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相似形
├─比例线段
├─平行线分线段成比例
│ ├─两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段
│ └─平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段
├─相似三角形
│ ├─对应角
│ └─
├─相似三角形的判定
│ ├─三角形
│ ├─两角
│ ├─两边
的两个三角形相似
│ ├─三边
│ └─如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
├─相似三角形的性质
│ ├─相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
│ ├─相似三角形周长的比等于
│ └─相似三角形面积的比等于
└─位似图形
相似形
├─比例线段
├─平行线分线段成比例
│ ├─两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段
成比例
│ └─平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段
成比例
├─相似三角形
│ ├─对应角
相等
,对应边 成比例
│ └─
平行
于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原 相似
├─相似三角形的判定
│ ├─三角形
成比例
│ ├─两角
分别相等
的两个三角形相似│ ├─两边
成比例
且夹角 的两个三角形相似│ ├─三边
成比例
的两个三角形相似│ └─如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
成比例
,那么这两个直角三角形相似├─相似三角形的性质
│ ├─相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于
相似比
│ ├─相似三角形周长的比等于
相似比
│ └─相似三角形面积的比等于
相似比的平方
└─位似图形
答案
1. 成比例
2. 成比例
3. 相等
4. 成比例
5. 平行
6. 相似
7. 成比例
8. 分别相等
9. 成比例
10. 成比例
11. 成比例
12. 相似比
13. 相似比
14. 相似比的平方
2. 成比例
3. 相等
4. 成比例
5. 平行
6. 相似
7. 成比例
8. 分别相等
9. 成比例
10. 成比例
11. 成比例
12. 相似比
13. 相似比
14. 相似比的平方
解析
【分析】
这是一道相似形章节的基础概念梳理题，所有空格对应的内容均为教材中明确给出的基础定理、定义和性质。解题时只需逐一回忆平行线分线段成比例相关结论、相似三角形的定义、判定定理、性质定理的原文表述，对应填入空格即可，属于识记类题目，准确记忆知识点就能顺利完成。
【解析】
我们按照空格顺序逐一结合对应知识点填写：
1. 根据平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此第一空填成比例；
2. 根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例，因此第二空填成比例；
3. 根据相似三角形的定义：相似三角形对应角相等，因此第三空填相等；
4. 根据相似三角形的定义：相似三角形对应边成比例，因此第四空填成比例；
5. 根据相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似，因此第五空填平行；
6. 结合上述预备定理，第六空填相似；
7. 结合相似三角形判定相关定理，第七空填成比例；
8. 根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，因此第八空填分别相等；
9. 根据相似三角形判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此第九空填成比例；
10. 结合上述判定定理，第十空填成比例；
11. 根据相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似，因此第十一空填成比例；
12. 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，因此第十二空填相似比；
13. 根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，因此第十三空填相似比；
14. 根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，因此第十四空填相似比的平方。
【答案】
1. 成比例
2. 成比例
3. 相等
4. 成比例
5. 平行
6. 相似
7. 成比例
8. 分别相等
9. 成比例
10. 成比例
11. 成比例
12. 相似比
13. 相似比
14. 相似比的平方
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似形核心基础概念的考查，这些内容是后续解决相似相关的证明、计算类题目的基础，需要准确识记，做到熟练运用。
【难度系数】
0.9
这是一道相似形章节的基础概念梳理题，所有空格对应的内容均为教材中明确给出的基础定理、定义和性质。解题时只需逐一回忆平行线分线段成比例相关结论、相似三角形的定义、判定定理、性质定理的原文表述，对应填入空格即可，属于识记类题目，准确记忆知识点就能顺利完成。
【解析】
我们按照空格顺序逐一结合对应知识点填写：
1. 根据平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此第一空填成比例；
2. 根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例，因此第二空填成比例；
3. 根据相似三角形的定义：相似三角形对应角相等，因此第三空填相等；
4. 根据相似三角形的定义：相似三角形对应边成比例，因此第四空填成比例；
5. 根据相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似，因此第五空填平行；
6. 结合上述预备定理，第六空填相似；
7. 结合相似三角形判定相关定理，第七空填成比例；
8. 根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，因此第八空填分别相等；
9. 根据相似三角形判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此第九空填成比例；
10. 结合上述判定定理，第十空填成比例；
11. 根据相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似，因此第十一空填成比例；
12. 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，因此第十二空填相似比；
13. 根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，因此第十三空填相似比；
14. 根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，因此第十四空填相似比的平方。
【答案】
1. 成比例
2. 成比例
3. 相等
4. 成比例
5. 平行
6. 相似
7. 成比例
8. 分别相等
9. 成比例
10. 成比例
11. 成比例
12. 相似比
13. 相似比
14. 相似比的平方
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似形核心基础概念的考查，这些内容是后续解决相似相关的证明、计算类题目的基础，需要准确识记，做到熟练运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列四组线段中,是成比例线段的是（
A.4 cm,3 cm,4 cm,5 cm
B.10 cm,16 cm,5 cm,8 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
D.9 cm,8 cm,15 cm,10 cm
B
）A.4 cm,3 cm,4 cm,5 cm
B.10 cm,16 cm,5 cm,8 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
D.9 cm,8 cm,15 cm,10 cm
答案
1.B
解析
【分析】
要判断四组线段是否为成比例线段，首先明确判断方法：第一步先将每组的四条线段按照长度从小到大（或从大到小）排序，第二步根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，反之则不是，按照这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
成比例线段的定义：若四条线段排序后为$a＜b＜c＜d$，且满足$ad=bc$（即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$），则这四条线段为成比例线段。
我们逐个分析选项：
A. 排序后为$3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$，计算得$3×5=15$，$4×4=16$，$15≠16$，不是成比例线段；
B. 排序后为$5\mathrm{cm},8\mathrm{cm},10\mathrm{cm},16\mathrm{cm}$，计算得$5×16=80$，$8×10=80$，$80=80$，满足成比例线段的要求；
C. 排序后为$2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},6\mathrm{cm},8\mathrm{cm}$，计算得$2×8=16$，$4×6=24$，$16≠24$，不是成比例线段；
D. 排序后为$8\mathrm{cm},9\mathrm{cm},10\mathrm{cm},15\mathrm{cm}$，计算得$8×15=120$，$9×10=90$，$120≠90$，不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查成比例线段的判定方法，解题时注意先对线段长度排序再验证乘积相等，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断四组线段是否为成比例线段，首先明确判断方法：第一步先将每组的四条线段按照长度从小到大（或从大到小）排序，第二步根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，反之则不是，按照这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
成比例线段的定义：若四条线段排序后为$a＜b＜c＜d$，且满足$ad=bc$（即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$），则这四条线段为成比例线段。
我们逐个分析选项：
A. 排序后为$3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$，计算得$3×5=15$，$4×4=16$，$15≠16$，不是成比例线段；
B. 排序后为$5\mathrm{cm},8\mathrm{cm},10\mathrm{cm},16\mathrm{cm}$，计算得$5×16=80$，$8×10=80$，$80=80$，满足成比例线段的要求；
C. 排序后为$2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},6\mathrm{cm},8\mathrm{cm}$，计算得$2×8=16$，$4×6=24$，$16≠24$，不是成比例线段；
D. 排序后为$8\mathrm{cm},9\mathrm{cm},10\mathrm{cm},15\mathrm{cm}$，计算得$8×15=120$，$9×10=90$，$120≠90$，不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查成比例线段的判定方法，解题时注意先对线段长度排序再验证乘积相等，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8
2.(亳州期末)若$4a=3b≠0$，则$\frac{b - a}{a}$的值为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题已知a和b的等量关系，要求分式的值，可通过两种思路求解：思路一：先根据比例的基本性质，由4a=3b求出$\frac{b}{a}$的值，再将所求分式拆分为$\frac{b}{a}-1$，代入计算即可；思路二：采用赋值法，给a取非零的合适值，求出对应b的值后直接代入分式计算，更直观不易出错。
【解析】
方法一：
∵$4a=3b≠0$，根据比例的基本性质，等式两边同时除以$3a$，可得$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。
对所求分式拆分变形：$\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-\frac{a}{a}=\frac{b}{a}-1$，
将$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$代入得：$\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。
方法二（赋值法）：
∵$4a=3b≠0$，可设$a=3$，代入$4a=3b$得$4×3=3b$，解得$b=4$，
将$a=3$、$b=4$代入$\frac{b-a}{a}$得：$\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查比例基本性质的应用和分式的简单运算，两种解题方法都较为常用，赋值法能降低解题难度，减少比例换算时的失误。
【难度系数】
0.7
本题已知a和b的等量关系，要求分式的值，可通过两种思路求解：思路一：先根据比例的基本性质，由4a=3b求出$\frac{b}{a}$的值，再将所求分式拆分为$\frac{b}{a}-1$，代入计算即可；思路二：采用赋值法，给a取非零的合适值，求出对应b的值后直接代入分式计算，更直观不易出错。
【解析】
方法一：
∵$4a=3b≠0$，根据比例的基本性质，等式两边同时除以$3a$，可得$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。
对所求分式拆分变形：$\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-\frac{a}{a}=\frac{b}{a}-1$，
将$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$代入得：$\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。
方法二（赋值法）：
∵$4a=3b≠0$，可设$a=3$，代入$4a=3b$得$4×3=3b$，解得$b=4$，
将$a=3$、$b=4$代入$\frac{b-a}{a}$得：$\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查比例基本性质的应用和分式的简单运算，两种解题方法都较为常用，赋值法能降低解题难度，减少比例换算时的失误。
【难度系数】
0.7
3.如图，直线$a// b// c$，直线$l_1,l_2$分别交直线$a,b,c$于点$A,B,C$和点$D,E,F$，且$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，$DF=15$，则$EF$的长为（
A.5
B.6
C.8
D.9
D
）A.5
B.6
C.8
D.9
答案
3.D
解析
【分析】
本题可根据平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，三条平行线a、b、c截两条直线$l_1$、$l_2$，可得对应线段成比例，即AB与BC的比等于DE与EF的比；再结合已知的$AB:BC$的比值和DF的总长，将比例关系转化为份数关系，即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 直线$a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设$DE=2k$，$EF=3k$（$k＞0$），
∵ $DF=DE+EF=15$，
∴ $2k+3k=15$，即$5k=15$，解得$k=3$，
∴ $EF=3k=3×3=9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线所截得的对应线段，正确列出比例关系，结合线段和的条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可根据平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，三条平行线a、b、c截两条直线$l_1$、$l_2$，可得对应线段成比例，即AB与BC的比等于DE与EF的比；再结合已知的$AB:BC$的比值和DF的总长，将比例关系转化为份数关系，即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 直线$a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设$DE=2k$，$EF=3k$（$k＞0$），
∵ $DF=DE+EF=15$，
∴ $2k+3k=15$，即$5k=15$，解得$k=3$，
∴ $EF=3k=3×3=9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例线段计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确识别平行线所截得的对应线段，正确列出比例关系，结合线段和的条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=-3$，则$\frac{b - d + 2f}{a - c + 2e}=$
$-\frac{1}{3}$
。答案
4.$-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题给出多个比值相等的条件，解题时可先利用比例的基本性质，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，再代入所求分式，通过约分即可算出结果。遇到连等的比例式时，把每个比例的分子转化为分母乘比值的形式，是常用的代入化简思路。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=-3$
∴根据比例的基本性质可得：$a=-3b$，$c=-3d$，$e=-3f$
将上述关系代入所求分式的分母中：
$a - c + 2e = -3b - (-3d) + 2×(-3f) = -3b + 3d - 6f = -3(b - d + 2f)$
由分式有意义的条件可知$b - d + 2f ≠ 0$，因此可以约分：
$\frac{b - d + 2f}{a - c + 2e} = \frac{b - d + 2f}{-3(b - d + 2f)} = -\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、分式约分
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，解题核心是对连等比例式中的变量做代换，代入后通过约分化简得到结果，计算时要注意确认约去的整式不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
本题给出多个比值相等的条件，解题时可先利用比例的基本性质，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，再代入所求分式，通过约分即可算出结果。遇到连等的比例式时，把每个比例的分子转化为分母乘比值的形式，是常用的代入化简思路。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=-3$
∴根据比例的基本性质可得：$a=-3b$，$c=-3d$，$e=-3f$
将上述关系代入所求分式的分母中：
$a - c + 2e = -3b - (-3d) + 2×(-3f) = -3b + 3d - 6f = -3(b - d + 2f)$
由分式有意义的条件可知$b - d + 2f ≠ 0$，因此可以约分：
$\frac{b - d + 2f}{a - c + 2e} = \frac{b - d + 2f}{-3(b - d + 2f)} = -\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、分式约分
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，解题核心是对连等比例式中的变量做代换，代入后通过约分化简得到结果，计算时要注意确认约去的整式不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
5.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD.添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（
A.∠ACD=∠B
B.∠ADC=∠ACB
C.$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$
D.$AC^2=AD· AB$
（第5题图）（第6题图）
C
）A.∠ACD=∠B
B.∠ADC=∠ACB
C.$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$
D.$AC^2=AD· AB$
（第5题图）（第6题图）
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）可判定两三角形相似。本题中△ACD和△ABC有公共角∠A，因此要判定二者相似，只需再找到一组对应角相等，或夹∠A的两组对应边成比例即可。接下来逐一验证每个选项是否满足判定条件，就能选出无法判定相似的选项。
【解析】
已知△ACD与△ABC有公共角$∠ A=∠ A$：
1. 对选项A：若$∠ ACD=∠ B$，结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意；
2. 对选项B：若$∠ ADC=∠ ACB$，结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意；
3. 对选项C：若$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，此时$∠ A$不是这组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法判定$△ ACD ∽ △ ABC$，符合题意；
4. 对选项D：若$AC^2=AD·AB$，变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$∠ A$是这两组对应边的夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件逐一验证，要注意“两边对应成比例且一边的对角相等”不能作为三角形相似的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）可判定两三角形相似。本题中△ACD和△ABC有公共角∠A，因此要判定二者相似，只需再找到一组对应角相等，或夹∠A的两组对应边成比例即可。接下来逐一验证每个选项是否满足判定条件，就能选出无法判定相似的选项。
【解析】
已知△ACD与△ABC有公共角$∠ A=∠ A$：
1. 对选项A：若$∠ ACD=∠ B$，结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意；
2. 对选项B：若$∠ ADC=∠ ACB$，结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意；
3. 对选项C：若$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$，此时$∠ A$不是这组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法判定$△ ACD ∽ △ ABC$，符合题意；
4. 对选项D：若$AC^2=AD·AB$，变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$∠ A$是这两组对应边的夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件逐一验证，要注意“两边对应成比例且一边的对角相等”不能作为三角形相似的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
6.某家用晾衣架的侧面示意图如图所示，已知$AB// PQ$，根据图中数据可计算出$P,Q$两点间的距离是（
A.0.6 m
B.0.8 m
C.0.9 m
D.1 m
A
）A.0.6 m
B.0.8 m
C.0.9 m
D.1 m
答案
6.A
解析
【分析】
首先观察图形，已知$AB// PQ$，可先证明$△ AOB$与$△ QOP$相似，再利用相似三角形“对应边的比等于对应高的比”的性质求解。首先计算两个三角形的对应高：$AB$到交点$O$的高度为总高$1.25\mathrm{m}$减去$O$到$PQ$的高度$0.75\mathrm{m}$，得到$0.5\mathrm{m}$，再代入已知边长列比例式即可求出$PQ$的长度。
【解析】
解：$\because AB// PQ$
$\therefore ∠ OAB=∠ OQP，∠ OBA=∠ OPQ$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ QOP$（对顶角相等）
$\therefore △ AOB∽△ QOP$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AB到O点的高度}{PQ到O点的高度}$
代入已知数据$AB=0.4\mathrm{m}$，$AB$到$O$的高度$=1.25-0.75=0.5\mathrm{m}$，$PQ$到$O$的高度$=0.75\mathrm{m}$：
$\frac{0.4}{PQ}=\frac{0.5}{0.75}$
解得$PQ=\frac{0.4×0.75}{0.5}=0.6\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实例考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，找准对应边和对应高的比例关系，代入数据计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知$AB// PQ$，可先证明$△ AOB$与$△ QOP$相似，再利用相似三角形“对应边的比等于对应高的比”的性质求解。首先计算两个三角形的对应高：$AB$到交点$O$的高度为总高$1.25\mathrm{m}$减去$O$到$PQ$的高度$0.75\mathrm{m}$，得到$0.5\mathrm{m}$，再代入已知边长列比例式即可求出$PQ$的长度。
【解析】
解：$\because AB// PQ$
$\therefore ∠ OAB=∠ OQP，∠ OBA=∠ OPQ$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ QOP$（对顶角相等）
$\therefore △ AOB∽△ QOP$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AB到O点的高度}{PQ到O点的高度}$
代入已知数据$AB=0.4\mathrm{m}$，$AB$到$O$的高度$=1.25-0.75=0.5\mathrm{m}$，$PQ$到$O$的高度$=0.75\mathrm{m}$：
$\frac{0.4}{PQ}=\frac{0.5}{0.75}$
解得$PQ=\frac{0.4×0.75}{0.5}=0.6\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实例考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，找准对应边和对应高的比例关系，代入数据计算即可。
【难度系数】
0.7
7.(池州贵池区期末)如图,在$□ ABCD$中,E为CD上一点,连接AE,BD交于点F.若$S_{△ DEF}=4,S_{△ ADF}=10$,则$S_{四边形BCEF}$为 (
A.31
B.21
C.25
D.14
A
)A.31
B.21
C.25
D.14
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先观察已知面积的两个三角形△DEF和△ADF，二者共高，面积比等于对应底EF与AF的比值，可得线段比；再结合平行四边形对边平行的性质，证明△DEF∽△BAF，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABF的面积；接着求出△ABD的面积，进而得到平行四边形的总面积；最后用总面积减去三个已知三角形的面积，即可得到四边形BCEF的面积。
【解析】
1. 求EF与AF的比值：
△DEF和△ADF同高（以D为顶点，底边在AE上），因此面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{EF}{AF}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
2. 利用相似求$\boldsymbol{S_{△ ABF}}$：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$DE// AB$，
∴$△ DEF ∽ △ BAF$，相似比$k=\frac{EF}{AF}=\frac{2}{5}$。
相似三角形面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，代入$S_{△ DEF}=4$，解得$S_{△ ABF}=25$。
3. 求平行四边形面积：
$S_{△ ABD}=S_{△ ADF}+S_{△ ABF}=10+25=35$，平行四边形面积是其对角线分成的三角形面积的2倍，因此$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=2×35=70$。
4. 计算四边形BCEF的面积：
$S_{四边形BCEF}=S_{□ ABCD}-S_{△ DEF}-S_{△ ADF}-S_{△ ABF}=70-4-10-25=31$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，解题核心是先通过共高三角形的面积比得到线段比，再结合相似三角形的性质求解未知三角形面积，最后结合平行四边形的面积性质得到结果，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知面积的两个三角形△DEF和△ADF，二者共高，面积比等于对应底EF与AF的比值，可得线段比；再结合平行四边形对边平行的性质，证明△DEF∽△BAF，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABF的面积；接着求出△ABD的面积，进而得到平行四边形的总面积；最后用总面积减去三个已知三角形的面积，即可得到四边形BCEF的面积。
【解析】
1. 求EF与AF的比值：
△DEF和△ADF同高（以D为顶点，底边在AE上），因此面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ADF}}=\frac{EF}{AF}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
2. 利用相似求$\boldsymbol{S_{△ ABF}}$：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$DE// AB$，
∴$△ DEF ∽ △ BAF$，相似比$k=\frac{EF}{AF}=\frac{2}{5}$。
相似三角形面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，代入$S_{△ DEF}=4$，解得$S_{△ ABF}=25$。
3. 求平行四边形面积：
$S_{△ ABD}=S_{△ ADF}+S_{△ ABF}=10+25=35$，平行四边形面积是其对角线分成的三角形面积的2倍，因此$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABD}=2×35=70$。
4. 计算四边形BCEF的面积：
$S_{四边形BCEF}=S_{□ ABCD}-S_{△ DEF}-S_{△ ADF}-S_{△ ABF}=70-4-10-25=31$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的典型题型，解题核心是先通过共高三角形的面积比得到线段比，再结合相似三角形的性质求解未知三角形面积，最后结合平行四边形的面积性质得到结果，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
