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11.聚焦 中考 直接经验学习 「2026江苏泰州月考，★☆」根据乘方的定义，可得$2^4 × 3^4 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3)$
$= (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)$
$= (2 × 3)^4 = 6^4 = 1296.$
(1)请你写出一个类似上述特点的式子.
(2)猜想：$a^m × b^m =$
(3)根据上述探索的结论，计算：$(-0.25)^{2025} × (-4)^{2026}.$
$= (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)$
$= (2 × 3)^4 = 6^4 = 1296.$
(1)请你写出一个类似上述特点的式子.
(2)猜想：$a^m × b^m =$
$(ab)^m$
(其中$m$为正整数).(3)根据上述探索的结论，计算：$(-0.25)^{2025} × (-4)^{2026}.$
答案
解析 (1)(答案不唯一)$3^3×4^3=(3×3×3)×(4×4×4)$
$=(3×4)×(3×4)×(3×4)=(3×4)^3=12^3=1728$.
(2)$(ab)^m$.
(3)$(-0.25)^{2025}×(-4)^{2026}$
$=(-0.25)^{2025}×(-4)^{2025}×(-4)$
$=[(-0.25)×(-4)]^{2025}×(-4)$
$=1^{2025}×(-4)=-4$.
$=(3×4)×(3×4)×(3×4)=(3×4)^3=12^3=1728$.
(2)$(ab)^m$.
(3)$(-0.25)^{2025}×(-4)^{2026}$
$=(-0.25)^{2025}×(-4)^{2025}×(-4)$
$=[(-0.25)×(-4)]^{2025}×(-4)$
$=1^{2025}×(-4)=-4$.
12. 核心素养 抽象能力 「2026 山东济南期中改编」可以利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合.你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
(1)图①是一个边长为1的正方形，依次取正方形的$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$，根据图示我们可以知道：
第一次取走$\frac{1}{2}$后还剩$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；
前两次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$后还剩$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$；
前三次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$后还剩$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$；
……
前n次取走后，还剩
(2)图②是一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$，根据图示计算：$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}$.
(3)求$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$的值.
(1)图①是一个边长为1的正方形，依次取正方形的$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$，根据图示我们可以知道：
第一次取走$\frac{1}{2}$后还剩$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；
前两次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$后还剩$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$；
前三次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$后还剩$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$；
……
前n次取走后，还剩
$\frac{1}{2^n}$
，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$
.(2)图②是一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$，根据图示计算：$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}$.
(3)求$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$的值.
答案
解析 (1)$\frac{1}{2^n}$;$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$.
(2)类比(1)可得,第一次取走$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3}$,前二次取走$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}$后还剩$\frac{1}{3^2}$;前三次取走$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}$后还剩$\frac{1}{3^3}$;……前n次取走后,还剩$\frac{1}{3^n}$,所以$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}=1-\frac{1}{3^n}$.
(3)由(1)(2)可得,$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$可表示为边长为1的正方形,第一次取走$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2}{3}$,第二次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2^2}{3^2}$,第三次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2^2}{3^2}×\frac{2}{3}=\frac{2^3}{3^3}$,……,第n次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2^n}{3^n}$,所以$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}=1-\frac{2^n}{3^n}$.
(2)类比(1)可得,第一次取走$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3}$,前二次取走$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}$后还剩$\frac{1}{3^2}$;前三次取走$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}$后还剩$\frac{1}{3^3}$;……前n次取走后,还剩$\frac{1}{3^n}$,所以$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}=1-\frac{1}{3^n}$.
(3)由(1)(2)可得,$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$可表示为边长为1的正方形,第一次取走$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2}{3}$,第二次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2^2}{3^2}$,第三次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2^2}{3^2}×\frac{2}{3}=\frac{2^3}{3^3}$,……,第n次取走剩余的$\frac{1}{3}$后剩余$\frac{2^n}{3^n}$,所以$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}=1-\frac{2^n}{3^n}$.
1.「2026山东济南长清期中」若$(m-3)^2 + |n+2|=0$，则$n^m =$
-8
。答案
答案 -8
解析 因为$(m-3)^2+|n+2|=0$,$(m-3)^2≥0$,$|n+2|≥0$,所以$m-3=0$,$n+2=0$,解得$m=3$,$n=-2$.
所以$n^m=(-2)^3=-8$.
解析 因为$(m-3)^2+|n+2|=0$,$(m-3)^2≥0$,$|n+2|≥0$,所以$m-3=0$,$n+2=0$,解得$m=3$,$n=-2$.
所以$n^m=(-2)^3=-8$.
2.若$(x-2)^2$与$|y+3|$互为相反数，则$y^x +1=$
10
.答案
答案 10
解析 因为$(x-2)^2$和$|y+3|$互为相反数,
所以$(x-2)^2+|y+3|=0$,
因为$(x-2)^2≥0$,$|y+3|≥0$,
所以$x-2=0$,$y+3=0$,所以$x=2$,$y=-3$,
所以$y^x+1=(-3)^2+1=10$.
解析 因为$(x-2)^2$和$|y+3|$互为相反数,
所以$(x-2)^2+|y+3|=0$,
因为$(x-2)^2≥0$,$|y+3|≥0$,
所以$x-2=0$,$y+3=0$,所以$x=2$,$y=-3$,
所以$y^x+1=(-3)^2+1=10$.
3.已知$|x+3|=-(y-2)^2$，则$(x+y)^{2026}=$
1
.答案
答案 1
解析 因为$|x+3|=-(y-2)^2$,所以$|x+3|$与$(y-2)^2$互为相反数,所以$|x+3|+(y-2)^2=0$,因为$|x+3|≥0$,$(y-2)^2≥0$,所以$x+3=0$,$y-2=0$,所以$x=-3$,$y=2$,所以$(x+y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
解析 因为$|x+3|=-(y-2)^2$,所以$|x+3|$与$(y-2)^2$互为相反数,所以$|x+3|+(y-2)^2=0$,因为$|x+3|≥0$,$(y-2)^2≥0$,所以$x+3=0$,$y-2=0$,所以$x=-3$,$y=2$,所以$(x+y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
