4.【阅读材料】
像$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=3$，$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a(a ≥ 0)$，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如，$\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$，$2\sqrt{3}+3\sqrt{5}$与$2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$等都是互为有理化因式. 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.
(1)$3-\sqrt{2}$的有理化因式为________.
(2)化简：$\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{6}{\sqrt{3}}$.
(3)①如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB$与$∠ CBA$的平分线相交于点$P$，若$△ ABC$的周长为$2\sqrt{5}+4$，面积为$3$，则点$P$到$AB$边的距离为________；
②已知有理数$a,b$满足$\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{b}{\sqrt{2}}=-1+2\sqrt{2}$，求$a,b$的值.

4.(1)$3+\sqrt{2}$
(2)$-1-\sqrt{3}$
(3)①$3\sqrt{5}-6$ ②$\begin{cases} a=1, \\ b=2 \end{cases}$

5. 任意一个无理数介于两个整数之间,我们定义,若无理数$ T: m＜T＜n $（其中$ m,n $为连续的整数）,则称无理数的“臻美区间”为$ (m,n) $. 如$ 1＜\sqrt{2}＜2 $,所以$ \sqrt{2} $的“臻美区间”为$ (1,2) $.
(1) 无理数$ -\sqrt{13} $的“臻美区间”是;
(2) 若一个无理数的“臻美区间”为$ (m,n) $,且满足$ 10＜m+\sqrt{n}＜15 $,其中$ \begin{cases} x=m, \\ y=\sqrt{n} \end{cases} $是关于$ x,y $的二元一次方程$ mx - ny = C $的一组正整数解,求$ C $的值.

5.(1)$(-4,-3)$
(2)$\because \ \ m,n$ 为连续的整数,$\begin{cases} x=m, \\ y=\sqrt{n} \end{cases}$是关于$x,y$ 的二元一次方程$mx-ny=C$的一组正整数解,
$\therefore \ \ \sqrt{n}$是正整数,$m＞0.$
$\because \ \ $一个无理数的“臻美区间”为$(m,n)$,
$\therefore \ \ n＞m.$
$\because \ \ 10＜m+\sqrt{n}＜15$,
当$\sqrt{n}=1$,即$n=1$时,$m$ 不存在,舍去;
当$\sqrt{n}=2$,即$n=4$时,$m=3$,不满足不等式$10＜m+\sqrt{n}＜15$,舍去;
当$\sqrt{n}=3$,即$n=9$时,$m=8$,满足不等式$10＜m+\sqrt{n}＜15$,则$\begin{cases} m=8, \\ n=9; \end{cases}$
当$\sqrt{n}=4$,即$n=16$时,$m=15$,不满足不等式$10＜m+\sqrt{n}＜15$,舍去.
当$\sqrt{n}＞4$时,均不满足不等式$10＜m+\sqrt{n}＜15.$
$\therefore \ \ $满足题意的 $m,n$ 的值为$\begin{cases} m=8, \\ n=9. \end{cases}$
$\therefore \ \ \begin{cases} x=m=8, \\ y=\sqrt{n}=3. \end{cases}$
所以 $C=8×8-9×3=64-27=37.$