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1. (2026·许昌期末)下列根据等式的性质变形不正确的是 (
A.若$x+1=y+1$,则$x=y$
B.若$2a-3=b-3$,则$2a=b$
C.若$a=b$,则$ac=bc$
D.若$a=b$,则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
D
)A.若$x+1=y+1$,则$x=y$
B.若$2a-3=b-3$,则$2a=b$
C.若$a=b$,则$ac=bc$
D.若$a=b$,则$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
答案
解：将U型池可滑行的曲面沿侧面展开，得到一个平面长方形：
该长方形的一边长等于截面半圆的弧长，为12 m，另一组对边长度等于AB=CD=18 m。
由CE=2 m，可得DE = CD - CE = 18 - 2 = 16 m。
在Rt△ADE中，AD=12 m，DE=16 m，∠D=90°，
根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
答：他滑行的最短距离为20 m。
该长方形的一边长等于截面半圆的弧长，为12 m，另一组对边长度等于AB=CD=18 m。
由CE=2 m，可得DE = CD - CE = 18 - 2 = 16 m。
在Rt△ADE中，AD=12 m，DE=16 m，∠D=90°，
根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
答：他滑行的最短距离为20 m。
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题时首先回忆等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边同时除以一个数时，这个数不能为0的限制条件，即可选出变形不正确的选项。
【解析】
根据等式的性质逐个分析选项：
A. 若$x+1=y+1$，根据等式性质1，等式两边同时减去1，可得$x=y$，变形正确；
B. 若$2a-3=b-3$，根据等式性质1，等式两边同时加上3，可得$2a=b$，变形正确；
C. 若$a=b$，根据等式性质2，等式两边同时乘$c$，可得$ac=bc$，无论$c$取何值该变形都成立，变形正确；
D. 若$a=b$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，该选项没有说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，变形错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的性质1 2.等式的性质2
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解与运用，其中等式两边除以同一个数时必须保证该数不为0，是这类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题时首先回忆等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边同时除以一个数时，这个数不能为0的限制条件，即可选出变形不正确的选项。
【解析】
根据等式的性质逐个分析选项：
A. 若$x+1=y+1$，根据等式性质1，等式两边同时减去1，可得$x=y$，变形正确；
B. 若$2a-3=b-3$，根据等式性质1，等式两边同时加上3，可得$2a=b$，变形正确；
C. 若$a=b$，根据等式性质2，等式两边同时乘$c$，可得$ac=bc$，无论$c$取何值该变形都成立，变形正确；
D. 若$a=b$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，该选项没有说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，变形错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的性质1 2.等式的性质2
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解与运用，其中等式两边除以同一个数时必须保证该数不为0，是这类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
2. 由等式$(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2)$得等式$m-1=2m+3$，则应满足的条件是 （
A.$n＞-2$
B.$n≠-2$
C.$n＜-2$
D.$m≠1$
B
）A.$n＞-2$
B.$n≠-2$
C.$n＜-2$
D.$m≠1$
答案
解：将圆柱形容器的侧面沿过点A的竖直母线展开，得到长方形，作点B关于容器上沿所在直线的对称点B'，连接AB'，则AB'的长度即为蚂蚁爬行的最短路径长度。
由题意可知：
展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即$12÷2=6\ \mathrm{cm}$，
A、B'两点的竖直高度差为$(13-7)+2=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
答：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长度为10 cm。
由题意可知：
展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即$12÷2=6\ \mathrm{cm}$，
A、B'两点的竖直高度差为$(13-7)+2=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'$中，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
答：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长度为10 cm。
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。本题要从原等式得到$m-1=2m+3$，是将等式两边同时除以整式$(n+2)$，因此必须保证除数$(n+2)$不为0，据此即可求出$n$需要满足的条件。
【解析】
根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。要使等式$(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2)$两边同时除以$(n+2)$后得到$m-1=2m+3$，需满足除数不为0，即$n+2≠0$，解得$n≠-2$。故选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质2；除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础应用，核心易错点是忽略除以含字母的整式时，必须保证该整式不为0的前提条件，牢记这个限制就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。本题要从原等式得到$m-1=2m+3$，是将等式两边同时除以整式$(n+2)$，因此必须保证除数$(n+2)$不为0，据此即可求出$n$需要满足的条件。
【解析】
根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。要使等式$(m-1)(n+2)=(2m+3)(n+2)$两边同时除以$(n+2)$后得到$m-1=2m+3$，需满足除数不为0，即$n+2≠0$，解得$n≠-2$。故选B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质2；除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础应用，核心易错点是忽略除以含字母的整式时，必须保证该整式不为0的前提条件，牢记这个限制就能避免出错。
【难度系数】
0.8
3. (2025·武汉期末)下面解一元一次方程$2(x+3)=5x$的步骤中,没有依据“等式的性质”变形的是 (
A.第①步和第②步
B.第①步和第③步
C.第②步和第③步
D.第③步和第④步
B
)A.第①步和第②步
B.第①步和第③步
C.第②步和第③步
D.第③步和第④步
答案
B 解析:第①步是去括号;第②步利用等式的性质1;第③步是合并同类项;第④步利用等式的性质2;故选B.
解析
【分析】
首先明确等式的性质内容：性质1是等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析解方程每一步的变形依据，区分该变形是用到了等式性质，还是整式运算的法则（如去括号、合并同类项），最后找出没有用到等式性质的步骤，对应选出正确选项即可。
【解析】
对每一步变形的依据逐一分析：
1. 第①步：由$2(x+3)=5x$得到$2x+6=5x$，属于去括号操作，依据是乘法分配律，没有用到等式的性质；
2. 第②步：由$2x+6=5x$得到$6=5x-2x$，是等式两边同时减去$2x$，依据等式的性质1，用到了等式的性质；
3. 第③步：由$6=5x-2x$得到$6=3x$，属于合并同类项操作，依据整式加减的运算法则，没有用到等式的性质；
4. 第④步：由$6=3x$得到$x=2$，是等式两边同时除以3，依据等式的性质2，用到了等式的性质。
因此没有依据“等式的性质”变形的是第①步和第③步，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；合并同类项
【点评】
本题考查解一元一次方程各步骤的变形依据，解题时要注意区分等式的性质和整式运算的相关法则，属于对基础概念的考查，熟练掌握解方程的原理是解题关键。
【难度系数】
0.8
首先明确等式的性质内容：性质1是等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析解方程每一步的变形依据，区分该变形是用到了等式性质，还是整式运算的法则（如去括号、合并同类项），最后找出没有用到等式性质的步骤，对应选出正确选项即可。
【解析】
对每一步变形的依据逐一分析：
1. 第①步：由$2(x+3)=5x$得到$2x+6=5x$，属于去括号操作，依据是乘法分配律，没有用到等式的性质；
2. 第②步：由$2x+6=5x$得到$6=5x-2x$，是等式两边同时减去$2x$，依据等式的性质1，用到了等式的性质；
3. 第③步：由$6=5x-2x$得到$6=3x$，属于合并同类项操作，依据整式加减的运算法则，没有用到等式的性质；
4. 第④步：由$6=3x$得到$x=2$，是等式两边同时除以3，依据等式的性质2，用到了等式的性质。
因此没有依据“等式的性质”变形的是第①步和第③步，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；合并同类项
【点评】
本题考查解一元一次方程各步骤的变形依据，解题时要注意区分等式的性质和整式运算的相关法则，属于对基础概念的考查，熟练掌握解方程的原理是解题关键。
【难度系数】
0.8
4. (1)已知等式$x-3=4$,两边同时
(2)已知等式$3x=2x-2$,两边同时
(3)已知等式$-\dfrac{1}{5}x=\dfrac{2}{5}$,两边同时
加3
,得$x=$7
,依据是等式的性质1
;(2)已知等式$3x=2x-2$,两边同时
减2x
,得$x=$-2
,依据是等式的性质1
;(3)已知等式$-\dfrac{1}{5}x=\dfrac{2}{5}$,两边同时
乘-5
,得$x=$-2
,依据是等式的性质2
.答案
解：根据题意，路径有以下三种情况，
①沿$AA',A'C',C'B',B'B,BC,CA$剪开，得解答图1，
$B'A^2 = (4+2)^2 + 8^2 = 100$；
②沿$AC,CC',C'B',B'D,D'A',A'A$剪开，得解答图2，
$B'A^2 = 4^2 + (8+2)^2 = 116$；
③沿$AD,DD',D'B',B'C',C'A',A'A$剪开，得解答图3，
$B'A^2 = 2^2 + (8+4)^2 = 148$。
综上所述，最短路径应为①的情形，
此时$B'A^2 = 100$，即$AB' = 10\ \mathrm{dm}$，
因此最短路程是$10\ \mathrm{dm}$。
①沿$AA',A'C',C'B',B'B,BC,CA$剪开，得解答图1，
$B'A^2 = (4+2)^2 + 8^2 = 100$；
②沿$AC,CC',C'B',B'D,D'A',A'A$剪开，得解答图2，
$B'A^2 = 4^2 + (8+2)^2 = 116$；
③沿$AD,DD',D'B',B'C',C'A',A'A$剪开，得解答图3，
$B'A^2 = 2^2 + (8+4)^2 = 148$。
综上所述，最短路径应为①的情形，
此时$B'A^2 = 100$，即$AB' = 10\ \mathrm{dm}$，
因此最短路程是$10\ \mathrm{dm}$。
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。再针对每个小问，观察等式左边要得到单独的x需要做的变形，再对应匹配性质即可：(1)等式左边是x-3，要消去-3，需要两边同时加3；(2)等式两边都有含x的项，右边是2x，要把含x的项统一移到左边，需要两边同时减2x；(3)等式左边x的系数是$-\dfrac{1}{5}$，要把系数化为1，需要两边同时乘-5。
【解析】
(1) 已知等式$x-3=4$，根据等式的性质1，两边同时加3，可得$x-3+3=4+3$，计算得$x=7$；
(2) 已知等式$3x=2x-2$，根据等式的性质1，两边同时减2x，可得$3x-2x=2x-2-2x$，计算得$x=-2$；
(3) 已知等式$-\dfrac{1}{5}x=\dfrac{2}{5}$，根据等式的性质2，两边同时乘-5，可得$-\dfrac{1}{5}x× (-5)=\dfrac{2}{5}× (-5)$，计算得$x=-2$。
【答案】
(1)加3 7 等式的性质1 (2)减2x -2 等式的性质1 (3)乘-5 -2 等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，根据变形需求选择对应的性质运算即可。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。再针对每个小问，观察等式左边要得到单独的x需要做的变形，再对应匹配性质即可：(1)等式左边是x-3，要消去-3，需要两边同时加3；(2)等式两边都有含x的项，右边是2x，要把含x的项统一移到左边，需要两边同时减2x；(3)等式左边x的系数是$-\dfrac{1}{5}$，要把系数化为1，需要两边同时乘-5。
【解析】
(1) 已知等式$x-3=4$，根据等式的性质1，两边同时加3，可得$x-3+3=4+3$，计算得$x=7$；
(2) 已知等式$3x=2x-2$，根据等式的性质1，两边同时减2x，可得$3x-2x=2x-2-2x$，计算得$x=-2$；
(3) 已知等式$-\dfrac{1}{5}x=\dfrac{2}{5}$，根据等式的性质2，两边同时乘-5，可得$-\dfrac{1}{5}x× (-5)=\dfrac{2}{5}× (-5)$，计算得$x=-2$。
【答案】
(1)加3 7 等式的性质1 (2)减2x -2 等式的性质1 (3)乘-5 -2 等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，根据变形需求选择对应的性质运算即可。
【难度系数】
0.8
5. 新趋势 开放性试题 运用等式的性质，写出一个一元一次方程，使它的解为$x=-2$，且未知数的系数是负整数，则这个方程可以是
-2x=4(答案不唯一)
。答案
-2x=4(答案不唯一) 解析:写出一个一元一次方程,使它的解为x=-2,且未知数的系数是负整数,则这个方程可以是-2x=4(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时先明确题目三个核心要求：一是为只含未知数x的一元一次方程，二是代入x=-2时方程左右两边相等，三是x的系数为负整数。我们可以先任选一个负整数作为x的系数，再把x=-2代入含系数的未知数表达式，计算出对应的值作为等式右边的常数，即可得到符合要求的方程，也可根据等式的性质对基础方程做变形得到更多符合要求的结果。
【解析】
第一步，选取x的系数为负整数，例如选-2，此时方程左侧可写为-2x；
第二步，将x=-2代入左侧表达式计算：$\boldsymbol{-2×(-2)=4}$，因此等式右侧写为4，即可得到方程-2x=4。
也可选择其他负整数作为系数，比如选-1时，代入x=-2计算得$-1×(-2)=2$，得到方程$-x=2$；还可根据等式的性质对得到的方程变形，比如在-2x=4两边同时加5，得到$-2x+5=9$，均符合要求，答案不唯一。
【答案】
-2x=4(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解；等式的性质
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，重点考查对一元一次方程相关概念和等式性质的理解运用，需要同时满足多个限定条件，能够锻炼知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目三个核心要求：一是为只含未知数x的一元一次方程，二是代入x=-2时方程左右两边相等，三是x的系数为负整数。我们可以先任选一个负整数作为x的系数，再把x=-2代入含系数的未知数表达式，计算出对应的值作为等式右边的常数，即可得到符合要求的方程，也可根据等式的性质对基础方程做变形得到更多符合要求的结果。
【解析】
第一步，选取x的系数为负整数，例如选-2，此时方程左侧可写为-2x；
第二步，将x=-2代入左侧表达式计算：$\boldsymbol{-2×(-2)=4}$，因此等式右侧写为4，即可得到方程-2x=4。
也可选择其他负整数作为系数，比如选-1时，代入x=-2计算得$-1×(-2)=2$，得到方程$-x=2$；还可根据等式的性质对得到的方程变形，比如在-2x=4两边同时加5，得到$-2x+5=9$，均符合要求，答案不唯一。
【答案】
-2x=4(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解；等式的性质
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，重点考查对一元一次方程相关概念和等式性质的理解运用，需要同时满足多个限定条件，能够锻炼知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
6. (青海中考改编)有下列等式：
①由$a=b$，得$1-2a=1-2b$；②由$cx=cy$，得$x=y$；③由$a^2=b^2$，得$a=b$；④由$\frac{a}{2c}=\frac{b}{c}$，得$a=2b$；
⑤由$x=y$，得$\frac{x}{c^2+1}=\frac{y}{c^2+1}$。
其中正确的是
①由$a=b$，得$1-2a=1-2b$；②由$cx=cy$，得$x=y$；③由$a^2=b^2$，得$a=b$；④由$\frac{a}{2c}=\frac{b}{c}$，得$a=2b$；
⑤由$x=y$，得$\frac{x}{c^2+1}=\frac{y}{c^2+1}$。
其中正确的是
①④⑤
(填序号)答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：将木块的表面与正方形纸板的对应面展开为同一平面，可得展开后水平方向总长度为 $6 + 1×2 = 8\ \mathrm{cm}$，竖直方向长度为 $6\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路程为：
$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
根据勾股定理，最短路程为：
$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
7. (教材 P117 练习 T2 变式) 利用等式的性质解下列方程.
(1) $-2=-\dfrac{1}{2}x$；
(2) $5x-7=3$；
(3) $-3x+6=8$；
(4) $\dfrac{1}{2}y+2=3$.
(1) $-2=-\dfrac{1}{2}x$；
(2) $5x-7=3$；
(3) $-3x+6=8$；
(4) $\dfrac{1}{2}y+2=3$.
答案
$\boldsymbol{26}$
解析
解：将直四棱柱的侧面沿点A所在侧棱展开，连续展开两周后得到一个长方形，
该长方形水平方向的边长为 $2 × 4 × 3 = 24\ \mathrm{cm}$，竖直方向的边长为直四棱柱的高 $10\ \mathrm{cm}$。
根据两点之间线段最短，彩条的最短长度为该长方形的对角线长度。
由勾股定理得：
$\mathrm{最短长度} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$
该长方形水平方向的边长为 $2 × 4 × 3 = 24\ \mathrm{cm}$，竖直方向的边长为直四棱柱的高 $10\ \mathrm{cm}$。
根据两点之间线段最短，彩条的最短长度为该长方形的对角线长度。
由勾股定理得：
$\mathrm{最短长度} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$
8. 若a,b互为相反数(a≠0),则关于x的方程ax+b=0的解是 (
A.x=1
B.x=-1
C.x=-1或x=1
D.x=0
A
)A.x=1
B.x=-1
C.x=-1或x=1
D.x=0
答案
解：
将长方体不靠墙的相邻表面展开，利用两点之间线段最短，结合勾股定理计算两种合法展开方式下的AB长度：
1. 将点A所在的右侧面与点B所在的正面展开到同一平面：
此时A、B连线构成的直角三角形两条直角边分别为$10+5=15$，$20$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{15^2 + 20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$
2. 将点A所在的右侧面与上表面展开到同一平面：
此时A、B连线构成的直角三角形两条直角边分别为$10$，$20+5=25$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{10^2 + 25^2}=\sqrt{100+625}=5\sqrt{29}$
因为$25 ＜ 5\sqrt{29}$，不存在其他不经过靠墙面的展开路径，所以最短距离为25。
答：蚂蚁需要爬行的最短距离是25。
将长方体不靠墙的相邻表面展开，利用两点之间线段最短，结合勾股定理计算两种合法展开方式下的AB长度：
1. 将点A所在的右侧面与点B所在的正面展开到同一平面：
此时A、B连线构成的直角三角形两条直角边分别为$10+5=15$，$20$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{15^2 + 20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$
2. 将点A所在的右侧面与上表面展开到同一平面：
此时A、B连线构成的直角三角形两条直角边分别为$10$，$20+5=25$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{10^2 + 25^2}=\sqrt{100+625}=5\sqrt{29}$
因为$25 ＜ 5\sqrt{29}$，不存在其他不经过靠墙面的展开路径，所以最短距离为25。
答：蚂蚁需要爬行的最短距离是25。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①a、b互为相反数且a≠0；②需求方程ax+b=0的解。第一步回忆相反数的性质：互为相反数的两个数满足b=-a，且a≠0时b/a=-1；第二步利用等式的性质求解含字母系数的一元一次方程，因为a≠0，可直接将x的系数化为1得到x的表达式，再代入相反数的关系即可求出解，注意a≠0的条件保证了除法运算有意义，排除多解情况。
【解析】
解：已知a、b互为相反数且a≠0，根据相反数的定义可得b = -a。
将b=-a代入方程ax + b = 0，得：
$ax - a = 0$
根据等式的性质1，等式两边同时加a，得：
$ax = a$
因为a≠0，根据等式的性质2，等式两边同时除以a，得：
$x = 1$
因此方程的解是x=1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；等式的性质；一元一次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查相反数性质与等式性质的综合应用，解题的关键是抓住互为相反数的两个非零数的商为-1的特点，同时注意题目中a≠0的限制条件，避免出现误判多解的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：①a、b互为相反数且a≠0；②需求方程ax+b=0的解。第一步回忆相反数的性质：互为相反数的两个数满足b=-a，且a≠0时b/a=-1；第二步利用等式的性质求解含字母系数的一元一次方程，因为a≠0，可直接将x的系数化为1得到x的表达式，再代入相反数的关系即可求出解，注意a≠0的条件保证了除法运算有意义，排除多解情况。
【解析】
解：已知a、b互为相反数且a≠0，根据相反数的定义可得b = -a。
将b=-a代入方程ax + b = 0，得：
$ax - a = 0$
根据等式的性质1，等式两边同时加a，得：
$ax = a$
因为a≠0，根据等式的性质2，等式两边同时除以a，得：
$x = 1$
因此方程的解是x=1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；等式的性质；一元一次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查相反数性质与等式性质的综合应用，解题的关键是抓住互为相反数的两个非零数的商为-1的特点，同时注意题目中a≠0的限制条件，避免出现误判多解的错误。
【难度系数】
0.8
9. (2025·蚌埠期末)如图,在两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体,两台天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为$a,b$,则$a$与$b$的关系是 (
A.$a=b$
B.$a=2b$
C.$a=4b$
D.$a=5b$
C
)A.$a=b$
B.$a=2b$
C.$a=4b$
D.$a=5b$
答案
C 解析:设“▲”的质量是c,根据第一台天平可得c=2b,根据第二台天平可得a+b=2c+b,把c=2b代入a+b=2c+b,得a+b=2×2b+b,整理得a=4b.故选C.
解析
【分析】
解题时首先利用天平平衡时左右两端质量相等的原理，先从第一台天平推导得出“▲”和“●”的质量关系，再从第二台天平得到“■”“●”“▲”三者的质量关系，最后通过等量代换消去“▲”的质量，即可推出a和b的数量关系。
【解析】
设“▲”的质量为$c$：
1. 由第一台天平平衡，左右两端质量相等，可得$c=2b$；
2. 由第二台天平平衡，左右两端质量相等，可得$a+b=2c+b$；
3. 根据等式的性质，等式两边同时减去$b$，得$a=2c$；
4. 将$c=2b$代入$a=2c$，计算得$a=2×2b=4b$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
天平平衡原理、等式的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础的等量推导类题目，解题核心是抓住“天平平衡即两端质量相等”的特点，结合等式性质逐步做等量代换即可得到结果，解题时需注意准确梳理各物体的质量对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用天平平衡时左右两端质量相等的原理，先从第一台天平推导得出“▲”和“●”的质量关系，再从第二台天平得到“■”“●”“▲”三者的质量关系，最后通过等量代换消去“▲”的质量，即可推出a和b的数量关系。
【解析】
设“▲”的质量为$c$：
1. 由第一台天平平衡，左右两端质量相等，可得$c=2b$；
2. 由第二台天平平衡，左右两端质量相等，可得$a+b=2c+b$；
3. 根据等式的性质，等式两边同时减去$b$，得$a=2c$；
4. 将$c=2b$代入$a=2c$，计算得$a=2×2b=4b$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
天平平衡原理、等式的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础的等量推导类题目，解题核心是抓住“天平平衡即两端质量相等”的特点，结合等式性质逐步做等量代换即可得到结果，解题时需注意准确梳理各物体的质量对应关系。
【难度系数】
0.8
