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11. 学科特色易错题「2026黑龙江大庆肇源期中，★☆」经过同一平面内任意四点中的两点共可画直线（
A.1条或3条
B.6条
C.1条或4条
D.1条或4条或6条
D
）A.1条或3条
B.6条
C.1条或4条
D.1条或4条或6条
答案
11.D 如图①,4 点在同一条直线上,则只能画出 1 条直线.
如图②,有 3 点在同一直线上,则能画出 4 条直线.
如图③,任意三点都不在同一直线上,则能画出 6 条直线.
综上所述,同一平面内,经过任意四点中的两点共可以画出 1 条或 4 条或 6 条直线.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆直线的基本性质：两点确定一条直线。由于题目未明确四个点的位置关系，因此需要分情况讨论四点的位置：依次考虑四点全部共线、有3点共线剩余1点在直线外、任意三点都不共线三种情况，分别计算每种情况对应的直线数量，再汇总所有可能的结果即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 如图①，当4个点在同一条直线上时，过任意两点画的直线都是同一条，因此只能画出1条直线；
2. 如图②，当有3个点在同一条直线上，剩余1个点在这条直线外时：共线的3个点只能确定1条直线，再用直线外的点分别和共线的3个点连线，可得到3条不同的直线，合计1+3=4条直线；
3. 如图③，当任意三点都不在同一条直线上时，每个点都能和另外3个点连线得到3条直线，4个点共计算得4×3=12条，由于每条直线都被重复计数2次，因此实际直线数量为12÷2=6条。
综上，经过四点中的两点共可以画出1条或4条或6条直线，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
两点确定一条直线；直线计数；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略四点位置的多种可能性，仅考虑部分情况导致漏解，解题时只需根据点的共线情况分类讨论，保证不重不漏即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直线的基本性质：两点确定一条直线。由于题目未明确四个点的位置关系，因此需要分情况讨论四点的位置：依次考虑四点全部共线、有3点共线剩余1点在直线外、任意三点都不共线三种情况，分别计算每种情况对应的直线数量，再汇总所有可能的结果即可。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 如图①，当4个点在同一条直线上时，过任意两点画的直线都是同一条，因此只能画出1条直线；
2. 如图②，当有3个点在同一条直线上，剩余1个点在这条直线外时：共线的3个点只能确定1条直线，再用直线外的点分别和共线的3个点连线，可得到3条不同的直线，合计1+3=4条直线；
3. 如图③，当任意三点都不在同一条直线上时，每个点都能和另外3个点连线得到3条直线，4个点共计算得4×3=12条，由于每条直线都被重复计数2次，因此实际直线数量为12÷2=6条。
综上，经过四点中的两点共可以画出1条或4条或6条直线，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
两点确定一条直线；直线计数；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略四点位置的多种可能性，仅考虑部分情况导致漏解，解题时只需根据点的共线情况分类讨论，保证不重不漏即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
12.「2025河北唐山月考改编，★☆」如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n增加2，则添加的黑子的位置在（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
12.C 由题意易知 n = 1,当添加的黑子的位置在①时,如图 1,同时经过棋盘中三颗黑子的直线只有 1 条,n 没有变化;
当添加的黑子的位置在②时,如图 2,同时经过棋盘中三颗黑子的直线有 2 条,n 有变化,增加 1;
当添加的黑子的位置在③时,如图 3,同时经过棋盘中三颗黑子的直线有 3 条,n 有变化,增加 2;
当添加的黑子的位置在④时,如图 4,同时经过棋盘中三颗黑子的直线有 2 条,n 有变化,增加 1.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先需要明确步骤：第一步先统计初始棋盘中同时经过三颗黑子的直线数量，得到初始的n值；第二步依次假设将黑子添加到四个选项对应的位置，按横向、纵向、斜向的有序顺序分别统计新的n值，计算每个位置添加后n的增量；第三步找到增量为2的位置即为答案，计数时注意避免漏数或重复计数。
【解析】
首先观察初始棋盘，可得出同时经过三颗黑子的直线仅有1条，即初始n=1。
接下来逐个分析添加位置：
1. 若黑子添加在①处：如图1，统计后同时经过三颗黑子的直线仍为1条，n没有变化，不符合要求；
2. 若黑子添加在②处：如图2，统计后同时经过三颗黑子的直线共有2条，n增加了1，不符合要求；
3. 若黑子添加在③处：如图3，统计后同时经过三颗黑子的直线共有3条，n增加了2，符合要求；
4. 若黑子添加在④处：如图4，统计后同时经过三颗黑子的直线共有2条，n增加了1，不符合要求。
综上，应该选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
直线的性质；直线计数；图形观察
【点评】
本题结合网格棋盘考查直线的相关知识，解题的核心是有序统计不同情况下经过三颗黑子的直线数量，需要具备一定的观察能力和有序计数的意识，避免出现漏数、错数的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确步骤：第一步先统计初始棋盘中同时经过三颗黑子的直线数量，得到初始的n值；第二步依次假设将黑子添加到四个选项对应的位置，按横向、纵向、斜向的有序顺序分别统计新的n值，计算每个位置添加后n的增量；第三步找到增量为2的位置即为答案，计数时注意避免漏数或重复计数。
【解析】
首先观察初始棋盘，可得出同时经过三颗黑子的直线仅有1条，即初始n=1。
接下来逐个分析添加位置：
1. 若黑子添加在①处：如图1，统计后同时经过三颗黑子的直线仍为1条，n没有变化，不符合要求；
2. 若黑子添加在②处：如图2，统计后同时经过三颗黑子的直线共有2条，n增加了1，不符合要求；
3. 若黑子添加在③处：如图3，统计后同时经过三颗黑子的直线共有3条，n增加了2，符合要求；
4. 若黑子添加在④处：如图4，统计后同时经过三颗黑子的直线共有2条，n增加了1，不符合要求。
综上，应该选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
直线的性质；直线计数；图形观察
【点评】
本题结合网格棋盘考查直线的相关知识，解题的核心是有序统计不同情况下经过三颗黑子的直线数量，需要具备一定的观察能力和有序计数的意识，避免出现漏数、错数的问题。
【难度系数】
0.7
13.「2026江苏南通月考改编，★☆」如图，平面上有A,B,C,D四个点.
(1)画直线AC和射线BC.
(2)连接AD,交BC于点E.
(3)连接AB,并将其反向延长.
(4)此时,图中共有
(1)画直线AC和射线BC.
(2)连接AD,交BC于点E.
(3)连接AB,并将其反向延长.
(4)此时,图中共有
8
条线段,9
条射线,1
条直线.答案
13.解析 (1)(2)(3)如图所示.
(4)图中共有 8 条线段,9 条射线,1 条直线.
解析
【分析】
解题思路如下：首先前三问需结合直线、射线、线段的定义作图：①直线无端点，可向两端无限延伸，因此画直线AC时需穿过A、C两点，两端都出头；②射线有1个端点，仅可向端点外延伸，因此画射线BC时端点为B，向C方向延伸，B端不出头、过C端出头；③连接AD是画线段AD，两端点均不出头，标注其与BC的交点为E；④连接AB为画线段AB，反向延长即从A端向远离B的方向延伸。第四问计数时按端点分类有序枚举，避免重复或漏数：线段按两点组合逐一统计，射线按端点和延伸方向统计，直线仅统计可向两端无限延伸的线。
【解析】
(1)(2)(3)按照几何作图规范完成即可，作图结果如下：
(4)计数过程：
①线段：枚举所有两端有端点的线，分别为AB、AE、AD、AC、BE、BC、CE、DE，共8条；
②射线：按端点和延伸方向统计，每个端点不同延伸方向对应不同射线，合计共9条；
③直线：仅AC是可向两端无限延伸的直线，共1条。
【答案】
(1)(2)(3)如图所示：
(4)8，9，1
【知识点】
直线射线线段的概念；几何作图；线的计数
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查对直线、射线、线段三类线的概念辨析，以及作图和有序计数的能力，计数时按端点分类枚举能有效避免漏数、重复数的问题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先前三问需结合直线、射线、线段的定义作图：①直线无端点，可向两端无限延伸，因此画直线AC时需穿过A、C两点，两端都出头；②射线有1个端点，仅可向端点外延伸，因此画射线BC时端点为B，向C方向延伸，B端不出头、过C端出头；③连接AD是画线段AD，两端点均不出头，标注其与BC的交点为E；④连接AB为画线段AB，反向延长即从A端向远离B的方向延伸。第四问计数时按端点分类有序枚举，避免重复或漏数：线段按两点组合逐一统计，射线按端点和延伸方向统计，直线仅统计可向两端无限延伸的线。
【解析】
(1)(2)(3)按照几何作图规范完成即可，作图结果如下：
(4)计数过程：
①线段：枚举所有两端有端点的线，分别为AB、AE、AD、AC、BE、BC、CE、DE，共8条；
②射线：按端点和延伸方向统计，每个端点不同延伸方向对应不同射线，合计共9条；
③直线：仅AC是可向两端无限延伸的直线，共1条。
【答案】
(1)(2)(3)如图所示：
(4)8，9，1
【知识点】
直线射线线段的概念；几何作图；线的计数
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查对直线、射线、线段三类线的概念辨析，以及作图和有序计数的能力，计数时按端点分类枚举能有效避免漏数、重复数的问题。
【难度系数】
0.7
14. 核心素养 几何直观 如图,已知四条直线$l_1,l_2,l_3,l_4$,我们发现每两条直线都有一个交点,且交点不重合,我们称这种相交方式为“两两相交”.
问题:如果有101条直线“两两相交”,它们有多少个交点?请写出你的思考过程.
问题:如果有101条直线“两两相交”,它们有多少个交点?请写出你的思考过程.
答案
14.解析 如图 1,当有 2 条直线“两两相交”时,有 1 个交点;
如图 2,当有 3 条直线“两两相交”时,有 1+2 = 3 个交点;
如图 3,当有 4 条直线“两两相交”时,有 1+2+3 = 6 个交点;……
所以有 n 条直线“两两相交”时,有 1+2+3+4+…+(n-1)=$\frac{n(n-1)}{2}$个交点,
当 n = 101 时,$\frac{n(n-1)}{2}$=$\frac{101×(101-1)}{2}$= 5 050,
所以当有 101 条直线“两两相交”时,有 5 050 个交点.
解析
【分析】
我们可以从少量直线两两相交的简单情况入手探究规律：每新增1条直线，它会和之前已有的所有直线各产生1个不重合的交点，因此新增交点数等于之前直线的条数。先计算2条、3条、4条直线两两相交的交点数，找到交点数和直线数量的通用规律，再将101代入规律公式即可求解。
【解析】
当有2条直线“两两相交”时，共有1个交点；
当有3条直线“两两相交”时，第3条直线和前2条直线各交1点，总交点数为$1+2=3$个；
当有4条直线“两两相交”时，第4条直线和前3条直线各交1点，总交点数为$1+2+3=6$个；
……
由此可归纳得出：$n$条直线“两两相交”时，交点总数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，根据连续整数求和的简便算法，该式可化简为$\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=101$时，交点总数为$\frac{101×(101-1)}{2}=\frac{101×100}{2}=5050$。
【答案】
101条直线“两两相交”时有5050个交点。
【知识点】
直线相交规律、归纳推理、代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，需要从特殊的简单情况出发，总结出通用的数量规律，再应用规律解决问题，能很好地锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
我们可以从少量直线两两相交的简单情况入手探究规律：每新增1条直线，它会和之前已有的所有直线各产生1个不重合的交点，因此新增交点数等于之前直线的条数。先计算2条、3条、4条直线两两相交的交点数，找到交点数和直线数量的通用规律，再将101代入规律公式即可求解。
【解析】
当有2条直线“两两相交”时，共有1个交点；
当有3条直线“两两相交”时，第3条直线和前2条直线各交1点，总交点数为$1+2=3$个；
当有4条直线“两两相交”时，第4条直线和前3条直线各交1点，总交点数为$1+2+3=6$个；
……
由此可归纳得出：$n$条直线“两两相交”时，交点总数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，根据连续整数求和的简便算法，该式可化简为$\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=101$时，交点总数为$\frac{101×(101-1)}{2}=\frac{101×100}{2}=5050$。
【答案】
101条直线“两两相交”时有5050个交点。
【知识点】
直线相交规律、归纳推理、代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，需要从特殊的简单情况出发，总结出通用的数量规律，再应用规律解决问题，能很好地锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
1.「2026广东深圳期中」如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度(单位：cm)，用这把直尺能直接量出的不同长度有 (
A.3个
B.6个
C.8个
D.10个
B
)A.3个
B.6个
C.8个
D.10个
答案
1.B 将 4 个刻度看作 4 个点,
由这 4 个点可构成 3+2+1 = 6 条线段,
所以能直接量出 6 个长度.
故选 B.
由这 4 个点可构成 3+2+1 = 6 条线段,
所以能直接量出 6 个长度.
故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要明确：用直尺直接量出的长度，等于直尺上两个刻度的差值，因此问题可以转化为计算4个已知刻度（0、1、3、7）能组成多少个不同的差值。我们可以按顺序枚举所有两个刻度的组合，计算差值后去重统计数量；也可以把4个刻度看作直线上的4个点，两点确定一条线段，每条线段对应一个长度，先数出线段总条数，再验证是否有重复的长度即可得到结果。
【解析】
已知直尺上的4个刻度分别为0cm、1cm、3cm、7cm，我们依次计算每两个刻度的差值：
1. 选0为起始刻度：$1-0=1\mathrm{cm}$，$3-0=3\mathrm{cm}$，$7-0=7\mathrm{cm}$，得到3个不同长度：1cm、3cm、7cm；
2. 选1为起始刻度：$3-1=2\mathrm{cm}$，$7-1=6\mathrm{cm}$，得到2个新的不同长度：2cm、6cm；
3. 选3为起始刻度：$7-3=4\mathrm{cm}$，得到1个新的不同长度：4cm。
也可以用线段计数法：4个刻度对应直线上4个点，线段总条数为$3+2+1=6$条，且所有线段对应的长度均不重复，因此共能量出6个不同长度。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
长度测量；线段计数
【点评】
本题结合生活实际场景，考查线段计数知识的应用，解题时按顺序枚举可避免漏算或重复计算，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：用直尺直接量出的长度，等于直尺上两个刻度的差值，因此问题可以转化为计算4个已知刻度（0、1、3、7）能组成多少个不同的差值。我们可以按顺序枚举所有两个刻度的组合，计算差值后去重统计数量；也可以把4个刻度看作直线上的4个点，两点确定一条线段，每条线段对应一个长度，先数出线段总条数，再验证是否有重复的长度即可得到结果。
【解析】
已知直尺上的4个刻度分别为0cm、1cm、3cm、7cm，我们依次计算每两个刻度的差值：
1. 选0为起始刻度：$1-0=1\mathrm{cm}$，$3-0=3\mathrm{cm}$，$7-0=7\mathrm{cm}$，得到3个不同长度：1cm、3cm、7cm；
2. 选1为起始刻度：$3-1=2\mathrm{cm}$，$7-1=6\mathrm{cm}$，得到2个新的不同长度：2cm、6cm；
3. 选3为起始刻度：$7-3=4\mathrm{cm}$，得到1个新的不同长度：4cm。
也可以用线段计数法：4个刻度对应直线上4个点，线段总条数为$3+2+1=6$条，且所有线段对应的长度均不重复，因此共能量出6个不同长度。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
长度测量；线段计数
【点评】
本题结合生活实际场景，考查线段计数知识的应用，解题时按顺序枚举可避免漏算或重复计算，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
2. 某班45名同学在一次毕业聚会中，如果每两人握一次手，一共要握次手。
答案
2.答案 990
解析 因为 45 名同学在一次毕业聚会中,每两人握一次手问好,所以每一个人要与其他 44 人握手一次,又每次握手都重复计数 1 次,所以 45 人一共要握手 $\frac{1}{2}×44×45 = 990$(次).
解析 因为 45 名同学在一次毕业聚会中,每两人握一次手问好,所以每一个人要与其他 44 人握手一次,又每次握手都重复计数 1 次,所以 45 人一共要握手 $\frac{1}{2}×44×45 = 990$(次).
解析
【分析】
解决握手计数问题时，我们可以先从单人的握手情况切入思考：每名同学都不需要和自己握手，因此每人需要和除自己外的其余所有同学握手；但要注意握手是双向的，甲与乙握手和乙与甲握手是同一次，直接按单人握手次数求和会把每次握手都算2次，所以最后需要去掉重复计数的部分，就能得到正确的总握手次数。
【解析】
每名同学需要和其余$45-1=44$名同学各握手1次，若直接计算45人的握手总次数为$45×44$，此时每1次握手被重复计算了2次，因此实际握手总次数为：
$\frac{1}{2}×45×44=990$（次）
【答案】
990
【知识点】
握手计数问题，有理数乘除运算
【点评】
这是生活中常见的计数类问题，解题核心是注意双向行为会带来重复计数的问题，只要掌握去重的逻辑，就能快速算出正确结果。
【难度系数】
0.7
解决握手计数问题时，我们可以先从单人的握手情况切入思考：每名同学都不需要和自己握手，因此每人需要和除自己外的其余所有同学握手；但要注意握手是双向的，甲与乙握手和乙与甲握手是同一次，直接按单人握手次数求和会把每次握手都算2次，所以最后需要去掉重复计数的部分，就能得到正确的总握手次数。
【解析】
每名同学需要和其余$45-1=44$名同学各握手1次，若直接计算45人的握手总次数为$45×44$，此时每1次握手被重复计算了2次，因此实际握手总次数为：
$\frac{1}{2}×45×44=990$（次）
【答案】
990
【知识点】
握手计数问题，有理数乘除运算
【点评】
这是生活中常见的计数类问题，解题核心是注意双向行为会带来重复计数的问题，只要掌握去重的逻辑，就能快速算出正确结果。
【难度系数】
0.7
3.「2026山东青岛即墨月考」往返于青岛和济南的某一高铁线路上，共设有6个站点，那么在这条线路上往返行车，要准备的车票有
30
种。答案
3.答案 30
解析 如图所示,6 个站点可看作 A,B,C,D,E,F 六个点,
则线段的总条数是 $\frac{1}{2}×5×6 = 15$,
因为要有往返车票,即两点之间有两种车票,
所以要准备的车票有 15×2 = 30(种).
解析
【分析】
要解决车票计数问题，我们可以先把6个站点抽象成直线上的6个点，首先计算单程需要的车票种类：任意两个站点之间对应1种单程车票，也就是对应一条线段，先算出6个点之间的线段总条数；再考虑往返行车时，两个站点之间去程和返程的车票不同，因此要在线段总数的基础上乘2，就能得到总共需要准备的车票数。
【解析】
我们把6个站点看作直线上的A、B、C、D、E、F六个点，如图所示：
首先计算单程对应的线段总条数：
根据n个点的线段计数公式，总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入站点数n=6，得线段总条数为$\frac{1}{2}×6×5=15$条。
因为往返行车时，两个站点之间的去程和返程属于两种不同的车票，因此需要准备的总车票数为$15×2=30$种。
【答案】
30
【知识点】
线段计数、有理数乘法、实际应用
【点评】
这道题将生活中的车票问题转化为几何线段计数问题，解题时要注意往返车票的差异性，易错点是忽略往返的情况只计算单程的15种，解题的关键是建立实际问题和几何模型的关联。
【难度系数】
0.7
要解决车票计数问题，我们可以先把6个站点抽象成直线上的6个点，首先计算单程需要的车票种类：任意两个站点之间对应1种单程车票，也就是对应一条线段，先算出6个点之间的线段总条数；再考虑往返行车时，两个站点之间去程和返程的车票不同，因此要在线段总数的基础上乘2，就能得到总共需要准备的车票数。
【解析】
我们把6个站点看作直线上的A、B、C、D、E、F六个点，如图所示：
首先计算单程对应的线段总条数：
根据n个点的线段计数公式，总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入站点数n=6，得线段总条数为$\frac{1}{2}×6×5=15$条。
因为往返行车时，两个站点之间的去程和返程属于两种不同的车票，因此需要准备的总车票数为$15×2=30$种。
【答案】
30
【知识点】
线段计数、有理数乘法、实际应用
【点评】
这道题将生活中的车票问题转化为几何线段计数问题，解题时要注意往返车票的差异性，易错点是忽略往返的情况只计算单程的15种，解题的关键是建立实际问题和几何模型的关联。
【难度系数】
0.7
