8.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E，F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
(1)∠D=∠B；
(2)AE//CF.

解：
(1) 在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}AD = CB \\AE = CF \\DE = BF\end{array} $
$\therefore △ ADE ≌ △ CBF(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ D = ∠ B$。
(2) 由$△ ADE ≌ △ CBF$，可得$∠ AED = ∠ CFB$，
$\therefore 180° - ∠ AED = 180° - ∠ CFB$，
即$∠ AEF = ∠ CFE$，
$\therefore AE // CF$（内错角相等，两直线平行）。

9.如图，$△ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，$A$，$C$，$D$三点在同一直线上，连接$BD$，$AE$，并延长$AE$交$BD$于点$F$。
(1)求证：$△ ACE ≌ △ BCD$；
(2)直线$AE$与$BD$互相垂直吗？请证明你的结论。

解：(1)证明：
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴ AC = BC，EC = DC，∠ACB = ∠ECD = 90°。
在△ACE和△BCD中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC \\∠ACE = ∠BCD = 90° \\EC = DC\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BCD（SAS）。
(2) 直线AE与BD互相垂直，证明如下：
由(1)得△ACE ≌ △BCD，
∴ ∠CAE = ∠CBD。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠CAE + ∠AEC = 90°。
又∵ ∠AEC = ∠BEF（对顶角相等），
∴ ∠CBD + ∠BEF = 90°。
在△BEF中，∠BFE = 180° - (∠CBD + ∠BEF) = 90°，
∴ AF ⊥ BD，即直线AE与BD互相垂直。

10.如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB$的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,过点D作$DM⊥ AB$于点M,作$DN⊥ AC$交AC的延长线于点N.求证:$BM=CN$.

证明：
连接BD，CD。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BD = CD。
∵ AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN。
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ DM=DN \end{array} $
∴ Rt△BDM ≌ Rt△CDN（HL），
∴ BM = CN。

11.如图,已知$△ ABC$为等边三角形,$D,E$分别在边$BC,AC$上,且$CD=CE$,连接$DE$并延长至点$F$,使$EF=AE$,连接$AF,BE$和$CF$.求证:$△ BDE≌△ FEC$.

证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠ACB=60°。
∵ CD=CE，
∴ △CDE是等边三角形，
∴ DE=CE，∠CDE=∠CED=60°，
∴ ∠BDE=180°-∠CDE=120°，∠FEC=180°-∠CED=120°，
∴ ∠BDE=∠FEC。
∵ BC-CD=AC-CE，
∴ BD=AE。
又∵ EF=AE，
∴ BD=EF。
在△BDE和△FEC中，
$\{\begin{array}{l}BD=FE \\∠BDE=∠FEC \\DE=CE\end{array} $
∴ △BDE≌△FEC（SAS）。