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8.(作差法)(大庆中考)已知$b＞a＞0$,则分式$\frac{a}{b}$与$\frac{a+1}{b+1}$的大小关系是（
A.$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.$\frac{a}{b}＞\frac{a+1}{b+1}$
D.不能确定
A
）A.$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.$\frac{a}{b}＞\frac{a+1}{b+1}$
D.不能确定
答案
8.A
解析
【分析】
要比较两个分式的大小，可采用题目提示的作差法：将两个分式相减，通过判断差的正负来确定两个分式的大小关系。第一步先对两个分式作差，第二步对差通分化简，第三步结合已知条件$b＞a＞0$判断化简后结果的正负，最终得出大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}&=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}\\&=\frac{ab + a - ab - b}{b(b+1)}\\&=\frac{a - b}{b(b+1)}\end{aligned}$
已知$b＞a＞0$，因此$a - b＜0$，且$b＞0$，$b+1＞0$，即分母$b(b+1)＞0$。
所以$\frac{a - b}{b(b+1)}＜0$，即$\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}＜0$，因此$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小，分式的加减运算
【点评】
本题是比较分式大小的基础题型，解题核心是熟练掌握作差法的应用步骤，通分化简后结合已知条件判断差的符号即可得出结论，计算量较小。
【难度系数】
0.8
要比较两个分式的大小，可采用题目提示的作差法：将两个分式相减，通过判断差的正负来确定两个分式的大小关系。第一步先对两个分式作差，第二步对差通分化简，第三步结合已知条件$b＞a＞0$判断化简后结果的正负，最终得出大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}&=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}\\&=\frac{ab + a - ab - b}{b(b+1)}\\&=\frac{a - b}{b(b+1)}\end{aligned}$
已知$b＞a＞0$，因此$a - b＜0$，且$b＞0$，$b+1＞0$，即分母$b(b+1)＞0$。
所以$\frac{a - b}{b(b+1)}＜0$，即$\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}＜0$，因此$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小，分式的加减运算
【点评】
本题是比较分式大小的基础题型，解题核心是熟练掌握作差法的应用步骤，通分化简后结合已知条件判断差的符号即可得出结论，计算量较小。
【难度系数】
0.8
9.(整体思想)(福建中考)已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，且$a≠-b$，则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为
1
。答案
9.1
解析
【分析】
本题运用整体思想求解，首先对已知的分式加法等式通分变形，得到ab与a、b的整式关系，再将该关系整体代入所求分式，合并同类项后结合已知a≠-b的条件约分，即可得到结果。解题时先处理已知条件，再关联所求代数式的结构，是求解这类代数式求值题的常用思路。
【解析】
步骤1：对已知等式通分化简
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，对左边通分（公分母为$ab$），得：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
因为a、b为原等式的分母，故$a≠0$，$b≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$b + 2a = ab$
步骤2：整体代入所求分式化简
将$ab=2a + b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$的分子中，得：
分子$ab - a = (2a + b) - a = a + b$
因此原式可变形为：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
步骤3：约分得到结果
已知$a≠-b$，即$a + b≠0$，对分式约分可得：
$\frac{a + b}{a + b}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，整体代入求值，分式的约分
【点评】
本题考查分式运算中的整体代入思想，解题的核心是通过变形已知等式得到可代入所求式的整式关系，同时要注意分式约分的前提是分母不为0，题目给出的$a≠-b$是约分的关键依据。
【难度系数】
0.7
本题运用整体思想求解，首先对已知的分式加法等式通分变形，得到ab与a、b的整式关系，再将该关系整体代入所求分式，合并同类项后结合已知a≠-b的条件约分，即可得到结果。解题时先处理已知条件，再关联所求代数式的结构，是求解这类代数式求值题的常用思路。
【解析】
步骤1：对已知等式通分化简
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，对左边通分（公分母为$ab$），得：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
因为a、b为原等式的分母，故$a≠0$，$b≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$b + 2a = ab$
步骤2：整体代入所求分式化简
将$ab=2a + b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$的分子中，得：
分子$ab - a = (2a + b) - a = a + b$
因此原式可变形为：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
步骤3：约分得到结果
已知$a≠-b$，即$a + b≠0$，对分式约分可得：
$\frac{a + b}{a + b}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，整体代入求值，分式的约分
【点评】
本题考查分式运算中的整体代入思想，解题的核心是通过变形已知等式得到可代入所求式的整式关系，同时要注意分式约分的前提是分母不为0，题目给出的$a≠-b$是约分的关键依据。
【难度系数】
0.7
10. 情境题 现实生活 一辆货车送货上山，并按原路下山，上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时，则货车上、下山的平均速度为
$\frac{2ab}{a+b}$
千米/时。答案
10.$\frac{2ab}{a+b}$
解析
【分析】
要计算货车上、下山的平均速度，需牢记平均速度的计算公式：平均速度=总路程÷总时间，不可直接将上下山速度求算术平均。我们可以先设上山的单程路程为s千米，先分别求出上山、下山的行驶时间，相加得到总时间，再结合上下山总路程为2s千米，代入公式计算，最后通过分式运算化简即可得到结果，计算过程中参数s会被约去，不影响最终结果。
【解析】
设上山的单程路程为s千米。
1. 计算上下山各自的时间：
上山时间：$t_1 = \frac{s}{a}$（小时），
下山时间：$t_2 = \frac{s}{b}$（小时）；
2. 计算总路程和总时间：
总路程：$s_{总}=s+s=2s$（千米），
总时间：$t_{总}=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$，对分式通分计算得：$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{sb+sa}{ab}=\frac{s(a+b)}{ab}$（小时）；
3. 计算平均速度：
$v=\frac{s_{总}}{t_{总}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}$，约去不为0的s后，得$v=\frac{2ab}{a+b}$（千米/时）。
【答案】
$\frac{2ab}{a+b}$
【知识点】
平均速度计算、分式加减运算、分式化简
【点评】
本题的易错点是误将平均速度当成两个速度的平均值，解题时需紧扣平均速度的定义列式，设单程路程为辅助参数的方法在路程类问题中十分常用，参数在计算中会自动消去，不会对结果造成影响。
【难度系数】
0.6
要计算货车上、下山的平均速度，需牢记平均速度的计算公式：平均速度=总路程÷总时间，不可直接将上下山速度求算术平均。我们可以先设上山的单程路程为s千米，先分别求出上山、下山的行驶时间，相加得到总时间，再结合上下山总路程为2s千米，代入公式计算，最后通过分式运算化简即可得到结果，计算过程中参数s会被约去，不影响最终结果。
【解析】
设上山的单程路程为s千米。
1. 计算上下山各自的时间：
上山时间：$t_1 = \frac{s}{a}$（小时），
下山时间：$t_2 = \frac{s}{b}$（小时）；
2. 计算总路程和总时间：
总路程：$s_{总}=s+s=2s$（千米），
总时间：$t_{总}=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$，对分式通分计算得：$\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{sb+sa}{ab}=\frac{s(a+b)}{ab}$（小时）；
3. 计算平均速度：
$v=\frac{s_{总}}{t_{总}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}$，约去不为0的s后，得$v=\frac{2ab}{a+b}$（千米/时）。
【答案】
$\frac{2ab}{a+b}$
【知识点】
平均速度计算、分式加减运算、分式化简
【点评】
本题的易错点是误将平均速度当成两个速度的平均值，解题时需紧扣平均速度的定义列式，设单程路程为辅助参数的方法在路程类问题中十分常用，参数在计算中会自动消去，不会对结果造成影响。
【难度系数】
0.6
11.(运算能力)计算：
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a + 2} + a + 2$；
(2) $\dfrac{m}{m - n} - \dfrac{n}{m + n} + \dfrac{2mn}{m^2 - n^2}$。
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a + 2} + a + 2$；
(2) $\dfrac{m}{m - n} - \dfrac{n}{m + n} + \dfrac{2mn}{m^2 - n^2}$。
答案
(1) 原式$=2a$
(2) 原式$=\frac{m+n}{m-n}$
(2) 原式$=\frac{m+n}{m-n}$
解析
【分析】
分式加减运算的核心思路：若分式的分子、分母可因式分解，优先因式分解约分简化运算；若无法直接约分，先确定各分母的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式，再按“分母不变，分子相加减”的规则运算，最后将结果化为最简整式或分式。
第(1)题：第一个分式的分子是平方差形式，先因式分解约分简化第一个分式，再合并同类项即可得到结果。
第(2)题：第三个分式的分母是平方差形式，因式分解后可确定最简公分母，先通分把三个分式转化为同分母分式，再对分子运算、因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 对第一个分式的分子用平方差公式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+2)(a-2)}{a+2} + a + 2 \\&= a - 2 + a + 2 \\&= 2a\end{aligned}$
(2) 对分母$m^2-n^2$用平方差公式因式分解：$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，可得最简公分母为$(m-n)(m+n)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m(m+n) - n(m-n) + 2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m^2 + mn - mn + n^2 + 2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m+n}{m-n}\end{aligned}$
【答案】
(1) $2a$；(2) $\dfrac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式的约分与通分
【点评】
本题是分式加减的常规基础题型，优先通过因式分解简化分式可有效减少运算量；通分和分子运算时要注意符号，最终结果需化为最简形式，熟练掌握平方差、完全平方公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
分式加减运算的核心思路：若分式的分子、分母可因式分解，优先因式分解约分简化运算；若无法直接约分，先确定各分母的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式，再按“分母不变，分子相加减”的规则运算，最后将结果化为最简整式或分式。
第(1)题：第一个分式的分子是平方差形式，先因式分解约分简化第一个分式，再合并同类项即可得到结果。
第(2)题：第三个分式的分母是平方差形式，因式分解后可确定最简公分母，先通分把三个分式转化为同分母分式，再对分子运算、因式分解后约分得到结果。
【解析】
(1) 对第一个分式的分子用平方差公式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+2)(a-2)}{a+2} + a + 2 \\&= a - 2 + a + 2 \\&= 2a\end{aligned}$
(2) 对分母$m^2-n^2$用平方差公式因式分解：$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，可得最简公分母为$(m-n)(m+n)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m(m+n) - n(m-n) + 2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m^2 + mn - mn + n^2 + 2mn}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} \\&= \frac{m+n}{m-n}\end{aligned}$
【答案】
(1) $2a$；(2) $\dfrac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式的约分与通分
【点评】
本题是分式加减的常规基础题型，优先通过因式分解简化分式可有效减少运算量；通分和分子运算时要注意符号，最终结果需化为最简形式，熟练掌握平方差、完全平方公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
12.先化简,再求值:$\frac{a}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 - 1}$,其中$a = 2$.
答案
原式$=\frac{1}{a+1}$,当$a=2$时,原式$=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，依据同分母分式减法法则，先将分子相减、分母保持不变；再对分母利用平方差公式因式分解，找到分子分母的公因式进行约分，得到最简分式；最后将a的取值代入最简分式计算即可得到结果，先化简再代值能避免复杂运算，减少出错概率。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{a - 1}{a^2 - 1}$
对分母因式分解，由平方差公式得$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$，代入后约分：
原式$=\frac{a - 1}{(a+1)(a - 1)}=\frac{1}{a+1}$
将$a=2$代入最简分式：
原式$=\frac{1}{2 + 1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同分母分式加减、分式约分、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分技巧，计算时要注意先化简后代入求值，约分前需先对多项式因式分解，准确识别公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.9
本题是分式化简求值题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，依据同分母分式减法法则，先将分子相减、分母保持不变；再对分母利用平方差公式因式分解，找到分子分母的公因式进行约分，得到最简分式；最后将a的取值代入最简分式计算即可得到结果，先化简再代值能避免复杂运算，减少出错概率。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{a - 1}{a^2 - 1}$
对分母因式分解，由平方差公式得$a^2 - 1=(a+1)(a-1)$，代入后约分：
原式$=\frac{a - 1}{(a+1)(a - 1)}=\frac{1}{a+1}$
将$a=2$代入最简分式：
原式$=\frac{1}{2 + 1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
同分母分式加减、分式约分、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分技巧，计算时要注意先化简后代入求值，约分前需先对多项式因式分解，准确识别公因式，避免运算错误。
【难度系数】
0.9
13.化简：$\frac{4x}{x^2 -4} - \frac{2}{x-2} -1$.圆圆的解答如下：
$\frac{4x}{x^2 -4} - \frac{2}{x-2} -1 = 4x -2(x+2)-(x^2 -4)= -x^2 +2x$.圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案.
$\frac{4x}{x^2 -4} - \frac{2}{x-2} -1 = 4x -2(x+2)-(x^2 -4)= -x^2 +2x$.圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案.
答案
圆圆的解答错误，正确解法:原式$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} =\frac{4x-2x-4-x^2+4}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x-x^2}{(x-2)(x+2)}=-\frac{x}{x+2}$
解析
【分析】
首先判断圆圆的解答错误，错误原因是混淆了分式加减运算与分式方程的解法，分式加减属于恒等变形，不能直接去掉分母，必须保留分母进行通分运算。解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步将三个分式都通分，化为同分母的分式；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；第四步对分子化简后进行因式分解，再约分化为最简分式。
【解析】
圆圆的解答不正确，正确解法如下：
首先对分母因式分解，得：
原式$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2}{x-2} -1$
确定最简公分母为$(x-2)(x+2)$，将各项通分：
$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{4x - 2(x+2) - (x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)}$
展开并化简分子：
$=\frac{4x - 2x - 4 - x^2 + 4}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x - x^2}{(x-2)(x+2)}$
对分子因式分解后约分：
$=\frac{x(2 - x)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{x}{x+2}$
【答案】
圆圆的解答错误，正确答案为$\boldsymbol{-\dfrac{x}{x+2}}$
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的典型题，易错点是容易混淆分式运算和分式方程的解法，错误地直接去掉分母导致运算错误。运算时要先对分母因式分解确定最简公分母，通分后再进行分子的加减运算，最后结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.7
首先判断圆圆的解答错误，错误原因是混淆了分式加减运算与分式方程的解法，分式加减属于恒等变形，不能直接去掉分母，必须保留分母进行通分运算。解题思路如下：第一步先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$；第二步将三个分式都通分，化为同分母的分式；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；第四步对分子化简后进行因式分解，再约分化为最简分式。
【解析】
圆圆的解答不正确，正确解法如下：
首先对分母因式分解，得：
原式$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2}{x-2} -1$
确定最简公分母为$(x-2)(x+2)$，将各项通分：
$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{4x - 2(x+2) - (x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)}$
展开并化简分子：
$=\frac{4x - 2x - 4 - x^2 + 4}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x - x^2}{(x-2)(x+2)}$
对分子因式分解后约分：
$=\frac{x(2 - x)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{x}{x+2}$
【答案】
圆圆的解答错误，正确答案为$\boldsymbol{-\dfrac{x}{x+2}}$
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的典型题，易错点是容易混淆分式运算和分式方程的解法，错误地直接去掉分母导致运算错误。运算时要先对分母因式分解确定最简公分母，通分后再进行分子的加减运算，最后结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.7
14. 新考向 归纳与应用 观察下列各式：
……
（1）你归纳出的一般结论是________；
（2）利用上述结论计算：$\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \dots + \frac{1}{(x-2029)(x-2030)}$
……
（1）你归纳出的一般结论是________；
（2）利用上述结论计算：$\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \dots + \frac{1}{(x-2029)(x-2030)}$
答案
(1)$\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$
(2) 原式$=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+ \dots + \frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-2029}=\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1-x+2030}{(x-2030)(x-1)}=\frac{2029}{x^2-2031x+2030}$
(2) 原式$=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+ \dots + \frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-2029}=\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1-x+2030}{(x-2030)(x-1)}=\frac{2029}{x^2-2031x+2030}$
解析
【分析】
（1）规律探究题可先观察已知等式的结构特征：等式左边分母是两个差为1的一次多项式的乘积，右边是这两个多项式分别作分母的单位分式的差，我们可以通过通分验证该规律的合理性，再推广到一般形式即可。
（2）分式求和计算时，先对照第一问归纳的裂项规律，将每一项拆分为两个分式的差，拆分后中间项会两两互为相反数、相加抵消，仅剩下首尾两项，最后对首尾两项做分式减法运算，通分化简为最简分式即可。
【解析】
（1）设n为正整数，对猜想的结论通分验证：
$\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}=\frac{(x-n)-(x-n-1)}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}$
和左边相等，因此归纳得到一般结论：$\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（n为正整数）。
（2）根据上述规律拆分原式每一项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})+\dots+(\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-2029})\\&=\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-1}\\&=\frac{(x-1)-(x-2030)}{(x-2030)(x-1)}\\&=\frac{x-1-x+2030}{x^2-2030x -x +2030}\\&=\frac{2029}{x^2-2031x+2030}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（n为正整数）
(2) $\frac{2029}{x^2-2031x+2030}$
【知识点】
分式裂项规律，分式加减运算，规律探究归纳
【点评】
本题结合规律探究考查分式的化简计算，解题核心是准确掌握裂项相消的方法，拆分时需注意符号不要出错，最终运算结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
（1）规律探究题可先观察已知等式的结构特征：等式左边分母是两个差为1的一次多项式的乘积，右边是这两个多项式分别作分母的单位分式的差，我们可以通过通分验证该规律的合理性，再推广到一般形式即可。
（2）分式求和计算时，先对照第一问归纳的裂项规律，将每一项拆分为两个分式的差，拆分后中间项会两两互为相反数、相加抵消，仅剩下首尾两项，最后对首尾两项做分式减法运算，通分化简为最简分式即可。
【解析】
（1）设n为正整数，对猜想的结论通分验证：
$\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}=\frac{(x-n)-(x-n-1)}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}$
和左边相等，因此归纳得到一般结论：$\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（n为正整数）。
（2）根据上述规律拆分原式每一项：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})+\dots+(\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-2029})\\&=\frac{1}{x-2030}-\frac{1}{x-1}\\&=\frac{(x-1)-(x-2030)}{(x-2030)(x-1)}\\&=\frac{x-1-x+2030}{x^2-2030x -x +2030}\\&=\frac{2029}{x^2-2031x+2030}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（n为正整数）
(2) $\frac{2029}{x^2-2031x+2030}$
【知识点】
分式裂项规律，分式加减运算，规律探究归纳
【点评】
本题结合规律探究考查分式的化简计算，解题核心是准确掌握裂项相消的方法，拆分时需注意符号不要出错，最终运算结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.7
