9. 新趋势 数学文化（日照中考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为$x$，可列方程为（）

A.$9x+11=6x+16$
B.$9x-11=6x-16$
C.$9x+11=6x-16$
D.$9x-11=6x+16$

5 cm

由折叠性质可知，AF=AB=10cm，EF=BE。
在长方形ABCD中，AD=BC=8cm，CD=AB=10cm，∠D=∠C=90°。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{AF^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6\ \mathrm{cm}$
因此$CF=CD-DF=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$EF=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=x\ \mathrm{cm}$，$EC=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
$(8-x)^2 + 4^2 = x^2$
展开化简得$64-16x+x^2+16=x^2$，解得$x=5$。
即线段EF的长为5cm。

10. 若$x=2$是关于$x$的一元一次方程$ax+3=b$的解，则$6a-3b+2$的值是（）

A.$-1$
B.$-7$
C.$7$
D.$11$

10.B 解析:将$x=2$代入一元一次方程得$2a+3=b$,即$2a-b=-3$,则$6a-3b+2=3(2a-b)+2=3×(-3)+2=-7$,故选B.

【分析】
解题时首先回忆一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此第一步将x=2代入原方程，得到a和b的数量关系；再观察所求代数式$6a-3b+2$的结构，发现可以变形为含有a、b数量关系的式子，用整体代入法计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
∵$x=2$是一元一次方程$ax+3=b$的解
∴将$x=2$代入方程得：$2a + 3 = b$
移项整理得：$2a - b = -3$
对所求代数式变形可得：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入上式得：
原式$= 3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题考查方程解的应用，核心是运用整体代入思想求解代数式的值，避免单独求解单个字母的取值，可简化运算过程，属于方程章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

11. 新趋势 数学文化（内江中考）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，可列一元一次方程为.

解：设 $AB = x$ 米，根据题意知，
$BC = 5$ 米，$AC = (x+1)$ 米，
在 $Rt△ ABC$ 中，由勾股定理，得
$BC^{2} + AB^{2} = AC^{2}$，即 $5^2 + x^2 = (x+1)^2$，
整理得 $25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$，
解得 $x = 12$。
答：旗杆 $AB$ 的高度为 $12$ 米。

【分析】
本题要求根据题意列一元一次方程，解题核心是找到不变的等量关系，本题中竿的长度是固定不变的。我们可以分三步思考：第一步，结合设出的绳索长x尺，根据“绳索比竿长5尺”表示出竿的长度；第二步，根据“绳索对半折后量竿比竿短5尺”，再次用含x的式子表示出竿的长度；第三步，利用竿长相等的关系，令两个表示竿长的式子相等，即可得到所求方程。
【解析】
设绳索长为x尺：
1. 根据“绳索比竿长5尺”，可得竿的长度为$(x-5)$尺；
2. 绳索对半折后的长度为$\frac{x}{2}$尺，此时量竿比竿短5尺，说明竿长比对半折后的绳索长5尺，因此竿的长度也可表示为$(\frac{x}{2}+5)$尺；
3. 由于竿的长度固定，因此两个表示竿长的代数式相等，可列方程：$x-5=\frac{x}{2}+5$。
【答案】
$x-5=\frac{x}{2}+5$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系确定
3. 列代数式
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查从实际场景中提取信息、列一元一次方程的能力，解题的关键是抓住竿长不变这一恒定条件，同时要准确理解“对半折”“短一托”等表述的实际含义。
【难度系数】
0.7

12. (贵阳中考)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”.如图①,从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数$x,y$的系数与相应的常数项,即可表示方程$x+4y=23$,则图②表示的方程是.

12.$x+2y=32$ 解析:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常数项,一个竖算筹表示一,一个横算筹表示十,所以题图②表示的方程是$x+2y=32$.

【分析】
解题时首先要明确题目给出的两条核心规则：一是从左到右的算筹依次对应x的系数、y的系数、方程的常数项；二是结合图①的示例可推出：1根竖放的算筹表示1，1根横放的算筹表示10。接下来我们只需要对应读取图②中三个位置的算筹数量，分别计算出x系数、y系数、常数项，就能组合得到对应的方程。
【解析】
根据题意明确规则：
1. 算筹从左到右的三个部分，依次对应方程中x的系数、y的系数、常数项；
2. 1根竖算筹表示1，1根横算筹表示10。
观察图②各部分：
最左侧（x系数部分）：有1根竖算筹，因此x的系数为$1$；
中间（y系数部分）：有2根竖算筹，因此y的系数为$2$；
最右侧（常数项部分）：3根横算筹代表$3×10=30$，2个一代表$2$，合计常数项为$30+2=32$。
将三部分组合，可得对应的方程为$x+2y=32$。
【答案】
$x+2y=32$
【知识点】
列二元一次方程，新规则应用，代数式表示
【点评】
本题结合我国古代数学经典《九章算术》中的算筹知识命题，既考查了对新规则的阅读理解和应用能力，也渗透了传统数学文化，解题的关键是准确把握算筹的计数规则和各位置对应的含义。
【难度系数】
0.7

13. 改编题 李莹在水果店花18元买了苹果和橘子共6千克,已知苹果每千克3.2元,橘子每千克2.6元.李莹买了苹果和橘子各多少千克?
(1)设所购买的苹果质量为x千克.
①根据“买苹果的金额+买橘子的金额=18元”,列方程:;
②根据“所买苹果的质量+所买橘子的质量=6千克”,列方程:;
③根据“苹果的单价×其质量=买苹果的金额”,列方程:.
(2)设买苹果的金额为y元,下列方程正确的是(填序号).
①$\frac{y}{3.2}+\frac{18-y}{2.6}=6$;
②$y+2.6(6-\frac{18-y}{3.2})=18$;
③$3.2(6-\frac{18-y}{2.6})=y$;④$3.2(6-\frac{18-y}{2.6})=18-y$.

不合格

根据勾股定理，标准长方形的长、宽与对角线满足长²+宽²=对角线²。计算可得：6²+4²=36+16=52，7²=49，由于52≠49，说明该纱窗的内角不是直角，不符合长方形的要求，因此这扇纱窗不合格。

14. 某校七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A,B两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，如图是调查后小敏与其他两位同学进行的交流. 根据他们的对话，求今年A,B两个超市“五一”期间的销售额.(设未知数并列方程，不必求解)

$x^2 + 9 = (10-x)^2$

设折断处离地面高度为$x\ \mathrm{m}$，则折断后作为斜边的竹梢部分长度为$(10-x)\ \mathrm{m}$，竖直未折断的竹干长$x\ \mathrm{m}$，地面上竹根到竹梢的距离$3\ \mathrm{m}$是另一条直角边，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程。
最终得到方程为$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$。

15. 关于$x$的方程$(m+2)x=6$的解为自然数，当$m$为整数时，则$m$的值为.

15.$-1,0,1,4$ 解析:解方程得$x=\frac{6}{m+2}$,由于方程的解是自然数,可知$m+2＞0$,且为6的因数,所以$m+2$的值为1,2,3,6,可分别求得m的值为-1,0,1,4.

【分析】
这是一道含参数的一元一次方程题，解题思路可分为三步：第一步先将参数$m$看作常数，解出方程的解$x$，用含$m$的代数式表示；第二步结合“解为自然数”的条件，明确$x$是大于等于0的整数，由于分子6不为0，因此$x$只能是正整数，由此可推出分母$m+2$是6的正因数，且$m+2＞0$；第三步列举出6的所有正因数，分别计算对应的$m$值，验证$m$为整数的条件即可得到结果。
【解析】
解：首先对$(m+2)x=6$系数化为1（此时$m+2≠0$，否则方程无解），得$x=\frac{6}{m+2}$。
因为方程的解$x$是自然数，且分子6≠0，所以$x$是正整数，因此$m+2$必须是6的正因数。
6的正因数有1、2、3、6，分情况讨论：
① 当$m+2=1$时，解得$m=1-2=-1$，符合$m$为整数的要求；
② 当$m+2=2$时，解得$m=2-2=0$，符合要求；
③ 当$m+2=3$时，解得$m=3-2=1$，符合要求；
④ 当$m+2=6$时，解得$m=6-2=4$，符合要求。
综上，$m$的取值为-1、0、1、4。
【答案】
$-1,0,1,4$
【知识点】
一元一次方程的解，因数的应用，自然数的概念
【点评】
本题考查含参数的一元一次方程解的应用，解题的关键是根据解的性质确定参数相关代数式的取值范围，结合整数的要求列举所有可能的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.6

16. 已知$a$是非零整数,关于$x$的方程$ax^{|a|}-bx^2 +x-2=0$是一元一次方程,求$a+b$的值与方程的解.

16. 由题意知,①若$|a|=1,b=0$,解得$a=±1,b=0$;当$a=1$时,原方程为$x+x-2=0$,解得$x=1$,此时$a+b=1$;当$a=-1$时,原方程为$-x+x-2=0$,不符合题意.
②若$a=b,|a|=2$,当$a=2$时,$b=2$,原方程为$x-2=0$,此时$a+b=4$,方程的解为$x=2$;当$a=-2$时,$b=-2$,原方程为$x-2=0$,此时$a+b=-4$,方程的解为$x=2$.

【分析】
首先明确一元一次方程的核心特征：只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0的整式方程。本题方程包含$x^{|a|}$、$x^2$两类高于1次的项，要使方程为一元一次方程，需让高次项消失，因此分两类讨论：第一类，消去$x^2$项，即令$b=0$，同时保证$x$的最高次数为1，即$|a|=1$，再验证一次项系数是否不为0；第二类，让$x^{|a|}$和$x^2$是同类项且系数抵消，即$|a|=2$且$a=b$，此时高次项抵消后剩余一次项符合要求。最后对每种情况代入计算，排除不符合题意的结果即可。
【解析】
要使$ax^{|a|}-bx^2 +x-2=0$是一元一次方程，分两种情况讨论：
① 若$x^2$项系数为0，且$x$最高次数为1，即$\begin{cases}|a|=1 \\ b=0\end{cases}$，解得$a=\pm1$，$b=0$：
当$a=1$，$b=0$时，原方程化简为$x+x-2=0$，合并得$2x=2$，解得$x=1$，此时$a+b=1+0=1$，符合题意；
当$a=-1$，$b=0$时，原方程化简为$-x+x-2=0$，即$-2=0$，等式不成立，舍去。
② 若$x^{|a|}$与$x^2$为同类项且系数抵消，即$\begin{cases}|a|=2 \\ a=b\end{cases}$，解得$a=\pm2$，对应$b=\pm2$：
当$a=2$，$b=2$时，原方程化简为$2x^2-2x^2+x-2=0$，即$x-2=0$，解得$x=2$，此时$a+b=2+2=4$，符合题意；
当$a=-2$，$b=-2$时，原方程化简为$-2x^2+2x^2+x-2=0$，即$x-2=0$，解得$x=2$，此时$a+b=-2+(-2)=-4$，符合题意。
【答案】
共有三种符合条件的结果：
1. $a+b=1$，方程的解为$x=1$；
2. $a+b=4$，方程的解为$x=2$；
3. $a+b=-4$，方程的解为$x=2$。
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的性质、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对一元一次方程概念的理解，解题时要全面考虑高次项消失的所有可能情况，避免漏解，同时求出参数后代回原方程验证，排除矛盾的无效情况。
【难度系数】
0.5