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1 两个矩形的位置如图所示，若$∠ 1=130°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$60°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$50°$
（第1题）
D
）A.$60°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$50°$
（第1题）答案
1. D
解析
【分析】
解题可按照三步思路推进：第一步，结合平角定义，先求出与∠1相邻的角的度数；第二步，回忆矩形的性质，矩形对边互相平行且四个内角都是直角；第三步，利用平行线的内错角相等的性质，推导∠2和第一步求出的角的等量关系，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为$180°$，已知$∠1=130°$
∴ 与∠1相邻的角的度数为：$180° - 130° = 50°$
又
∵ 矩形的对边互相平行，根据平行线内错角相等的性质
可得$∠2$和上述求出的$50°$的角为相等的内错角
即$∠2=50°$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将矩形性质和平行线、平角的知识点结合考查，解题的核心是找准图形中角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题可按照三步思路推进：第一步，结合平角定义，先求出与∠1相邻的角的度数；第二步，回忆矩形的性质，矩形对边互相平行且四个内角都是直角；第三步，利用平行线的内错角相等的性质，推导∠2和第一步求出的角的等量关系，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为$180°$，已知$∠1=130°$
∴ 与∠1相邻的角的度数为：$180° - 130° = 50°$
又
∵ 矩形的对边互相平行，根据平行线内错角相等的性质
可得$∠2$和上述求出的$50°$的角为相等的内错角
即$∠2=50°$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、平角的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将矩形性质和平行线、平角的知识点结合考查，解题的核心是找准图形中角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
2 [2025 内江]如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值是
5
.答案
2. 5
解析
【分析】
首先观察点G、H分别是BE、EF的中点，可联想到三角形中位线定理，由此得到GH与BF的数量关系：$GH=\frac{1}{2}BF$，因此求GH的最大值可转化为求BF的最大值。由于F是CD边上的动点，B为定点，只需找到CD上距离B点最远的点，即可得到BF的最大值，进而求出GH的最大值。
【解析】
连接BF，
∵ G是BE的中点，H是EF的中点，
∴ GH是△BEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$GH=\frac{1}{2}BF$，
因此当BF取最大值时，GH取得最大值。
在矩形ABCD中，F在边CD上运动，当F与点D重合时，BF的长度最大，此时BF为矩形的对角线BD。
已知AB=8，AD=6，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∴ GH的最大值为$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是利用三角形中位线完成线段的转化，将求双动点相关的线段最值问题转化为求定点到动点的线段最值，巧妙运用转化思想降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
首先观察点G、H分别是BE、EF的中点，可联想到三角形中位线定理，由此得到GH与BF的数量关系：$GH=\frac{1}{2}BF$，因此求GH的最大值可转化为求BF的最大值。由于F是CD边上的动点，B为定点，只需找到CD上距离B点最远的点，即可得到BF的最大值，进而求出GH的最大值。
【解析】
连接BF，
∵ G是BE的中点，H是EF的中点，
∴ GH是△BEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$GH=\frac{1}{2}BF$，
因此当BF取最大值时，GH取得最大值。
在矩形ABCD中，F在边CD上运动，当F与点D重合时，BF的长度最大，此时BF为矩形的对角线BD。
已知AB=8，AD=6，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∴ GH的最大值为$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是利用三角形中位线完成线段的转化，将求双动点相关的线段最值问题转化为求定点到动点的线段最值，巧妙运用转化思想降低了解题难度。
【难度系数】
0.6
3 已知矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论中，一定正确的是（
A.AC平分∠BAD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.AC⊥BD
C
）A.AC平分∠BAD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.AC⊥BD
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查矩形性质的应用，解题思路为先回忆矩形的基本性质，再逐一分析每个选项是否是所有矩形都满足的通用特征，排除仅特殊矩形（如正方形）才满足的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回顾矩形的核心性质：矩形的四个角均为直角，对边相等，对角线相等且互相平分，接下来逐个分析选项：
选项A：只有当矩形为正方形时，对角线AC才平分∠BAD，普通矩形不满足该结论，因此A不一定正确；
选项B：AB=BC表示矩形邻边相等，该性质仅正方形具备，普通矩形邻边仅互相垂直、并不相等，因此B不一定正确；
选项C：对角线相等是所有矩形都具备的基本性质，AC、BD是矩形的两条对角线，因此AC=BD一定成立，故C正确；
选项D：对角线互相垂直是菱形（含正方形）的性质，普通矩形的对角线仅相等、并不垂直，因此D不一定正确。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对矩形通用性质和特殊矩形专属性质的区分，只要熟练掌握矩形的基本性质，避免混淆矩形和菱形、正方形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查矩形性质的应用，解题思路为先回忆矩形的基本性质，再逐一分析每个选项是否是所有矩形都满足的通用特征，排除仅特殊矩形（如正方形）才满足的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回顾矩形的核心性质：矩形的四个角均为直角，对边相等，对角线相等且互相平分，接下来逐个分析选项：
选项A：只有当矩形为正方形时，对角线AC才平分∠BAD，普通矩形不满足该结论，因此A不一定正确；
选项B：AB=BC表示矩形邻边相等，该性质仅正方形具备，普通矩形邻边仅互相垂直、并不相等，因此B不一定正确；
选项C：对角线相等是所有矩形都具备的基本性质，AC、BD是矩形的两条对角线，因此AC=BD一定成立，故C正确；
选项D：对角线互相垂直是菱形（含正方形）的性质，普通矩形的对角线仅相等、并不垂直，因此D不一定正确。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对矩形通用性质和特殊矩形专属性质的区分，只要熟练掌握矩形的基本性质，避免混淆矩形和菱形、正方形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形.若点 B 的坐标为$(1,3)$,则 AC 的长是 (
A.3
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
C
)A.3
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等，可知AC的长度等于对角线OB的长度。接下来我们只需要计算原点O到点B的距离即可，已知O是坐标原点，坐标为(0,0)，点B坐标为(1,3)，可利用勾股定理（或两点间距离公式）计算OB的长度，进而得到AC的长。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，矩形的对角线相等，
∴ AC = OB。
∵ 点O为坐标原点，坐标为(0,0)，点B的坐标为(1,3)，
由勾股定理可得OB = √[(1-0)² + (3-0)²] = √(1 + 9) = √10，
∴ AC = OB = √10。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，将矩形的性质与平面直角坐标系中线段长度的计算结合考查，解题关键是利用矩形对角线相等的性质将未知线段转化为已知坐标两点间的线段进行计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等，可知AC的长度等于对角线OB的长度。接下来我们只需要计算原点O到点B的距离即可，已知O是坐标原点，坐标为(0,0)，点B坐标为(1,3)，可利用勾股定理（或两点间距离公式）计算OB的长度，进而得到AC的长。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，矩形的对角线相等，
∴ AC = OB。
∵ 点O为坐标原点，坐标为(0,0)，点B的坐标为(1,3)，
由勾股定理可得OB = √[(1-0)² + (3-0)²] = √(1 + 9) = √10，
∴ AC = OB = √10。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，将矩形的性质与平面直角坐标系中线段长度的计算结合考查，解题关键是利用矩形对角线相等的性质将未知线段转化为已知坐标两点间的线段进行计算。
【难度系数】
0.8
5 教材变式题 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若$∠ AOB=60°$,则$\frac{AB}{BC}=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
.答案
5. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：第一步回忆矩形对角线的性质，矩形对角线相等且互相平分，由此可得对角线交点O到A、B的距离OA=OB；第二步结合已知∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，从而得到AB和对角线AC的数量关系；第三步在直角△ABC中，利用勾股定理求出BC的长度表达式，最后代入计算AB与BC的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，∠ABC=90°，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∴AC=2OA=2AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2AB)^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{3}AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质的基础应用类题目，将矩形对角线的性质与等边三角形的判定相结合，再通过勾股定理计算边长比值，解题的关键是准确判断出△AOB为等边三角形，建立AB和AC的数量关系。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路思考：第一步回忆矩形对角线的性质，矩形对角线相等且互相平分，由此可得对角线交点O到A、B的距离OA=OB；第二步结合已知∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，从而得到AB和对角线AC的数量关系；第三步在直角△ABC中，利用勾股定理求出BC的长度表达式，最后代入计算AB与BC的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，∠ABC=90°，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∴AC=2OA=2AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2AB)^2-AB^2}=\sqrt{3}AB$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{3}AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质的基础应用类题目，将矩形对角线的性质与等边三角形的判定相结合，再通过勾股定理计算边长比值，解题的关键是准确判断出△AOB为等边三角形，建立AB和AC的数量关系。
【难度系数】
0.7
6 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.
（1）求证：AC=CE；
（2）若∠BOC=120°，CE=4，求AB的长.
（1）求证：AC=CE；
（2）若∠BOC=120°，CE=4，求AB的长.
答案
6. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,AC=BD.
∵ 点E在AB的延长线上,
∴ BE//CD.
∵ BD//CE,
∴ 四边形BDCE是平行四边形.
∴ BD=CE.
∴ AC=CE (2)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AC=BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,∠ABC=90°.
∴ OA=OB=OC=OD.
∵ ∠BOC=120°,
∴ ∠AOB=60°.
∴ △AOB为等边三角形.
∴ ∠OAB=60°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ACB=30°.
∵ CE=4,
∴ AC=4.
∴ AB=2
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,AC=BD.
∵ 点E在AB的延长线上,
∴ BE//CD.
∵ BD//CE,
∴ 四边形BDCE是平行四边形.
∴ BD=CE.
∴ AC=CE (2)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AC=BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,∠ABC=90°.
∴ OA=OB=OC=OD.
∵ ∠BOC=120°,
∴ ∠AOB=60°.
∴ △AOB为等边三角形.
∴ ∠OAB=60°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ACB=30°.
∵ CE=4,
∴ AC=4.
∴ AB=2
解析
【分析】
（1）要证明AC=CE，可先借助矩形对角线相等的性质得到AC=BD，再通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形BDCE为平行四边形，得到BD=CE，通过等量代换即可得证；（2）先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，结合∠BOC=120°推出△AOB是等边三角形，得到∠ACB=30°，再利用（1）的结论得到AC=CE=4，最后根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半求出AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AC=BD。
∵ 点E在AB的延长线上，
∴ BE//CD，
又
∵ BD//CE，
∴ 四边形BDCE是平行四边形，
∴ BD=CE，
∴ AC=CE。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，∠ABC=90°，
∴ OA=OB=OC=OD，
∵ ∠BOC=120°，
∴ ∠AOB=180°-∠BOC=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ ∠OAB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°-∠OAB=30°，
由（1）可知AC=CE，且CE=4，
∴ AC=4，
∴ AB=$\frac{1}{2}$AC=2。
【答案】
（1）AC=CE得证；（2）AB的长为2
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是矩形性质考查的常见基础题型，解题关键是熟练掌握矩形、平行四边形的性质，结合特殊角度的三角形特征推导线段间的数量关系。
【难度系数】
0.8
（1）要证明AC=CE，可先借助矩形对角线相等的性质得到AC=BD，再通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形BDCE为平行四边形，得到BD=CE，通过等量代换即可得证；（2）先利用矩形对角线互相平分且相等的性质，结合∠BOC=120°推出△AOB是等边三角形，得到∠ACB=30°，再利用（1）的结论得到AC=CE=4，最后根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半求出AB的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AC=BD。
∵ 点E在AB的延长线上，
∴ BE//CD，
又
∵ BD//CE，
∴ 四边形BDCE是平行四边形，
∴ BD=CE，
∴ AC=CE。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，∠ABC=90°，
∴ OA=OB=OC=OD，
∵ ∠BOC=120°，
∴ ∠AOB=180°-∠BOC=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ ∠OAB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°-∠OAB=30°，
由（1）可知AC=CE，且CE=4，
∴ AC=4，
∴ AB=$\frac{1}{2}$AC=2。
【答案】
（1）AC=CE得证；（2）AB的长为2
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是矩形性质考查的常见基础题型，解题关键是熟练掌握矩形、平行四边形的性质，结合特殊角度的三角形特征推导线段间的数量关系。
【难度系数】
0.8
7 [2025 德阳]如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处,使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$,连接$CD$,若$CD=1$,则$GE$的长为 (
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①$Rt△ ABC$中D是斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，先求出AB的长度；②$△ ABC$平移得到$△ EGF$，根据平移的性质，平移前后对应边相等，可得GE与AB的等量关系，进而求出GE的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，$CD=1$，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AB=2CD=2×1=2$。
又
∵ $△ ABC$沿CB方向向右平移至$△ EGF$处，
根据平移的性质，平移前后对应边相等，
∴ $GE=AB=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，平移的性质
【点评】
本题是几何基础题，将直角三角形的性质和平移的性质结合考查，解题关键是找到平移前后的对应边，以及识别直角三角形的斜边中线，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①$Rt△ ABC$中D是斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，先求出AB的长度；②$△ ABC$平移得到$△ EGF$，根据平移的性质，平移前后对应边相等，可得GE与AB的等量关系，进而求出GE的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，$CD=1$，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AB=2CD=2×1=2$。
又
∵ $△ ABC$沿CB方向向右平移至$△ EGF$处，
根据平移的性质，平移前后对应边相等，
∴ $GE=AB=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，平移的性质
【点评】
本题是几何基础题，将直角三角形的性质和平移的性质结合考查，解题关键是找到平移前后的对应边，以及识别直角三角形的斜边中线，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ CAB=90°$,$D$ 是线段 $AB$ 上任意一点(不与点 $A,B$ 重合),$DE⊥ BC$ 于点 $E$,$P$ 是线段 $CD$ 的中点. 请判断 $△ PAE$ 的形状,并说明理由.
答案
8. △PAE是等腰三角形 理由:
∵ DE⊥BC,
∴ ∠CED=∠CAD=90°.
∵ P是线段CD的中点,
∴ PA=$\frac{1}{2}$CD,PE=$\frac{1}{2}$CD.
∴ PA=PE.
∴ △PAE是等腰三角形.
∵ DE⊥BC,
∴ ∠CED=∠CAD=90°.
∵ P是线段CD的中点,
∴ PA=$\frac{1}{2}$CD,PE=$\frac{1}{2}$CD.
∴ PA=PE.
∴ △PAE是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△PAE的形状，可从边的数量关系入手分析。首先观察已知条件，存在两个以CD为斜边的直角三角形Rt△CAD和Rt△CED，且P是CD的中点。结合直角三角形斜边中线的性质，可分别推出PA、PE与CD的数量关系，进而得到PA和PE的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
解：△PAE是等腰三角形，理由如下：
∵ DE⊥BC，∠CAB=90°，
∴ ∠CED=∠CAD=90°。
∵ P是线段CD的中点，
∴ 在Rt△CAD中，PA是斜边CD的中线，PA=$\frac{1}{2}$CD；
在Rt△CED中，PE是斜边CD的中线，PE=$\frac{1}{2}$CD。
∴ PA=PE，
∴ △PAE是等腰三角形。
【答案】
△PAE是等腰三角形
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是发现两个共斜边的直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质推导边相等，即可快速判定三角形形状，能帮助大家巩固直角三角形和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
要判断△PAE的形状，可从边的数量关系入手分析。首先观察已知条件，存在两个以CD为斜边的直角三角形Rt△CAD和Rt△CED，且P是CD的中点。结合直角三角形斜边中线的性质，可分别推出PA、PE与CD的数量关系，进而得到PA和PE的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
解：△PAE是等腰三角形，理由如下：
∵ DE⊥BC，∠CAB=90°，
∴ ∠CED=∠CAD=90°。
∵ P是线段CD的中点，
∴ 在Rt△CAD中，PA是斜边CD的中线，PA=$\frac{1}{2}$CD；
在Rt△CED中，PE是斜边CD的中线，PE=$\frac{1}{2}$CD。
∴ PA=PE，
∴ △PAE是等腰三角形。
【答案】
△PAE是等腰三角形
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是发现两个共斜边的直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质推导边相等，即可快速判定三角形形状，能帮助大家巩固直角三角形和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
