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1. 如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2),B(3,1).以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标为 (
A.(4,4)
B.(3,3)
C.(3,1)
D.(4,1)
A
)A.(4,4)
B.(3,3)
C.(3,1)
D.(4,1)
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，且位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的坐标为原坐标乘k；若在异侧则乘-k。本题明确在第一象限内将线段扩大为原来的2倍，可知位似比k=2，且与原图形同侧，又因为C是A的对应点，代入A点坐标计算即可得到C的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若位似比为k，且位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以k。
由题意可知，位似比k=2，线段CD与AB都在第一象限，属于原点同侧的位似变换，且点C是点A的对应点。
已知A点坐标为(2,2)，则C点坐标为$(2×2, 2×2) = (4,4)$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
位似变换的坐标规律、位似的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标计算，解题的关键是明确位似比的取值以及对应点的对应关系，注意区分位似图形在原点同侧和异侧时坐标的符号差异。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，且位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的坐标为原坐标乘k；若在异侧则乘-k。本题明确在第一象限内将线段扩大为原来的2倍，可知位似比k=2，且与原图形同侧，又因为C是A的对应点，代入A点坐标计算即可得到C的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若位似比为k，且位似图形与原图形在原点同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以k。
由题意可知，位似比k=2，线段CD与AB都在第一象限，属于原点同侧的位似变换，且点C是点A的对应点。
已知A点坐标为(2,2)，则C点坐标为$(2×2, 2×2) = (4,4)$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
位似变换的坐标规律、位似的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标计算，解题的关键是明确位似比的取值以及对应点的对应关系，注意区分位似图形在原点同侧和异侧时坐标的符号差异。
【难度系数】
0.8
2.(淮北期末改编)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点分别为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内将△OAB按相似比$\frac{1}{3}$缩小,得到△OCD,则点C的坐标为
$(-\frac{4}{3},-1)$
.答案
2.$(-\frac{4}{3},-1)$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确位似变换的对应关系：点C是点A的对应点，位似中心为坐标原点O。接下来回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律：若位似图形与原图形在原点同侧，对应点坐标为原坐标乘相似比；若在异侧，对应点坐标为原坐标乘负的相似比。本题中缩小后的三角形在第三象限，和原三角形（第一象限）在原点异侧，相似比为$\frac{1}{3}$，代入A点坐标计算即可得到C点坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△OCD是△OAB按相似比$\frac{1}{3}$缩小得到的，且△OCD在第三象限，与△OAB位于原点异侧，
∴ 点A的对应点C的坐标为A点坐标乘以$-\frac{1}{3}$。
已知A(4,3)，
∴ C点横坐标为$4×(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$，纵坐标为$3×(-\frac{1}{3})=-1$，
即点C的坐标为$(-\frac{4}{3},-1)$。
【答案】
$(-\frac{4}{3},-1)$
【知识点】
位似的坐标变换规律、相似比的应用
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律，尤其要注意根据位似图形所在的象限确定坐标的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确位似变换的对应关系：点C是点A的对应点，位似中心为坐标原点O。接下来回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律：若位似图形与原图形在原点同侧，对应点坐标为原坐标乘相似比；若在异侧，对应点坐标为原坐标乘负的相似比。本题中缩小后的三角形在第三象限，和原三角形（第一象限）在原点异侧，相似比为$\frac{1}{3}$，代入A点坐标计算即可得到C点坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△OCD是△OAB按相似比$\frac{1}{3}$缩小得到的，且△OCD在第三象限，与△OAB位于原点异侧，
∴ 点A的对应点C的坐标为A点坐标乘以$-\frac{1}{3}$。
已知A(4,3)，
∴ C点横坐标为$4×(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$，纵坐标为$3×(-\frac{1}{3})=-1$，
即点C的坐标为$(-\frac{4}{3},-1)$。
【答案】
$(-\frac{4}{3},-1)$
【知识点】
位似的坐标变换规律、相似比的应用
【点评】
本题是位似变换的基础题，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律，尤其要注意根据位似图形所在的象限确定坐标的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
3.(广东中考)如图,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是
1:3
。答案
3.1:3
解析
【分析】
首先明确△AOB放大得到△COD，二者是位似图形，属于特殊的相似图形，相似比为原图形与新图形对应边的比值。我们可以选择x轴上的对应边OB、OD计算长度，再求比值即可得到相似比，注意相似比的前项是△AOB的边，后项是△COD的边，不要弄反顺序。
【解析】
由图可知，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(6,0)，因此OB=2，OD=6。
因为把△AOB放大后得到△COD，所以△AOB∽△COD，二者的相似比等于对应边OB与OD的比值，即：
$OB:OD = 2:6 = 1:3$
【答案】
1:3
【知识点】
位似图形的性质；相似比的计算；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是找准两个图形的对应边，同时明确相似比是原图形与变换后图形的对应边的比，避免将比的前后项颠倒出错。
【难度系数】
0.8
首先明确△AOB放大得到△COD，二者是位似图形，属于特殊的相似图形，相似比为原图形与新图形对应边的比值。我们可以选择x轴上的对应边OB、OD计算长度，再求比值即可得到相似比，注意相似比的前项是△AOB的边，后项是△COD的边，不要弄反顺序。
【解析】
由图可知，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(6,0)，因此OB=2，OD=6。
因为把△AOB放大后得到△COD，所以△AOB∽△COD，二者的相似比等于对应边OB与OD的比值，即：
$OB:OD = 2:6 = 1:3$
【答案】
1:3
【知识点】
位似图形的性质；相似比的计算；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是找准两个图形的对应边，同时明确相似比是原图形与变换后图形的对应边的比，避免将比的前后项颠倒出错。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为B(3,-1),C(2,1).
(1)以点O为位似中心,在y轴左侧画出将△OBC放大2倍得到的△OB'C';
(2)写出点B',C'的坐标.
(1)以点O为位似中心,在y轴左侧画出将△OBC放大2倍得到的△OB'C';
(2)写出点B',C'的坐标.
答案
4.解:(1)如图,△OB'C'即为所求.
(2)点B'的坐标是(-6,2),点C'的坐标是(-4,-2).解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)。本题要求在y轴左侧将△OBC放大2倍，说明位似比k=-2（放大2倍则|k|=2，y轴左侧与原图形分别在原点两侧，故k为负）。第一问先根据位似比计算对应点坐标，再描点连线作图；第二问直接代入坐标计算规则即可得到B'、C'的坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 确定位似比：以O为位似中心，在y轴左侧放大2倍，即位似比k=-2；
② 计算对应点坐标：根据位似变换坐标规律，点(x,y)以原点为位似中心、位似比为k的对应点坐标为(kx,ky)，分别计算B(3,-1)、C(2,1)的对应点B'、C'的坐标；
③ 描出点B'、C'，依次连接O、B'、C'，所得△OB'C'即为所求。
(2) 坐标计算：
点B(3,-1)的对应点B'坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
点C(2,1)的对应点C'坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$。
【答案】
(1)如图,△OB'C'即为所求. (2)点B'的坐标是(-6,2),点C'的坐标是(-4,-2)。
【知识点】
位似变换的坐标规律，位似图形作图，坐标与图形变化
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系内位似变换的应用，解题的关键是明确位似比的符号与位似图形位置的关系，是位似部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)。本题要求在y轴左侧将△OBC放大2倍，说明位似比k=-2（放大2倍则|k|=2，y轴左侧与原图形分别在原点两侧，故k为负）。第一问先根据位似比计算对应点坐标，再描点连线作图；第二问直接代入坐标计算规则即可得到B'、C'的坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 确定位似比：以O为位似中心，在y轴左侧放大2倍，即位似比k=-2；
② 计算对应点坐标：根据位似变换坐标规律，点(x,y)以原点为位似中心、位似比为k的对应点坐标为(kx,ky)，分别计算B(3,-1)、C(2,1)的对应点B'、C'的坐标；
③ 描出点B'、C'，依次连接O、B'、C'，所得△OB'C'即为所求。
(2) 坐标计算：
点B(3,-1)的对应点B'坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
点C(2,1)的对应点C'坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$。
【答案】
(1)如图,△OB'C'即为所求.
(2)点B'的坐标是(-6,2),点C'的坐标是(-4,-2)。【知识点】
位似变换的坐标规律，位似图形作图，坐标与图形变化
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系内位似变换的应用，解题的关键是明确位似比的符号与位似图形位置的关系，是位似部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
5.（浙江中考）如图，五边形ABCDE，$A'B'C'D'E'$是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，$A'$的坐标分别为$(2,0)$，$(3,0)$。若DE的长为3，则$D'E'$的长为（
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
（第5题图）
（第6题图）
C
）A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
（第5题图）
（第6题图）
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换应用，解题思路清晰明确：第一步，先根据位似图形对应点A、$A'$的坐标，计算出两个图形的位似比（即相似比）；第二步，利用位似图形对应边的比值等于位似比的性质，代入已知DE的长度，即可求出$D'E'$的长度，解题时需注意位似比是位似后图形与原图形的对应量比值，不要混淆前后顺序。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE和$A'B'C'D'E'$是以原点O为位似中心的位似图形，
点A、$A'$的坐标分别为$(2,0)$、$(3,0)$，
∴两个五边形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$，
根据位似图形的性质，位似图形对应边的比等于位似比，
∴$\frac{D'E'}{DE}=\frac{3}{2}$，
将$DE=3$代入得：$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题核心是通过对应点的坐标关系确定位似比，再结合位似图形对应边成比例的性质求解边长，易错点为位似比的前后项顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中的位似变换应用，解题思路清晰明确：第一步，先根据位似图形对应点A、$A'$的坐标，计算出两个图形的位似比（即相似比）；第二步，利用位似图形对应边的比值等于位似比的性质，代入已知DE的长度，即可求出$D'E'$的长度，解题时需注意位似比是位似后图形与原图形的对应量比值，不要混淆前后顺序。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE和$A'B'C'D'E'$是以原点O为位似中心的位似图形，
点A、$A'$的坐标分别为$(2,0)$、$(3,0)$，
∴两个五边形的位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$，
根据位似图形的性质，位似图形对应边的比等于位似比，
∴$\frac{D'E'}{DE}=\frac{3}{2}$，
将$DE=3$代入得：$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题核心是通过对应点的坐标关系确定位似比，再结合位似图形对应边成比例的性质求解边长，易错点为位似比的前后项顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
6.(易错题)如图,已知$E(-6,2),F(-1,-1)$,以点O为位似中心,把$△ EFO$缩小为原来的$\frac{1}{2}$,则点E的对应点的坐标为
$(-3,1)$或$(3,-1)$
。答案
6.$(-3,1)$或$(3,-1)$
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k，对应位似图形与原图形在位似中心的同侧、异侧两种情况。本题要求将△EFO缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即相似比为$\pm \frac{1}{2}$，将点E的坐标分别乘两个相似比即可得到对应点坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
解：平面直角坐标系中，以原点O为位似中心进行位似变换时，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以k或者-k。
由题意可知，把△EFO缩小为原来的$\frac{1}{2}$，因此相似比$k=\frac{1}{2}$或$k=-\frac{1}{2}$。
已知点E坐标为$(-6,2)$：
当$k=\frac{1}{2}$时，对应点坐标为$(-6× \frac{1}{2},2× \frac{1}{2})=(-3,1)$；
当$k=-\frac{1}{2}$时，对应点坐标为$(-6× (-\frac{1}{2}),2× (-\frac{1}{2}))=(3,-1)$。
综上，点E的对应点坐标为$(-3,1)$或$(3,-1)$。
【答案】
$(-3,1)$或$(3,-1)$
【知识点】
位似坐标变换规律，位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础易错题，解题关键是明确以原点为位似中心时，对应点坐标存在两种情况，分别对应位似图形在原点的同侧和异侧，避免只考虑单一情况出现漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或乘-k，对应位似图形与原图形在位似中心的同侧、异侧两种情况。本题要求将△EFO缩小为原来的$\frac{1}{2}$，即相似比为$\pm \frac{1}{2}$，将点E的坐标分别乘两个相似比即可得到对应点坐标，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
解：平面直角坐标系中，以原点O为位似中心进行位似变换时，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以k或者-k。
由题意可知，把△EFO缩小为原来的$\frac{1}{2}$，因此相似比$k=\frac{1}{2}$或$k=-\frac{1}{2}$。
已知点E坐标为$(-6,2)$：
当$k=\frac{1}{2}$时，对应点坐标为$(-6× \frac{1}{2},2× \frac{1}{2})=(-3,1)$；
当$k=-\frac{1}{2}$时，对应点坐标为$(-6× (-\frac{1}{2}),2× (-\frac{1}{2}))=(3,-1)$。
综上，点E的对应点坐标为$(-3,1)$或$(3,-1)$。
【答案】
$(-3,1)$或$(3,-1)$
【知识点】
位似坐标变换规律，位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础易错题，解题关键是明确以原点为位似中心时，对应点坐标存在两种情况，分别对应位似图形在原点的同侧和异侧，避免只考虑单一情况出现漏解。
【难度系数】
0.6
7.(池州贵池区期末)如图,在正方形网格中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3),△O₁A₁B₁与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
(1)点P的坐标为
(2)以原点O为位似中心,在方格纸中画出△OA₂B₂,使它与△OAB的位似比为2:1;
(3)若△OAB内部的一点M(m,n),则点M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标为
(1)点P的坐标为
$(-5,-1)$
;(2)以原点O为位似中心,在方格纸中画出△OA₂B₂,使它与△OAB的位似比为2:1;
(3)若△OAB内部的一点M(m,n),则点M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标为
$(2m,2n)$
.答案
7.解:(1)(-5,-1) (2)如图,△OA₂B₂即为所求.
(3)(2m,2n)解析
【分析】
(1) 要找位似中心P，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此只需作出两组对应顶点的连线，其交点即为位似中心P，再读取交点坐标即可。
(2) 以原点为位似中心画位似图形，位似比为2:1时，只需将原图形各顶点的横、纵坐标都乘以位似比2，得到新图形对应顶点的坐标，再顺次连接各顶点即可。
(3) 根据原点为位似中心时的坐标变化规律：若位似比为k，则原坐标为(m,n)的点，对应点坐标为(km,kn)，代入位似比即可得到M₂的坐标。
【解析】
(1) 分别连接并延长$OO_1$、$AA_1$，两条直线的交点即为位似中心P，观察网格可得点P的坐标为$(-5,-1)$。
(2) 已知$△ OAB$的顶点坐标$O(0,0)$、$A(-2,-1)$、$B(-1,-3)$，以原点O为位似中心，位似比为$2:1$，则对应顶点坐标为：
$O$的对应点仍为$(0,0)$，$A$的对应点$A_2(-2×2,-1×2)=(-4,-2)$，$B$的对应点$B_2(-1×2,-3×2)=(-2,-6)$，
在网格中描出$A_2$、$B_2$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，得到$△ OA_2B_2$即为所求。
(3) 原点为位似中心，位似比为2，因此点$M(m,n)$的对应点$M_2$的坐标为横纵坐标均乘以2，即$(2m,2n)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-5,-1)}$
(2) 如图，$△ OA_2B_2$即为所求。
(3) $\boldsymbol{(2m,2n)}$
【知识点】
位似中心的确定；位似变换的坐标规律；位似图形的画法
【点评】
本题围绕位似变换的核心知识点设置问题，侧重考查对基础性质和规律的掌握，解题的关键是牢记位似中心的特征以及位似变换下的坐标变化规则，属于位似部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要找位似中心P，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此只需作出两组对应顶点的连线，其交点即为位似中心P，再读取交点坐标即可。
(2) 以原点为位似中心画位似图形，位似比为2:1时，只需将原图形各顶点的横、纵坐标都乘以位似比2，得到新图形对应顶点的坐标，再顺次连接各顶点即可。
(3) 根据原点为位似中心时的坐标变化规律：若位似比为k，则原坐标为(m,n)的点，对应点坐标为(km,kn)，代入位似比即可得到M₂的坐标。
【解析】
(1) 分别连接并延长$OO_1$、$AA_1$，两条直线的交点即为位似中心P，观察网格可得点P的坐标为$(-5,-1)$。
(2) 已知$△ OAB$的顶点坐标$O(0,0)$、$A(-2,-1)$、$B(-1,-3)$，以原点O为位似中心，位似比为$2:1$，则对应顶点坐标为：
$O$的对应点仍为$(0,0)$，$A$的对应点$A_2(-2×2,-1×2)=(-4,-2)$，$B$的对应点$B_2(-1×2,-3×2)=(-2,-6)$，
在网格中描出$A_2$、$B_2$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，得到$△ OA_2B_2$即为所求。
(3) 原点为位似中心，位似比为2，因此点$M(m,n)$的对应点$M_2$的坐标为横纵坐标均乘以2，即$(2m,2n)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-5,-1)}$
(2) 如图，$△ OA_2B_2$即为所求。
(3) $\boldsymbol{(2m,2n)}$
【知识点】
位似中心的确定；位似变换的坐标规律；位似图形的画法
【点评】
本题围绕位似变换的核心知识点设置问题，侧重考查对基础性质和规律的掌握，解题的关键是牢记位似中心的特征以及位似变换下的坐标变化规则，属于位似部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
