9 [2025兰州]如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点,∠ADB＝35°,则∠DPE的度数为（）

A.95°
B.100°
C.110°
D.145°

9. C 【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,∠ADB = 35°,
∴ AD//BC,∠ABC=90°.
∴ ∠PBF=∠ADB=35°.
∵ P是EF的中点,
∴ PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线.
∴ PB=PF=PE.
∴ ∠PFB=∠PBF=35°. 在△PBF中,∠BPF=180°-(∠PFB+∠PBF)=110°,
∴ ∠DPE=∠BPF=110°.

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行，可将已知的∠ADB转化为BC边对应的内错角∠PBF；再观察到△BEF是直角三角形，P是斜边EF的中点，联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得△PBF为等腰三角形，两底角相等；接着利用三角形内角和求出∠BPF的度数，最后根据对顶角相等即可得到∠DPE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，∠ADB＝35°，
∴ AD//BC，∠ABC=90°，
∴ ∠PBF=∠ADB=35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ P为EF的中点，
∴ PB是Rt△BEF斜边EF上的中线，
∴ PB=PF=PE，
∴ ∠PFB=∠PBF=35°。
在△PBF中，根据三角形内角和为180°，
$∠ BPF=180°-(∠ PFB+∠ PBF)=180°-(35°+35°)=110°$，
∵ ∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴ $∠ DPE=∠ BPF=110°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，将矩形性质、特殊三角形的性质与角度计算结合考查，解题的关键是准确识别直角三角形，利用斜边中线的性质得到等角，再通过角度转化计算结果。
【难度系数】
0.7

10 如图，以$△ ABC$的边$AB$为对角线构造矩形$ADBE$，连接$DE$分别交$AB$，$AC$于点$O$，$F$，若$F$为$AC$的中点，$BD=5$，$AD=BC=12$，则$EF$的长为。

10. $\frac{1}{2}$ 【解析】
∵ 四边形ADBE是矩形,
∴ ∠ADB=90°,DE=AB,OA=OB=OD=OE. 在Rt△ABD中,AB=$\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,
∴ DE=13,OA=OB=OD=OE=6.5.
∵ O,F分别是AB,AC的中点,BC=12,
∴ OF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×12=6$.
∴ EF=OE-OF=6.5-6=$\frac{1}{2}$.

【分析】
解题思路可分为三步：首先，利用矩形的性质，得到直角三角形与对角线的关系，在Rt△ABD中用勾股定理求出AB的长度，进而得到对角线DE的长度和OE的长度；其次，结合O是AB中点、F是AC中点的条件，判断OF是△ABC的中位线，根据中位线定理求出OF的长度；最后，根据线段的和差关系，用OE减去OF即可得到EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ADBE是矩形，
∴ ∠ADB=90°，矩形对角线相等且互相平分，即$DE=AB$，$OA=OB=OD=OE$。
在Rt△ABD中，$BD=5$，$AD=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
∴ $DE=AB=13$，$OE=\frac{1}{2}DE=6.5$。
∵ O是AB中点，F是AC中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ $OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
∴ $EF=OE-OF=6.5-6=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查对基础几何性质的灵活运用，解题关键是通过矩形对角线的性质得到中点条件，结合中位线定理建立已知线段和所求线段的联系，计算量小，注重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.7

11 教材变式题 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE,过点C作CF//BD,交线段OE的延长线于点F,连接DF.
(1) 求证:$△ ODE ≌ △ FCE$;
(2) 猜想四边形$△ ODFC$是什么特殊四边形,并说明理由.

11. (1)
∵ CF//BD,
∴ ∠ODE=∠FCE.
∵ E是CD的中点,
∴ CE = DE. 在△ODE 和 △FCE 中,$\begin{cases} ∠ODE=∠FCE, \\ DE=CE, \\ ∠DEO=∠CEF, \end{cases}$
∴ △ODE≌△FCE (2) 四边形ODFC是菱形 理由:
∵ △ODE≌△FCE,
∴ OD = FC.
∵ CF//BD,
∴ 四边形ODFC是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ OC=OD.
∴ 四边形ODFC是菱形.

【分析】
(1) 要证明△ODE≌△FCE，先从已知条件推导全等所需的要素：由CF//BD可得一组内错角相等，E是CD中点可得一组边相等，再结合对顶角相等，即可用ASA判定定理证明两三角形全等。
(2) 先由全等的性质得到OD与FC相等，结合CF//BD可先判定四边形ODFC是平行四边形；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC=OD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ CF//BD，
∴ ∠ODE=∠FCE，
∵ E是CD的中点，
∴ CE = DE，
在△ODE 和 △FCE 中，
$\begin{cases} ∠ODE=∠FCE, \\ DE=CE, \\ ∠DEO=∠CEF, \end{cases}$
∴ △ODE≌△FCE（ASA）。
(2) 四边形ODFC是菱形，理由如下：
∵ △ODE≌△FCE，
∴ OD = FC，
∵ CF//BD，
∴ 四边形ODFC是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OC=OD，
∴ 平行四边形ODFC是菱形。
【答案】
(1) △ODE≌△FCE得证；
(2) 四边形ODFC是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了全等三角形证明、特殊四边形的性质与判定考点，解题时需按逻辑逐步推导，熟练掌握相关定理和几何证明的书写规范即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12 [2025长沙期末]如图,在矩形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BO,连接BG,OF.求证:
(1) $BO=OF$;
(2) 四边形BOFG为菱形.

12. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ OA=OC=OB=OD.
∵ CE⊥BD,AG//BD交CE的延长线于点F,
∴ CF⊥AG.
∴ △ACF是直角三角形.
∴ OF是Rt△AFC的斜边AC上的中线.
∴ OF=OC.
∴ BO=OF (2)
∵ CE⊥BD,CF⊥AG,
∴ FG//BO. 又
∵ FG=BO,
∴ 四边形BOFG为平行四边形. 由(1)可知,BO=OF,
∴ 四边形BOFG为菱形

【分析】
(1) 要证明$BO=OF$，首先从矩形的性质入手，矩形对角线相等且互相平分，可得$BO=OC$，因此只需证明$OF=OC$即可。由$CE⊥ BD$、$AF// BD$可推出$CF⊥ AF$，即$△ ACF$是直角三角形，结合$O$是$AC$中点，根据直角三角形斜边中线的性质即可得到$OF=OC$，等量代换即可得证。
(2) 要证明四边形$BOFG$为菱形，先根据$FG// BO$且$FG=BO$，判定四边形$BOFG$是平行四边形，再结合(1)中得到的$BO=OF$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OA=OC=OB=OD$。
$\because CE⊥ BD$，$AG// BD$交$CE$的延长线于点$F$，
$\therefore CF⊥ AG$，
$\therefore △ ACF$是直角三角形。
$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OF$是$\mathrm{Rt}△ AFC$的斜边$AC$上的中线，
$\therefore OF=OC$，
$\therefore BO=OF$。
(2) $\because AG// BD$，即$FG// BO$，
又$\because FG=BO$，
$\therefore$ 四边形$BOFG$为平行四边形。
由(1)可知$BO=OF$，
$\therefore$ 平行四边形$BOFG$为菱形。
【答案】
(1) $BO=OF$得证；
(2) 四边形$BOFG$为菱形得证。
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线定理；菱形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了特殊四边形和直角三角形的相关定理，解题的关键是结合图形中的平行、垂直关系，利用已知性质逐步推导，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

13 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上,连接 DE 交 AB 于点 F,∠AED=2∠CED,G 是 DF 的中点,连接 AG.
(1)若 BE=2,AG=4,求 AB 的长;
(2)若 BC=2AB,求∠AED 的度数.

13. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=90°,AD//BC,AD=BC.
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=90°,∠ADE=∠CED.
∵ G是DF的中点,
∴ AG=DG=GF.
∴ ∠ADE=∠GAD.
∴ ∠AGE = ∠GAD + ∠ADG = 2∠ADG.
∵ ∠AED=2∠CED,
∴ ∠AED=∠AGE.
∴ AE=AG=4.
∵ 在Rt△ABE中,BE=2,AE=4,
∴ 由勾股定理,得AB=$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ (2) 过点G作GH⊥AB于点H,则∠GHB=90°.
∵ ∠DAB = 90°,
∴ ∠DAB = ∠GHB.
∴ GH // AD.
∵ AG=GF,GH⊥AF,
∴ AH=HF,即H是AF的中点.又
∵ G是DF的中点,
∴ GH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC.
∵ BC=2AB,
∴ GH = AB.
∵ AG = AE,
∴ GF = AE. 在Rt△GHF 和Rt△ABE 中,
∵ GF = AE, GH = AB,
∴ Rt△GHF ≌Rt△ABE.
∴ ∠GFH = ∠AEB.
∵ ∠AED = 2∠CED,∠GFH = ∠EFB,
∴ 易得∠EFB = ∠AEB = 3∠CED.
∵ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EFB + ∠BEF = 4∠CED = 90°.
∴ ∠CED=22.5°.
∴ ∠AED=2∠CED=45°

【分析】
(1) 首先根据矩形的性质得到AD//BC、∠BAD=90°，结合G是Rt△ADF斜边DF的中点，可推出AG=DG，利用三角形外角性质可得∠AGE=2∠ADE；再结合已知∠AED=2∠CED，以及AD//BC得到的内错角∠ADE=∠CED，可推出∠AED=∠AGE，得到AE=AG，最后在Rt△ABE中用勾股定理即可求出AB的长度。
(2) 已知BC=2AB，先过G作GH⊥AB，可得GH是△ADF的中位线，推出GH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，结合BC=2AB得到GH=AB；再通过HL证明Rt△GHF≌Rt△ABE，得到对应角相等，结合角度的倍数关系，在Rt△BEF中利用直角三角形两锐角互余求出∠CED的度数，即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ABC=90°,AD//BC,AD=BC.
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=90°,∠ADE=∠CED.
∵ G是DF的中点,
∴ AG=DG=GF.
∴ ∠ADE=∠GAD.
∴ ∠AGE = ∠GAD + ∠ADG = 2∠ADG.
∵ ∠AED=2∠CED,
∴ ∠AED=∠AGE.
∴ AE=AG=4.
∵ 在Rt△ABE中,BE=2,AE=4,
∴ 由勾股定理,得AB=$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
(2) 过点G作GH⊥AB于点H,则∠GHB=90°.
∵ ∠DAB = 90°,
∴ ∠DAB = ∠GHB.
∴ GH // AD.
∵ AG=GF,GH⊥AF,
∴ AH=HF,即H是AF的中点.
又
∵ G是DF的中点,
∴ GH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC.
∵ BC=2AB,
∴ GH = AB.
∵ AG = AE,
∴ GF = AE.
在Rt△GHF 和Rt△ABE 中,
∵ GF = AE, GH = AB,
∴ Rt△GHF ≌Rt△ABE(HL).
∴ ∠GFH = ∠AEB.
∵ ∠AED = 2∠CED,∠GFH = ∠EFB,
∴ ∠EFB = ∠AEB = 3∠CED.
∵ ∠ABE = 90°,
∴ ∠EFB + ∠BEF = 4∠CED = 90°.
∴ ∠CED=22.5°.
∴ ∠AED=2∠CED=45°.
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $45°$
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了矩形、直角三角形、全等三角形的相关知识，解题过程中需要灵活进行角度转化，合理构造辅助线，能够锻炼几何综合分析与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6