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9. (1)解方程组：$\begin{cases}5x+2y=8, \\3(x-y)+2y=7;\end{cases}$
(2)解不等式：$\dfrac{x}{2} ≤ \dfrac{x-1}{3} +1$
(2)解不等式：$\dfrac{x}{2} ≤ \dfrac{x-1}{3} +1$
答案
解：
(1) 先将原方程组整理，得
$\begin{cases}5x + 2y = 8 \quad ①\\3x - y = 7 \quad ②\end{cases}$
由②得：$y = 3x -7$ ③
把③代入①，得
$5x + 2(3x -7) = 8$
$5x + 6x -14 = 8$
$11x = 22$
解得 $x=2$
把$x=2$代入③，得
$y = 3×2 -7 = -1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3x ≤ 2(x-1) + 6$
去括号，得
$3x ≤ 2x -2 +6$
移项，得
$3x - 2x ≤ -2 +6$
合并同类项，得
$x ≤ 4$
(1) 先将原方程组整理，得
$\begin{cases}5x + 2y = 8 \quad ①\\3x - y = 7 \quad ②\end{cases}$
由②得：$y = 3x -7$ ③
把③代入①，得
$5x + 2(3x -7) = 8$
$5x + 6x -14 = 8$
$11x = 22$
解得 $x=2$
把$x=2$代入③，得
$y = 3×2 -7 = -1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3x ≤ 2(x-1) + 6$
去括号，得
$3x ≤ 2x -2 +6$
移项，得
$3x - 2x ≤ -2 +6$
合并同类项，得
$x ≤ 4$
解析
【分析】
(1) 解二元一次方程组时，先将第二个方程去括号、合并同类项整理为标准形式，观察整理后方程组的系数，第二个方程中y的系数为-1，适合选用代入消元法：先用含x的代数式表示y，再将其代入第一个方程消去y，求解得到x的值，最后把x的值回代求出y的值，即可得到方程组的解。
(2) 解一元一次不等式按照常规步骤进行：先找两个分母的最小公倍数6，不等式两边同时乘6去分母（乘正数不等号方向不变，注意不含分母的项1也要乘6），再依次去括号、移项、合并同类项，就能得到不等式的解集。
【解析】
(1) 先将原方程组整理，得
$\begin{cases}5x + 2y = 8 \quad ①\\3x - y = 7 \quad ②\end{cases}$
由②得：$y = 3x -7$ ③
把③代入①，得
$5x + 2(3x -7) = 8$
$5x + 6x -14 = 8$
$11x = 22$
解得 $x=2$
把$x=2$代入③，得
$y = 3×2 -7 = -1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3x ≤ 2(x-1) + 6$
去括号，得
$3x ≤ 2x -2 +6$
移项，得
$3x - 2x ≤ -2 +6$
合并同类项，得
$x ≤ 4$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$；(2) $x ≤ 4$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，代入消元法
【点评】
本题是基础运算题，重点考察代数计算的基本功，解题时要注意运算规范：解方程组代入计算时要注意符号，解不等式去分母时不要漏乘常数项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
(1) 解二元一次方程组时，先将第二个方程去括号、合并同类项整理为标准形式，观察整理后方程组的系数，第二个方程中y的系数为-1，适合选用代入消元法：先用含x的代数式表示y，再将其代入第一个方程消去y，求解得到x的值，最后把x的值回代求出y的值，即可得到方程组的解。
(2) 解一元一次不等式按照常规步骤进行：先找两个分母的最小公倍数6，不等式两边同时乘6去分母（乘正数不等号方向不变，注意不含分母的项1也要乘6），再依次去括号、移项、合并同类项，就能得到不等式的解集。
【解析】
(1) 先将原方程组整理，得
$\begin{cases}5x + 2y = 8 \quad ①\\3x - y = 7 \quad ②\end{cases}$
由②得：$y = 3x -7$ ③
把③代入①，得
$5x + 2(3x -7) = 8$
$5x + 6x -14 = 8$
$11x = 22$
解得 $x=2$
把$x=2$代入③，得
$y = 3×2 -7 = -1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3x ≤ 2(x-1) + 6$
去括号，得
$3x ≤ 2x -2 +6$
移项，得
$3x - 2x ≤ -2 +6$
合并同类项，得
$x ≤ 4$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$；(2) $x ≤ 4$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，代入消元法
【点评】
本题是基础运算题，重点考察代数计算的基本功，解题时要注意运算规范：解方程组代入计算时要注意符号，解不等式去分母时不要漏乘常数项，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
10. 如图,已知$∠ 1=∠ 3,∠ 2=∠ B$.
(1)试判断DE与BC的位置关系,并说明理由；
(2)若DE平分$∠ ADC,∠ 1=3∠ B$,求$∠ EFC$的度数.
(1)试判断DE与BC的位置关系,并说明理由；
(2)若DE平分$∠ ADC,∠ 1=3∠ B$,求$∠ EFC$的度数.
答案
解：
(1) $DE// BC$，理由如下：
$\because ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 2=∠ AED$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 2=∠ B$，
$\therefore ∠ AED=∠ B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ CDE=∠ BCD$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE=∠ B$，
由平角定义得$∠ 1 + ∠ ADE + ∠ CDE = 180°$，
又$\because ∠ 1=3∠ B$，
$\therefore 3∠ B + ∠ B + ∠ B = 180°$，
即$5∠ B=180°$，
解得$∠ B=36°$，
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADC=∠ ADE+∠ CDE=2∠ B=72°$，
$\therefore ∠ EFC=72°$。
答：$∠ EFC$的度数为$72°$。
(1) $DE// BC$，理由如下：
$\because ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 2=∠ AED$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 2=∠ B$，
$\therefore ∠ AED=∠ B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ CDE=∠ BCD$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE=∠ B$，
由平角定义得$∠ 1 + ∠ ADE + ∠ CDE = 180°$，
又$\because ∠ 1=3∠ B$，
$\therefore 3∠ B + ∠ B + ∠ B = 180°$，
即$5∠ B=180°$，
解得$∠ B=36°$，
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADC=∠ ADE+∠ CDE=2∠ B=72°$，
$\therefore ∠ EFC=72°$。
答：$∠ EFC$的度数为$72°$。
解析
【分析】
(1) 要判断DE与BC的位置关系，可通过推导角相等证明平行：首先根据已知∠1=∠3，利用内错角相等两直线平行推出AB//EF，再由平行线的性质得∠2=∠AED，结合∠2=∠B，得到同位角∠AED=∠B，即可推出DE与BC平行。
(2) 求∠EFC的度数时，先利用角平分线的性质得到∠ADE=∠CDE，再结合DE//BC的性质，将∠ADE、∠CDE都转化为与∠B相等的角，再根据平角为180°以及∠1=3∠B的条件，先求出∠B的度数，最后利用AB//EF的性质得到∠EFC=∠ADC，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) $DE// BC$，理由如下：
$\because ∠1=∠3$，
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠2=∠AED$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠2=∠B$，
$\therefore ∠AED=∠B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because DE$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ADE=∠B$，$∠CDE=∠BCD$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE=∠B$，
由平角定义得$∠1 + ∠ADE + ∠CDE = 180°$，
又$\because ∠1=3∠B$，
$\therefore 3∠B + ∠B + ∠B = 180°$，
即$5∠B=180°$，
解得$∠B=36°$，
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠EFC=∠ADC$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ADC=∠ADE+∠CDE=2∠B=2×36°=72°$，
$\therefore ∠EFC=72°$。
【答案】
(1) $DE// BC$；(2) $72°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题侧重考查平行线相关定理的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，每一步推理都要对应相应的几何定理，有助于锻炼逻辑推导能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断DE与BC的位置关系，可通过推导角相等证明平行：首先根据已知∠1=∠3，利用内错角相等两直线平行推出AB//EF，再由平行线的性质得∠2=∠AED，结合∠2=∠B，得到同位角∠AED=∠B，即可推出DE与BC平行。
(2) 求∠EFC的度数时，先利用角平分线的性质得到∠ADE=∠CDE，再结合DE//BC的性质，将∠ADE、∠CDE都转化为与∠B相等的角，再根据平角为180°以及∠1=3∠B的条件，先求出∠B的度数，最后利用AB//EF的性质得到∠EFC=∠ADC，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) $DE// BC$，理由如下：
$\because ∠1=∠3$，
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠2=∠AED$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠2=∠B$，
$\therefore ∠AED=∠B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because DE$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ADE=∠B$，$∠CDE=∠BCD$，
$\therefore ∠ADE=∠CDE=∠B$，
由平角定义得$∠1 + ∠ADE + ∠CDE = 180°$，
又$\because ∠1=3∠B$，
$\therefore 3∠B + ∠B + ∠B = 180°$，
即$5∠B=180°$，
解得$∠B=36°$，
$\because AB// EF$，
$\therefore ∠EFC=∠ADC$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ADC=∠ADE+∠CDE=2∠B=2×36°=72°$，
$\therefore ∠EFC=72°$。
【答案】
(1) $DE// BC$；(2) $72°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题侧重考查平行线相关定理的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，每一步推理都要对应相应的几何定理，有助于锻炼逻辑推导能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
11. 为了推进中华传统文化教育，营造浓厚读书氛围，某班计划购买《论语》和《孟子》两种书籍.已知购买1本《论语》和3本《孟子》一共需要75元，购买3本《论语》和2本《孟子》一共需要85元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为多少元；
(2)根据需求量，该班决定购入《论语》和《孟子》两种书共40本，其中《论语》的数量不高于《孟子》数量的$\frac{3}{5}$，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：《论语》每本打八折，《孟子》每本优惠2元.如果此次买书的总费用不超过640元，那么共有哪几种购买方案？
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为多少元；
(2)根据需求量，该班决定购入《论语》和《孟子》两种书共40本，其中《论语》的数量不高于《孟子》数量的$\frac{3}{5}$，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：《论语》每本打八折，《孟子》每本优惠2元.如果此次买书的总费用不超过640元，那么共有哪几种购买方案？
答案
解：
(1) 设《论语》的单价为$x$元，《孟子》的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 75 \\ 3x + 2y = 85 \end{cases}$
由$x + 3y = 75$得$x = 75 - 3y$，代入$3x + 2y = 85$：
$3(75 - 3y) + 2y = 85$
$225 - 7y = 85$
解得$y = 20$
将$y=20$代入$x = 75 - 3y$，得$x = 15$
答：《论语》的单价为15元，《孟子》的单价为20元。
(2) 设购买《论语》$a$本，则购买《孟子》$(40 - a)$本。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} a ≤ \dfrac{3}{5}(40 - a) \\ 15×0.8a + (20 - 2)(40 - a) ≤ 640 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5a ≤ 120 - 3a$
$8a ≤ 120$
$a ≤ 15$
解第二个不等式：
$12a + 720 - 18a ≤ 640$
$-6a ≤ -80$
$a ≥ \dfrac{40}{3}$
因为$a$是正整数，所以$a$可取14、15。
当$a=14$时，$40-a=26$；当$a=15$时，$40-a=25$。
答：共有两种购买方案，方案一：购买《论语》14本，《孟子》26本；方案二：购买《论语》15本，《孟子》25本。
(1) 设《论语》的单价为$x$元，《孟子》的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 75 \\ 3x + 2y = 85 \end{cases}$
由$x + 3y = 75$得$x = 75 - 3y$，代入$3x + 2y = 85$：
$3(75 - 3y) + 2y = 85$
$225 - 7y = 85$
解得$y = 20$
将$y=20$代入$x = 75 - 3y$，得$x = 15$
答：《论语》的单价为15元，《孟子》的单价为20元。
(2) 设购买《论语》$a$本，则购买《孟子》$(40 - a)$本。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} a ≤ \dfrac{3}{5}(40 - a) \\ 15×0.8a + (20 - 2)(40 - a) ≤ 640 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5a ≤ 120 - 3a$
$8a ≤ 120$
$a ≤ 15$
解第二个不等式：
$12a + 720 - 18a ≤ 640$
$-6a ≤ -80$
$a ≥ \dfrac{40}{3}$
因为$a$是正整数，所以$a$可取14、15。
当$a=14$时，$40-a=26$；当$a=15$时，$40-a=25$。
答：共有两种购买方案，方案一：购买《论语》14本，《孟子》26本；方案二：购买《论语》15本，《孟子》25本。
解析
【分析】
(1) 求两种书的单价可设两个未知数，根据题目给出的两组购买总价的等量关系：1本《论语》费用+3本《孟子》费用=75元，3本《论语》费用+2本《孟子》费用=85元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 确定购买方案时，设购买《论语》a本，则《孟子》为(40-a)本，先根据“《论语》数量不高于《孟子》数量的$\frac{3}{5}$”列第一个不等式，再结合优惠规则，根据“总费用不超过640元”列第二个不等式，组成不等式组求解a的取值范围，结合a为正整数的实际要求，即可得出所有可行的购买方案。
【解析】
(1) 设《论语》的单价为$x$元，《孟子》的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 75 \\ 3x + 2y = 85 \end{cases}$
由$x + 3y = 75$得$x = 75 - 3y$，代入$3x + 2y = 85$：
$3(75 - 3y) + 2y = 85$
$225 - 7y = 85$
解得$y = 20$
将$y=20$代入$x = 75 - 3y$，得$x = 15$。
(2) 设购买《论语》$a$本，则购买《孟子》$(40 - a)$本。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} a ≤ \dfrac{3}{5}(40 - a) \\ 15×0.8a + (20 - 2)(40 - a) ≤ 640 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5a ≤ 120 - 3a$
$8a ≤ 120$
$a ≤ 15$
解第二个不等式：
$12a + 720 - 18a ≤ 640$
$-6a ≤ -80$
$a ≥ \dfrac{40}{3}$
因为$a$是正整数，所以$a$可取14、15。
当$a=14$时，$40-a=26$；当$a=15$时，$40-a=25$。
【答案】
(1)《论语》的单价为15元，《孟子》的单价为20元；
(2)共有两种购买方案，方案一：购买《论语》14本，《孟子》26本；方案二：购买《论语》15本，《孟子》25本。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合传统文化推广的实际场景，考查方程与不等式的综合应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中未知数的取值需要符合现实意义，比如书本数量为正整数。
【难度系数】
0.7
(1) 求两种书的单价可设两个未知数，根据题目给出的两组购买总价的等量关系：1本《论语》费用+3本《孟子》费用=75元，3本《论语》费用+2本《孟子》费用=85元，列二元一次方程组即可求解。
(2) 确定购买方案时，设购买《论语》a本，则《孟子》为(40-a)本，先根据“《论语》数量不高于《孟子》数量的$\frac{3}{5}$”列第一个不等式，再结合优惠规则，根据“总费用不超过640元”列第二个不等式，组成不等式组求解a的取值范围，结合a为正整数的实际要求，即可得出所有可行的购买方案。
【解析】
(1) 设《论语》的单价为$x$元，《孟子》的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 75 \\ 3x + 2y = 85 \end{cases}$
由$x + 3y = 75$得$x = 75 - 3y$，代入$3x + 2y = 85$：
$3(75 - 3y) + 2y = 85$
$225 - 7y = 85$
解得$y = 20$
将$y=20$代入$x = 75 - 3y$，得$x = 15$。
(2) 设购买《论语》$a$本，则购买《孟子》$(40 - a)$本。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} a ≤ \dfrac{3}{5}(40 - a) \\ 15×0.8a + (20 - 2)(40 - a) ≤ 640 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5a ≤ 120 - 3a$
$8a ≤ 120$
$a ≤ 15$
解第二个不等式：
$12a + 720 - 18a ≤ 640$
$-6a ≤ -80$
$a ≥ \dfrac{40}{3}$
因为$a$是正整数，所以$a$可取14、15。
当$a=14$时，$40-a=26$；当$a=15$时，$40-a=25$。
【答案】
(1)《论语》的单价为15元，《孟子》的单价为20元；
(2)共有两种购买方案，方案一：购买《论语》14本，《孟子》26本；方案二：购买《论语》15本，《孟子》25本。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合传统文化推广的实际场景，考查方程与不等式的综合应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中未知数的取值需要符合现实意义，比如书本数量为正整数。
【难度系数】
0.7
