{3}}$；(3) $\boxed{2026}$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题属于因式分解的应用类题型，解题关键是准确找到待求式的公因式，通过提公因式将待求式转化为含有已知条件的整体形式，无需单独求解未知数，大幅简化运算过程，重点考察对提公因式法的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查利用提公因式法因式分解结合整体代入思想求代数式的值，无需单独求解未知数，可简化计算：
(1) 观察待求式前两项$x^2+5xy$，可提取公因式$x$得到$x(x+5y)$，代入已知$x+5y=6$后得到$6x+30y$，再次提取公因式6即可凑出$x+5y$的整体形式，代入求值即可；
(2) 待求式$2x^4y^3 -x^3y^4$的公因式为$x^3y^3$，提取后可变形为$(xy)^3(2x-y)$，直接代入已知的$2x-y$和$xy$的值即可计算；
(3) 待求式两项的公因式为$x(x+y)$，提取公因式后对剩余部分化简，即可得到含$x+y$和$xy$的式子，代入已知值计算即可。
【解析】
(1) $\because x+5y=6$，
$\therefore x^2+5xy+30y=x(x+5y)+30y=6x+30y=6(x+5y)=6×6=36$；
(2) $\because 2x-y=\frac{1}{3},xy=2$，
$\therefore 2x^4y^3-x^3y^4=x^3y^3(2x-y)=(xy)^3(2x-y)=2^3×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$；
(3) $\because x+y=2026,xy=-\frac{1}{2}$，
$\therefore x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=x(x+y)·(-2y)=-2xy(x+y)=-2×(-\frac{1}{2})×2026=2026$。
【答案】
(1) $\boxed{36}$；(2) $\boxed{\dfrac{8}{3}}$；(3) $\boxed{2026}$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题属于因式分解的应用类题型，解题关键是准确找到待求式的公因式，通过提公因式将待求式转化为含有已知条件的整体形式，无需单独求解未知数，大幅简化运算过程，重点考察对提公因式法的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
