12.在一次练习课上,老师向同学们展示了一张四边形纸片,说:“这是一个四边形工件的平面图(如右图所示),要求AD和BC这两边的夹角等于$35°$才算合格,请大家想一想:如何检验这个工件是否合格?”
老师话音刚落,小明一马当先发表他的意见:“要检验AD和BC的夹角是否为$35°$,应延长AD和BC,设交于点O,然后检验$∠ O$是否等于$35°$就可以了.”
“这样太麻烦了,我看只需要分别测量出$∠ A$和$∠ B$的度数就行了.”小新反驳道.
“我赞成小新的看法,我想量出$∠ C$和$∠ D$的度数也可以检验AD和BC的夹角是否等于$35°$.”小亮附和道.
“你们两个先别说,”说话的是小华,“你们两个说只需分别测量$∠ A$和$∠ B$的度数,或者测量$∠ C$和$∠ D$的度数,这两种方法虽然都比小明的分别延长AD和BC相交于点O,再测量$∠ O$的度数简便,但问题是按照你们所说的这样做能知道AD和BC的夹角是多少度吗?”
问题:请你用学过的知识说明小新和小亮的方法是否正确.

解：小新的方法正确，理由如下：
延长AD、BC交于点O，在△OAB中，由三角形内角和定理得：
$∠ O + ∠ A + ∠ B = 180°$，即$∠ O = 180° - ∠ A - ∠ B$。
只需测量出$∠ A$和$∠ B$的度数，计算$180°$减去两个角的度数之和，若结果等于$35°$，即可判断AD和BC的夹角为$35°$，因此小新的方法正确。
小亮的方法也正确，理由如下：
延长AD、BC交于点O，由平角的定义得：
$∠ ODC = 180° - ∠ ADC$，$∠ OCD = 180° - ∠ BCD$。
在△ODC中，由三角形内角和定理得：
$∠ O + ∠ ODC + ∠ OCD = 180°$，
代入得：$∠ O + (180° - ∠ ADC) + (180° - ∠ BCD) = 180°$，
整理得：$∠ O = ∠ ADC + ∠ BCD - 180°$。
只需测量出$∠ ADC$（即$∠ D$）和$∠ BCD$（即$∠ C$）的度数，计算两个角的度数之和减去$180°$，若结果等于$35°$，即可判断AD和BC的夹角为$35°$，因此小亮的方法正确。
综上，小新和小亮的方法都是正确的。

13.阅读材料:我们把边长都相等,各内角都相等的多边形叫作正多边形,正$n(n≥3,$且$n$是自然数)边形的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$.
根据材料解决问题:
如图①②③所示,E,D分别是正三角形ABC,正四边形ABCM,正五边形ABCMN中以C为顶点的相邻两边上的点,且$BE=CD$,DB交AE于点P.
(1)求图①中$∠APD$的度数;
(2)图②中$∠APD$的度数为,图③中$∠APD$的度数为;
(3)根据前面的探索,你能否将本题推广到一般的正$n$边形中?若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.

解：
(1) 图①中，△ABC是正三角形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=60°$，
在$△ ABE$和$△ BCD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=BC \\∠ ABE=∠ C \\BE=CD\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ BCD$ (SAS)，
∴ $∠ BAE = ∠ CBD$，
∵ $∠ APD = ∠ BAE + ∠ ABP$，
∴ $∠ APD = ∠ CBD + ∠ ABP = ∠ ABC = 60°$。
(2) $90°$；$108°$
(3) 能推广。
推广问题：E，D分别是正$n$边形$ABCM···$中以C为顶点的相邻两边上的点，且$BE=CD$，DB交AE于点P，求$∠ APD$的度数。
结论：$∠ APD$的度数为$\frac{(n-2)·180°}{n}$。